相似三角形的性質(zhì)教學(xué)片斷教案及反思

教案系列相似三角形的性質(zhì)教學(xué)片斷教案及反思相像三角形的性質(zhì)教學(xué)片斷

相像形三角形的性質(zhì)

目標(biāo)

重點(diǎn)

難點(diǎn)

1、學(xué)問(wèn)與技能目標(biāo):把握相像形三角形的相關(guān)性質(zhì),并能利用相像形的相關(guān)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)潔的問(wèn)題。

2、過(guò)程與方法目標(biāo):通過(guò)相像三角形的性質(zhì)的探究,以學(xué)問(wèn)的漸漸深化推動(dòng)同學(xué)的學(xué)習(xí),并引導(dǎo)同學(xué)得出準(zhǔn)確的結(jié)論,用之解決實(shí)際問(wèn)題,使同學(xué)站在一個(gè)系統(tǒng)的高度來(lái)熟悉、把握學(xué)問(wèn),能使同學(xué)將所學(xué)的學(xué)問(wèn)有效的納入同學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

3、情感與態(tài)度目標(biāo):同學(xué)通過(guò)樂(lè)觀參加學(xué)問(wèn)的構(gòu)建,感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,體會(huì)學(xué)習(xí)學(xué)問(wèn)的歡樂(lè)。

相像三角形的性質(zhì)

相像比、面積比、體積比之間的關(guān)系及其應(yīng)用

內(nèi)容

方法

相像三角形的性質(zhì)

引導(dǎo)、啟發(fā)、講練結(jié)合

特色

1、選用數(shù)學(xué)史科學(xué)故事經(jīng)典作為引導(dǎo)。

2、該課兩大層次:其一,歸納相像三角形所有對(duì)應(yīng)線段的比等于相像比;其二,放大0次量(角度)、一次量(線段)、二次量(面積)、三次量(體積),擴(kuò)充書本學(xué)問(wèn),系統(tǒng)地深化教學(xué),使學(xué)習(xí)和訓(xùn)練逐步系統(tǒng)化。

3、以學(xué)問(wèn)的內(nèi)在聯(lián)系推動(dòng)課堂,同學(xué)也能很好的朝此方向思索,情景設(shè)計(jì)一般但獨(dú)到,貫徹新課改精神。

4、注意要求同學(xué)寫出證明過(guò)程,不僅可以避開(kāi)眼高手低的現(xiàn)象,且對(duì)考試要求也有深刻熟悉。腳踏實(shí)地教與學(xué),才能發(fā)揮師之所長(zhǎng),腳踏實(shí)地去學(xué),才能學(xué)到真正的學(xué)問(wèn)。

復(fù)習(xí)提問(wèn)

問(wèn):相像三角形的定義是什么?

生:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相像。

問(wèn):通過(guò)相像三角形的定義,你能得到一些什么樣的性質(zhì)?

生:兩個(gè)相像三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例。

問(wèn):其應(yīng)用格式是什么?以圖為描述對(duì)象:

生:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,

∴∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1

問(wèn):什么叫相像比?

生:對(duì)應(yīng)邊的比。

新課過(guò)程

人們從很早開(kāi)頭,就懂得利用相像三角形的關(guān)于性質(zhì)來(lái)計(jì)算那些未能直接測(cè)量的物體的高度或?qū)挾?古代一位數(shù)學(xué)家泰勒斯到埃及游學(xué),泰勒斯出身貴族,在和家人分家的時(shí)候,泰勒斯一樣?xùn)|西也不要,帶些錢只身到埃及游學(xué)。熟悉他的人,都叫他傻子。

師:學(xué)了地理,你們知道埃及的氣候怎樣?

生:高溫、晴朗,大部分面積是沙漠。

師:是的,但尼羅河兩岸是生氣勃勃的村莊。灼熱的陽(yáng)光照射下,熱氣在大地上升騰,翻滾的熱浪,一陣陣拂過(guò)人們的面龐,泰勒斯與他的弟子們,還有一些埃及貴族,坐在金字塔的陰影中談?wù)撝恍┈嵤隆?/p>

一位貴族想戲弄一下泰勒斯,對(duì)泰勒斯說(shuō)到:“友愛(ài)的泰勒斯先生,到埃及的日子也不短了,有什么收獲呢?總未能空手而歸吧?”

泰勒斯從容不從容不迫的答道:“友愛(ài)的先生們,我們或許追求不同,或許你喜愛(ài)金錢,或許你喜愛(ài)女人,而我則不同,只以追求科學(xué)學(xué)問(wèn)為光榮。”

泰勒斯連續(xù)說(shuō)到:“我到埃及游學(xué),學(xué)到了許多學(xué)問(wèn),并把幾何提到了證明的理論高度,并賜予證明”。

貴族說(shuō)到:“您的那些東西,又有什么用呢?它能算出金字塔的高嗎?”

泰勒斯并沒(méi)有立刻想出方法來(lái):“怎樣測(cè)出金字塔的高度,讓我回家好好想一想,五天后見(jiàn)?！?/p>

師:前面我們學(xué)了關(guān)于比例的學(xué)問(wèn),你能想出方法來(lái)嗎?

生:用我們前面做過(guò)的題,使用比例式:,放一根桿子就能測(cè)出來(lái)了。

師:呵呵,要以同學(xué)們現(xiàn)在的學(xué)問(wèn),在古代埃及,就是一位大數(shù)學(xué)家啦!希望同學(xué)們通過(guò)自己的努力,能成為以后的數(shù)學(xué)家,可以想象得出來(lái),五天后,泰勒斯正是用這個(gè)方法測(cè)出來(lái)的。受到了人們的歡呼。明天我再給大家講講泰勒斯是如何利用學(xué)問(wèn)發(fā)財(cái)?shù)摹?/p>

如圖所示,假如ΔABC∽ΔA1B1C1,AD是BC邊上的高,A1D1是B1C1邊上的高,且=k,請(qǐng)大家猜想:與相像比有何關(guān)系?

生:==k

師:猜想要經(jīng)過(guò)證明才能作為結(jié)論使用,請(qǐng)大家想一想,如何證明?

(留幾分鐘給同學(xué)思索)

分析:在這里要通過(guò)三角形相像去證比例式,先要看所證的比例式在哪兩個(gè)三角形中,在這里是在ΔABD與ΔA1B1D1中,只需要證這兩個(gè)三角形相像即可。再想想:要證這兩個(gè)三角形相像,具備了哪些條件,還差哪些條件?

請(qǐng)大家寫出證明過(guò)程(此時(shí)大多數(shù)同學(xué)已能找到證題思路)

證明:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,

∴∠B=∠B1

又∵AD是BC邊上的高,A1D1是B1C1邊上的高

∴∠ADB=∠A1D1B1=90°

∴ΔABD∽ΔA1B1D1(AA)

∴==k

師:請(qǐng)大家用語(yǔ)言來(lái)總結(jié)這個(gè)結(jié)論?

生:相像三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相像比。

鄧亞平:老師

,我認(rèn)為還可以總結(jié)得更一般點(diǎn)?

師:說(shuō)說(shuō)你的想法?

鄧亞平:相像三角形的所有對(duì)應(yīng)線段的比都等于相像比。

師:你們大家的看法呢?

生眾:可以這樣總結(jié),我們也是這樣認(rèn)為的。

師:首先對(duì)這種思索方式表示欣賞,特殊不錯(cuò)的。但要說(shuō)明的是,依據(jù)一些特殊的結(jié)論來(lái)進(jìn)行推廣,屬于我們合情推理的一部分,但這種推理有些是準(zhǔn)確的,而有些會(huì)造成或產(chǎn)生錯(cuò)誤。能未能再舉一點(diǎn)例子說(shuō)明你們這個(gè)結(jié)論的準(zhǔn)確性?

生:還有對(duì)應(yīng)角平分線與中線可以用來(lái)證明這個(gè)結(jié)論(心情高漲)。

師:好的,來(lái)看一看,如何證明?

如圖所示,假如ΔABC∽ΔA1B1C1,AD是∠BAC的角平分線,A1D1是∠B1A1C1的角平分線,且=k,試證:==k。

生:簡(jiǎn)潔,證得∠BAD=∠B1A1D1即可。

師:大家在學(xué)習(xí)新東西的時(shí)候切勿眼高手低,肯定要塌實(shí)的履行例題,否則很簡(jiǎn)單致使失誤。另外數(shù)學(xué)的書寫格式很重要,特殊對(duì)于考試來(lái)說(shuō),步驟是按步得分,假如有跳步現(xiàn)象就是要被扣分,假如有重復(fù)書寫,就是鋪張了時(shí)間。所以還是請(qǐng)大家認(rèn)真寫出證明過(guò)程來(lái)。

生:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,

∴∠BAC=∠B1A1C1

又∵AD是∠BAC的角平分線,A1D1是∠B1A1C1的角平分線

∴∠BAD=∠BAC,∠B1A1D1=∠B1A1C1

∴∠BAD=∠B1A1D1

∴ΔABD∽ΔA1B1D1(AA)

∴==k

師:沒(méi)有寫清晰的同學(xué)請(qǐng)自己改正,這個(gè)問(wèn)題解決了,對(duì)應(yīng)中線的比呢?

如圖所示,假如ΔABC∽ΔA1B1C1,AD是BC邊上的中線,A1D1是B1C1邊上的中線,且=k,試說(shuō)明:==k。

生:一樣的證明。

師:是一樣嗎?再認(rèn)真看看。

生眾:有一點(diǎn)不一樣,就是要利用(S頂上的字母r表示成比例的意思,以后同)來(lái)證ΔABD∽ΔA1B1D1()。

師:是的,要細(xì)心一點(diǎn),請(qǐng)大家寫出證明過(guò)程。

生:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,

∴∠B=∠B1

又∵AD是BC邊上的中線,A1D1是B1C1邊上的中線

∴BC=2BD,B1C1=2B1D1

∴

∴

∴ΔABD∽ΔA1B1D1()

∴==k

師:誰(shuí)來(lái)總結(jié)一下這個(gè)小結(jié)論?

生:相像三角形的對(duì)應(yīng)中線的比等于相像比。

師:你們說(shuō)的是所有對(duì)應(yīng)線段的比等于相像比,這幾個(gè)也是特殊的,我也要難一難你們,更一般地,能證明下面的結(jié)論嗎?

如圖所示,假如ΔABC∽ΔA1B1C1,D是BC邊上的點(diǎn),且BD=BC;D1是B1C1邊上的點(diǎn),且B1D1=B1C1,且=k,試說(shuō)明:==k。

生:這個(gè)簡(jiǎn)潔,把上面證明中

“又∵AD是BC邊上的中線,A1D1是B1C1邊上的中線

∴BC=2BD,B1C1=2B1D1

∴”

改為:∵BD=BC,B1D1=B1C1

∴BC=3BD,B1C1=3B1D1

∴

師:呵呵!你們很會(huì)偷懶的,不過(guò)這里偷懶無(wú)罪,樂(lè)觀動(dòng)腦該表?yè)P(yáng),這也是樂(lè)觀動(dòng)腦的表現(xiàn),前面我們提到跳步的現(xiàn)象這里還不存在,這點(diǎn)我很滿意,大家的態(tài)度是很認(rèn)真的,在這里我更滿意的是這里的“偷懶”行為。因?yàn)榍懊鎺孜煌瑢W(xué)的步驟實(shí)在是太繁,我不想提出來(lái),是希望激出某類“偷懶”的行為,現(xiàn)在勝利了。主要是通過(guò)代換將式子化為我們的需要的式子。由衷的為你們的自發(fā)性勝利道賀。不過(guò)別得意,好戲還在后頭,我還要再難一難你們,接招:

把A、A1分別沿AB、A1B1移動(dòng)到E、E1的位置,如下有:

如圖所示,假如ΔABC∽ΔA1B1C1,D是BC邊上的點(diǎn),且BD=BC;D1是B1C1邊上的點(diǎn),且B1D1=B1C1;E點(diǎn)在AB上,且AE=AB;點(diǎn)E1在A1B1上,且A1E1=A1B1,有=k,試說(shuō)明:==k。

生:簡(jiǎn)潔,只需要改動(dòng)前面證明過(guò)程中比例式的左半部分就可以了。按您這么變,還可以更任憑一點(diǎn)的。

師:是的,看來(lái)你們是能夠說(shuō)服我的了,因?yàn)檫@個(gè)定理是鄧亞平先說(shuō)出來(lái)的,盡管其它同學(xué)也在下面小聲的說(shuō),我們把這個(gè)結(jié)論命名為……

同學(xué)(興奮地)接話:鄧亞平定理。(相像三角形所有對(duì)應(yīng)線段的比等于相像比。)

師:好的,除了相像三角形外,更一般的……

生:相像形的所有對(duì)應(yīng)線段的比等于相像比。

師:好的。同學(xué)們的總結(jié)的好處再于,我們把眾多的結(jié)論歸結(jié)為一個(gè)定理,不但使我們記憶負(fù)擔(dān)減輕了(現(xiàn)在只需要記一個(gè)定理),更重要的是使我們的……

生接話:熟悉更深刻了。也利于這個(gè)學(xué)問(wèn)的應(yīng)用。

師:還有我們是站在一個(gè)系統(tǒng)的高度熟悉問(wèn)題的。還有什么問(wèn)題嗎?

生:面積的比與相像比有何關(guān)系呢?

師:我也正想問(wèn)呢,你們覺(jué)得呢?

生:(有的說(shuō)等于相像比,有的說(shuō)等于相像比的平方)

先看一個(gè)具體的例子:

如圖,ΔABC與ΔA1B1C1相像比為1∶2,后者的面積為前者的多少倍?

生:后者是前者的4倍。

師:假如ΔABC與ΔA2B2C2相像比為1∶3呢?

生:后者的面積是ΔABC的面積的9倍。

師:依據(jù)這個(gè)特例,我們可以得出我們的猜想……

生:相像三角形面積的比等于相像比的平方。

師:如何證明呢?

如圖所示,假如ΔABC∽ΔA1B1C1,AD是BC邊上的高,A1D1是B1C1邊上的高,且=k,請(qǐng)大家證:=k2

師:請(qǐng)大家思索幾分鐘。

李偉上黑板做(其余同學(xué)在下面做):

李偉:∵ΔABC∽ΔA1B1C1,

∴===k(相像三角形所有對(duì)應(yīng)線段的比等于相像比)

又∵AD是BC邊上的高,A1D1是B1C1邊上的高

∴==·=k·k=k2

師:很好,剛學(xué)會(huì)定理就用,要這樣。我們還可以這樣來(lái)理解,三角形的面積等于底與相應(yīng)的高的積的一半,兩個(gè)三角形的底邊擴(kuò)大與縮小相同的倍數(shù),其高也相應(yīng)的擴(kuò)大與縮小相同的倍數(shù),其乘積將擴(kuò)大與縮小相同的倍數(shù)的平方。

師:你們的猜想是準(zhǔn)確的,請(qǐng)?bào)w會(huì)一下這個(gè)結(jié)論。

口答:兩個(gè)相像三角形的相像比為2∶3,則面積比為_(kāi)_________。(生:4∶9)

兩個(gè)相像三角形的面積比為25∶16,則相像比為_(kāi)________。(生:5∶4)

師:如何來(lái)的呢?

生:已知面積比求相像比,把面積比開(kāi)方就可以了。

師:用式子表示一下:由=()2,

有:=

口答:兩個(gè)相像三角形的面積比為4∶3,則相像比為_(kāi)_。(生:2∶)

師:我們的大文學(xué)家蘇軾,現(xiàn)籌備在的新廣場(chǎng),按1∶5的相像比,用大理石為其塑造一座雕像,假如蘇軾的體積為0.06米3,則需要多少立方米的大理石?

生:這是體積比。

師:是的,請(qǐng)大家想一想,體積比與相像比有何關(guān)系呢?

生:……

部分生:應(yīng)當(dāng)是相像比的立方。

師:大家再想想,最好能說(shuō)出為什么?

生:長(zhǎng)、寬、高都擴(kuò)大與縮小k(相像比)倍,其體積將三者乘起來(lái),當(dāng)然該擴(kuò)大與縮小相像比的k3倍了。

師:這個(gè)想法是準(zhǔn)確的。來(lái)看最簡(jiǎn)潔的正方體:

有==k3。

師:現(xiàn)在你能計(jì)算出需要多少立方米的大理石嗎?

生:,有x=0.06×125=7.3米3。

生感嘆:體積要擴(kuò)大125倍。

師: