2022年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十八章-平行四邊形難點(diǎn)解析試題（含答案解析）

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第十八章-平行四邊形難點(diǎn)解析

考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組

考生注意：

1、本卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘

2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫(xiě)在試卷規(guī)定位置上

3、答案必須寫(xiě)在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的

答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無(wú)效。

第I卷（選擇題30分）

一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1、下列命題正確的是（）

A.對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

2、直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別是12和5,則斜邊上的中線長(zhǎng)是（）

A.2.5B.6C.6.5D.13

3、在￡的戶以3乂交9中，添加以下哪個(gè)條件能判斷其為菱形（）

A.ABVBCB.BCVCDC.CDLACD.ACVBD

4、如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC,BC=6,ABOC面積為21,A3的垂直平分線MN分別交

AB,AC于點(diǎn)、M,N,若點(diǎn)尸和點(diǎn)Q分別是線段MN和8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PB+PQ的最小值為

（）

A.5B.6C.7D.8

5、如圖，已知正方形/8口的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)反尸分別在邊4昆BC上,BE=CF=2,2與母'交于點(diǎn)〃,

點(diǎn)G為%'的中點(diǎn)，連接GH,則陽(yáng)的長(zhǎng)為（）

A.V13B.715C.4.5D.4.3

6、如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形/比〃若測(cè)得點(diǎn)4C之間的距離為

6cm,點(diǎn)6,〃之間的距離為8cm,則紙條的寬為（）

A.5cmB.4.8cmC.4.6cmD.4cm

7、如圖，已知少為鄰邊相等的平行四邊形4比。的邊比1上一點(diǎn)，且6N5=80°,那么NO定的度數(shù)

為（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

8、如圖，點(diǎn)“是長(zhǎng)方形的邊口上一點(diǎn)，將△力龍沿著小對(duì)折，點(diǎn)。恰好折疊到邊比'上的尸

點(diǎn)，若49=10,AB=8,那么友'長(zhǎng)為（）

A.5B.12C.5亞D.13

9、如圖，已知在正方形/閱9中，AB=8C=C￡>=AD=1O厘米，/4=NB=NC=/O=90。，點(diǎn)后在邊4?

上，且他=4厘米，如果點(diǎn)。在線段比1上以2厘米/秒的速度由6點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)0在線段

力上以a厘米/秒的速度由C點(diǎn)向〃點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.若存在a與t的值，使ABPE與

VCQ尸全等時(shí)，則大的值為（）

A.2B.2或1.5C.2.5D.2.5或2

10、已知三角形三邊長(zhǎng)分別為7cm,8cm,9cm,作三條中位線組成一個(gè)新的三角形，同樣方法作下去,

一共做了五個(gè)新的三角形，則這五個(gè)新三角形的周長(zhǎng)之和為（）

A.46.5cmB.22.5cmC.23.25cmD.以上都不對(duì)

第n卷（非選擇題70分）

二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）

1、如圖，在平行四邊形力及力中，N6=45°,AD=8,E、〃分別為邊48、CD上一點(diǎn)、,、籽口ABCD沿EH

翻折，使得力〃的對(duì)應(yīng)線段房經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,若FG工CD,CG=4,則以'的長(zhǎng)度為

2、如圖，在四邊形ABCO中，ZABC+ZDCB=90°,反尸分別是A。,8c的中點(diǎn)，分別以AB,CO為直徑作

半圓，這兩個(gè)半圓面積的和為8乃，則EF的長(zhǎng)為.

3、如圖，在力及力中，BC=3,加4,點(diǎn)￡是切邊上的中點(diǎn)，將△仇為沿龍翻折得△以花，連接力￡,

爾G、后在同一直線上，則4G=,點(diǎn)G到的距離為.

4、如圖，正方形4%/中，放為對(duì)角線，且題為/力加的角平分線，并交切延長(zhǎng)線于點(diǎn)區(qū)則N6=

5、正方形46口的邊長(zhǎng)是8cm,點(diǎn)"在a'邊上，且,a2cm,尸是正方形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接期交

4"于點(diǎn)N,當(dāng)必=4"時(shí)，/W的長(zhǎng)是.

三、解答題（5小題，每小題10分，共計(jì)50分）

1、為等邊三角形，46=4,ADLBC于懸D,少為線段4〃上一點(diǎn)，AE=.以熊為邊在直線

右側(cè)構(gòu)造等邊△力跖連結(jié)飯/V為您的中點(diǎn).

（1）如圖1,）與4C交于點(diǎn)G,

①連結(jié)AG求線段陸的長(zhǎng)；

②連結(jié)人2求NZWG的大小.

（2）如圖2,將△力頗繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a."為線段〃的中點(diǎn).連結(jié)DN、MN.當(dāng)30°

<a<120°時(shí)，猜想的大小是否為定值，并證明你的結(jié)論.

2、閱讀探究

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：在AABC中，已知AB,BC,AC的長(zhǎng)分別為石，M,V13,求“ABC的面

積.

小明是這樣解決問(wèn)題的：如圖1所示，先畫(huà)一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）,再在網(wǎng)格中

畫(huà)出格點(diǎn)AABC（即AABC的3個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），從而借助網(wǎng)格就能計(jì)算出AA3C的面

積.他把這種解決問(wèn)題的方法稱為構(gòu)圖法，

（1）圖1中"8C的面積為

圖1圖2

實(shí)踐應(yīng)用

參考小明解決問(wèn)題的方法，回答下列問(wèn)題：

（2）圖2是一個(gè)6x6的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）.

①利用構(gòu)圖法在答題卡的圖2中畫(huà)出三邊長(zhǎng)分別為內(nèi)，2后,后的格點(diǎn)”）防.

②ADM的面積為（寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程）.

拓展延伸

（3）如圖3,已知/QR,以PQ,PR為邊向外作正方形PQAF和正方形PQE,連接EF.若

PQ=2y[2,PR=屈,QR=ViV,則六邊形AQRDE尸的面積為（在圖4中構(gòu)圖并填空）.

圖4

3、如圖，將直角三角形分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，在口△相，中，ZACB=90°,

四邊形人口力是正方形，RtXA02RtXA0D,RtABOE^RtABOD.

若設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x,則可以探究x與直角三角形力歐的三邊a,b,。之間的關(guān)系.

探究：'：RtXBO蜂RtXBOD,

:.BD=BE=a-x,

■:RtXAOF^RtXAOD,

/.AD=AF=b-x,

?：AB=B>AD,

:?a-x^b-x=c,

.a+b-c

??x=-.

2

（1）小穎同學(xué)發(fā)現(xiàn)利用加做=8.+8，肘S△胸也可以探究正方形的邊長(zhǎng)x與直角三角形46C的三邊

a,b,c之間的關(guān)系.請(qǐng)你根據(jù)小穎的思路，完成她的探究過(guò)程.

（2）請(qǐng)你結(jié)合探究和小穎的解答過(guò)程驗(yàn)證勾股定理.

4、如圖，在銳角%內(nèi)部作出一個(gè)菱形/龐F,使N4為菱形的一個(gè)內(nèi)角，頂點(diǎn)〃、E、6分別落在

AB.BC、。邊上.（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

A

5、如圖所示，正方形A3CO中，點(diǎn)6,尸分別為比切上一點(diǎn)，點(diǎn)"為"上一點(diǎn)，〃，"關(guān)于直線〃'

對(duì)稱.連結(jié)加/并延長(zhǎng)交4F的延長(zhǎng)線于M求證：Z/WD=45。.

---------參考答案-----------

一、單選題

1、C

【解析】

【分析】

根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、對(duì)角線相等平行四邊形是矩形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，選項(xiàng)正確，符合題意；

D、對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選C

【點(diǎn)睛】

此題考查了平行四邊形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它們的判定方法是解題的關(guān)鍵.

2、C

【解析】

【分析】

利用勾股定理列式求出斜邊，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答.

【詳解】

解：由勾股定理得，斜邊=后手=13，

所以，斜邊上的中線長(zhǎng)=；＞13=6.5.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì).

3、D

【解析】

【分析】

根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，結(jié)合選項(xiàng)找到對(duì)角線互相垂直即可求解.

【詳解】

A、,:AB1BC,

:./ABC=9G,

又?.?四邊形4皮力是平行四邊形，

，四邊形/成力是矩形；故選項(xiàng)A不符合題意;

B、C選項(xiàng)，同A選項(xiàng)一樣，均為鄰邊垂直，4?切是矩形；故選項(xiàng)B、C不符合題意;

D、二?四邊形力頗是平行四邊形，

又?：AC1BD,

...四邊形4員力是菱形；故選項(xiàng)D符合題意

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

4、C

【解析】

【分析】

連接力。，過(guò)點(diǎn)D作皿根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到PA=P8,PB+PQ=AP+PQ>AQif

算即可；

【詳解】

連接/Q,過(guò)點(diǎn)D作。“JL3C,

VBC=6,ABZJC面積為21,

：.--BC?DH=21,

2

DH=1,

?.?劭V垂直平分AB,

PA=PB,

：.PB+PQ^AP+PQ>AQ,

.?.當(dāng)20的值最小時(shí)，PB+PQ的值最小，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)AQ_LBC時(shí)，10的值最小，

AD//BC,

：.AQ=DH=J,

PB+PQ的值最小值為7；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了四邊形綜合，垂直平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

5、A

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的四條邊都相等可得每一個(gè)角都是直角可得/6=/戊產(chǎn)=90°,然后利用“邊角

邊”證明△碗也△〃），德/BCE=4CDF,選一步得/DHC=/DHE=90°,從而知?jiǎng)?lì)應(yīng)，利用勾

股定理求出然的長(zhǎng)即可得出答案.

【詳解】

解：?.?四邊形力8切為正方形，

：.ZB=ZDCF=90°,BC=DC,

在△鹿和△比中，

BC=CC

-NB=ZDCF,

BE=CF

:.△CBE^XDCF(￡4S),

：.4BCE=/CDF,

'：4BCE+4DCH=9G,

:.NCDR/DCHS,

：.4DHC=/DHE=9Q°,

?.?點(diǎn)。為"'的中點(diǎn)，

:.GH=\DE,

"：AD=AB=&,AE=AB-BE=6-2=4,

?*-DE=y/ALP+AE2=抬+4?=2屈，

GH=V13.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，解

題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

6、B

【解析】

【分析】

由題意作4?，6c于此弟比口于S,根據(jù)題意先證出四邊形4?切是平行四邊形，再由/小力5得平行四

邊形力仇刀是菱形，再根據(jù)勾股定理求出46,最后利用菱形4用刀的面積建立關(guān)系得出紙條的寬的

長(zhǎng).

【詳解】

解：作4RL8C于億力￡1。?于S,連接〃；劭交于點(diǎn)0.

由題意知：AD//BC,AB//CD,

...四邊形⑦是平行四邊形，

?.?兩個(gè)矩形等寬，

."廬4S,

'：AR*B(=AS*CD,

J.BOCD,

???平行四邊形力及力是菱形，

：.ACVBD,

在RtAAOB中,

0A=3cm,OB=Acm,

AB=732+42=5cm,

???平行四邊形力頗是菱形，

'.AB^BC=5cm,

；?菱形4比》的面積==即:x6x8=54R,

24

解得：AR=—=4.Sc/n.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查菱形的判定以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

以及菱形的面積等于對(duì)角線相乘的一半.

7、C

【解析】

【分析】

依題意得出力廬4是NA9后50°,又因?yàn)?后80°故可推出/4牘80°,NCDE=NADJNADE,從而

求解.

【詳解】

,JAD//BC,

:.NAEB=NDAFNB=80°,

：.AE=AB=AD,

在三角形/口中，A^AD,/刃尺80°,

游50°,

又斤80°,

.?.//麻80°,

:.NCDE=/ADONADE=3G.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

考查菱形的邊的性質(zhì)，同時(shí)綜合利用三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用等腰三角

形的性質(zhì)求得/月。￡的度數(shù).

8、C

【解析】

【分析】

根據(jù)矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：?.?四邊形/題是矩形，

BC=>4D=10,CD=AB=8,NZ?=NC=N￡）=90。，

?將△/龐沿著對(duì)折，點(diǎn)〃恰好折疊到邊6C上的尸點(diǎn)，

AF^AD^IO,ZAFE=ZD=90°,

BF=ylAF2-AB2=V102-82=6，

CF=4,

'：EF=DE=8-CE,

：.（8-C￡）2=42+CE2,

，CE=3,

,EF=5,

,AE=\lAF2+EF2=Vl02+52=5石，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)

題.

9、D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意分兩種情況討論若48/莊△CQR則旌&,BFCP；若△聲四砧則的=上5厘米，

除C06厘米進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：當(dāng)。=2,即點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度都是2厘米/秒，若XBP噲叢CQP,則給8，

BE=CP,

?.N分止10厘米，力斤4厘米，

:.B方C用6厘米，

.,.m10-6=4厘米，

.?.運(yùn)動(dòng)時(shí)間夕4+2=2（秒）；

當(dāng)。*2,即點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)速度不相等，

C.BP^CQ,

\'ZB=Z090°,

要使△板與△。少全等，只要小陷5厘米，8=8斤6厘米，即可.

???點(diǎn)R0運(yùn)動(dòng)的時(shí)間片研+2=5+2=2.5（秒）.

綜上t的值為2.5或2.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握正方形的四條邊都相等，

四個(gè)角都是直角；兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.同時(shí)要注意分類思想的運(yùn)用.

10、C

【解析】

【分析】

如圖所示，AB=8cm,BC=9cm,AC=1cm,DE,DF,）分別是三角形力a'的中位線，GH,GI,以分

別是△頌的中位線，則。E=gBC=4.5cm,EF=gAB=4cm,DE=gaC=3.5cm,即可得到△座F的

周長(zhǎng)尸+M=12cm,由此即可求出其他四個(gè)新三角形的周長(zhǎng)，最后求和即可.

【詳解】

解：如圖所示，AB=8cm,BC=9cm,AC=7cm,DE,DF,。'分別是三角形力比的中位線，GH,GI,

分別是△頌的中位線，

/.DE=—BC=4.5cm,EF=—AB=4cm,DF=—AC=3.5cm,

222

△DEF的周長(zhǎng)=DE+DF+EF=12cm,

同理可得：的周長(zhǎng)="/+〃G+G/=6cm,

.?.第三次作中位線得到的三角形周長(zhǎng)為3cm,

.?.第四次作中位線得到的三角形周長(zhǎng)為1.5cm

.?.第三次作中位線得到的三角形周長(zhǎng)為0.75cm

.?.這五個(gè)新三角形的周長(zhǎng)之和為12+6+3+1.5+0.75=23.25cm,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握三角形中位線定理.

二、填空題

1、8-40

【解析】

【分析】

延長(zhǎng)CF與四交于點(diǎn)M,由平行四邊形的性質(zhì)得8c長(zhǎng)度，GM1AB,由折疊性質(zhì)得GE4EFM,進(jìn)而得

FM,再根據(jù)△必V是等腰直角三角形，便可求得結(jié)果.

【詳解】

解：延長(zhǎng)次與血交于點(diǎn)物

'：FG，CD,AB//CD,

：.CMVAB,

戶45°,B俏AD=8,

：.Glf=4y/2,

由折疊知G六AA8,

'：CG=4,

:.MQCM~CQCM~QGACG)=4及-4,

斯信N4=180°-N3135°,

Z.I^45O,

上萬(wàn)份血(472-4)=8-472.

故答案為：8-4V2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三

角形.

2、4

【解析】

【分析】

根據(jù)題意連接初，取物的中點(diǎn)也連接￡從FM,EM交BC于M根據(jù)三角形的中位線定理推出￡生3

AB,F吟CD,EM//AB,FM//CD,推出//冊(cè)/或C4MFN=/3求出N⑸汜90°,根據(jù)勾股定理求出

M必+F/EF,根據(jù)圓的面積公式求出陰影部分的面積即可.

【詳解】

解：連接BD,取加的中點(diǎn)機(jī)連接￡飲FM,延長(zhǎng)㈤/交比1于兩

RNFC

'：ZABOZDCB=9Q0,

?:E、尺."分別是力〃、BC、放的中點(diǎn)，

:.E吟AB,F*CD,EM//AB,FM//CD,

：.AABOAENC,/MFN=/C,

.?.N網(wǎng)舛乙監(jiān)照90°,

...N42180°-90°=90°,

切代90°,

由勾股定理得：/膿'+月卷正，

陰影部分的面積是：〃（ME'+F射）■函"=8",

.?.止4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和定理，三角形的中位線定理，圓的

面積，平行線的性質(zhì)，面積與等積變形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能正確作輔助線并求出，靖+￡’的值是

解答此題的關(guān)鍵.

3、23岳

88

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可以證明△46儂△必〃可得力0叱2,然后利用勾股定理可得求出

4廠的長(zhǎng)，進(jìn)而可得G"的值.

【詳解】

解：如圖，GFUB于點(diǎn)F,

?.?點(diǎn)6是切邊上的中點(diǎn)，

C&D片2,

由折疊可知：?jiǎn)蘊(yùn)C,除盼3,小6后2,

在％6切中，BOAD=S,BC//AD,

.,.ZZ^ZO180°,BG^AD,

■：ABGE+AAGB=\^0,

/.AAGB-AD,

'：AB//CD,

：.ABAG=ZAED,

ZAGB=ND

在△1比和△必。中，,4AG=ZAED,

BG=AD

.?.△46儂△必〃(AAS),

：.AG^DE=2,

：.AB=A^AG+G^4,

于點(diǎn)F,

.?./力％/郎090°,

在/和△狼中，

根據(jù)勾股定理，得A(f-AF二Bd-BF,即24產(chǎn)=32-(4T6)2,

解得力人

O

.「修/片一,121135

..GF"=A(f-A^=4--=—，

6464

:.Gl^叵,

8

故答案為2,當(dāng)叵.

8

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，證明△/比之△分〃是解題的關(guān)鍵.

4、22.5

【解析】

【分析】

由平行線的性質(zhì)可知=由角平分線的定義得ZABE=NEBQ=：NA8。，進(jìn)而可求NE的度數(shù).

【詳解】

解：?.?ABC。為正方形，

ABHCD,ZABD=45",

：.ZABE^ZE,

平分ZAfi。，

ZABE=NEBD=-4ABD,

2

又ZABZ)=45,

ZE=ZABE=-ZABD=22.5。，

2

故答案為：22.5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)

鍵.

5、5cm或5.2cm

【解析】

【分析】

當(dāng)點(diǎn)尸在a'上，AM>BP,當(dāng)點(diǎn)P在18上，AM>BP,當(dāng)點(diǎn)夕在口上，如圖，根據(jù)取可證

林△453Rt△及尸(HL),可證8/L4I/,根據(jù)勾股定理可求AZAB'BM?=序行=10,根據(jù)三角形

面積可求8汽=空幽=華=4.8,可求PN-B4BN；當(dāng)點(diǎn)尸在/〃上，如圖，可證儂Rt△刃?

(HL),再證4上正器/妮根據(jù)4滬於10cm,可求冊(cè);8P=gxl0=5cm,

【詳解】

解：當(dāng)點(diǎn)尸在比'上，加>BP,當(dāng)點(diǎn)尸在力6上，AM>BP,不合題意，舍去；

當(dāng)點(diǎn)。在⑦上，如圖，

'：PB=AM

?.?四邊形力以力為正方形,

：.AB=B(=AD=CD=S,

在Rt△力砌和Rtaa/，中,

[AM-BP

\AB=BC'

；.RtA4物絲RtABCP(HL),

.?.NMAFNPBC,

,/ZMAB+ZAMB=90°,

；./陽(yáng)3N4修90°,

180°-/PBC-/AMB=90°,

?，哈2cm,

.\^^,M=8-2=6cm,

4滬\IAB2+BM2=^82+62=1O>

：.-BNAM=-ABBM,

22

*卡=X，

???43叱阱4夕笈忙10—4.8=5.2cm,

D

當(dāng)點(diǎn)。在49上，如圖，

在RtZX/SJ/和Rt△/。中，

jAM^BP

\AB=BA'

.?.m△45但Rt△劭尸（HL）,

J.BM^AP,ZA^ZBPA,/MAB=NPBA,

：.AN=BN,

'：AD//BC,

：./PAN=/NMB-/APN,

?.?4伊於10cm,

.?.丹/8P」xlO=5cm,

22

.?./W的長(zhǎng)為5cm或5.2cm.

故答案為5cm或5.2cm.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形判定與性質(zhì)，分類討論思

想，掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形判定與性質(zhì)，分類討論思想

是解題關(guān)鍵.

三、解答題

1、(1)①NG=且；②NDNG=120。；(2)ZDMW的大小是定值，證明見(jiàn)解析.

2

【分析】

(1)①先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理可得CZ)=2,AD=2^,從而可得=再利用勾股定

理可得CE=",然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得/EGC=90。，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半即可得；

②先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得==再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可

得NEDN=NDEN/EGN=NGEN,從而可得NEDN+NEGN=NDEN+NGEN=120°,然后根據(jù)四邊形的

內(nèi)角和即可得；

(2)連接8E,C/，先證出根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得=ZAB,從而可得

ZEBC+ZBCF=120°,再根據(jù)三角形中位線定理可得NEMW=NEC￡NCCW=NE8C,然后根據(jù)三角形的

外角性質(zhì)、角的和差即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)①6c是等邊二角形，AB=4fADI.BC,

ZEAG=30°,AB=BC=AC=4,BD=CD=2,

AD=《AB?-Blf=2y/3，

,/AE=6,

DE=AD-AE=y/3,

CE=ylCEf+DE2=不，

?.屋用是等邊三角形，

.-.Z4￡F=60o,

ZAGE=180°-ZEAG-ZAEF=90°,

EGLAC,即ZEGC=90°,

又???點(diǎn)N為CE的中點(diǎn)，

NG=-CE=—；

22

②如圖，連接ND,

由（1）①知，ZDEG=1800-ZAEF=120°,

?；NEDC=ZEGC=90°,點(diǎn)、N為CE的中點(diǎn),

NE=ND,NE=NG,

/.2EDN=ADEN,NEGN=ZGEN,

ZEDN+ZEGN=/DEN+/GEN=ZDEG=120°,

4DNG=360°—(/EDN+4EGN+NDEG)=120°；

(2)NDNM的大小是定值，證明如下：

如圖，連接3瓦。尸，

??,/BC和AE4/都是等邊三角形，

JAB=AC,AE=ABAC=ZEAF=60°,

AZBAC+ZCAE=ZEAF^ZCAE,g|JZBAE=ZCAF,

AB=AC

在和VC4/中，＜ZBAE=ZCAFf

AE=AF

：.?BAE=^CAF(SAS)9

：.ZABE=ZACF,

,?ZABC+ZACB=6()°+60°=120°,

/.ZEBC+ZBCF=ZABC-ZABE+ZACB+ZACF=120°,

???點(diǎn)N為CE的中點(diǎn)，點(diǎn)M為族的中點(diǎn)，

：.MNHCF,

：.4ENM=ZECF,

?：BD=CD,即點(diǎn)。是3c的中點(diǎn),

Z.DN\\BE,

：.NCDN=NEBC,

,：ZEND=NCDN+ZNCD=ZEBC+NBCF-NECF,

NDNM=ZEND+ZENM

=ZEBC+ZBCF-NECF+NECF

=ZEBC+ZBCF

=120°,

NOVM的大小為定值.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形中位線定理等知識(shí)

點(diǎn)，較難的是題(2),通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形和利用到三角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

7

2、(1)-；(2)①作圖見(jiàn)詳解；②8；(3)在網(wǎng)格中作圖見(jiàn)詳解；31.

【分析】

(1)根據(jù)網(wǎng)格可直接用割補(bǔ)法求解三角形的面積；

(2)①利用勾股定理畫(huà)出三邊長(zhǎng)分別為相、2石、咽,然后依次連接即可；②根據(jù)①中圖形，可

直接利用割補(bǔ)法進(jìn)行求解三角形的面積；

(3)根據(jù)題意在網(wǎng)格中畫(huà)出圖形，然后在網(wǎng)格中作出叩=戶2,EH=RQ,進(jìn)而可得APQR%PHE,得

出PE=PH,進(jìn)而利用割補(bǔ)法在網(wǎng)格中求解六邊形的面積即可.

【詳解】

1117

解：(1)△力回的面積為：3x3--xlx3--x2xl--x3x2=-,

故答案為：y;

(2)①作圖如下(答案不唯一):

圖2

②&DEF的面積為：4x5——x2x3——x4x2——x2x5=8,

故答案為：8；

(3)在網(wǎng)格中作出P〃=PQ,EH=RQ,

在APQR與APHE中,

PH=PQ

EH=RQ,

PE=PR

APQRQAPHE,

：.PF=PH,

?q-q-q

…°GPEF~°APEH一4WQR9

二.六邊形4Q/也%的面積二正方形胤從尸的面積+正方形朋應(yīng)的面積+2^P￡F的面積

=(2A/2)2+(V13)24-2X4X3--X4X1-1X2X2--X2X3|=31

222

故答案為：31.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理、正方形的性質(zhì)、割補(bǔ)法求解面積及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握勾股定理、正

方形的性質(zhì)、割補(bǔ)法求解面積及二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

3、(1)x證明見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

a-i-b+c

【分析】

(1)由正方形的性質(zhì)可得福陽(yáng)OFVAC,0E1B