專題19 解直角三角形問題【無答案】

專題19解直角三角形問題一、勾股定理和勾股定理逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2。2．勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2＋b2=c2。，那么這個(gè)三角形是直角三角形。二、直角三角形的判定及性質(zhì)1.直角三角形的判定(1)有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形；(2)兩銳角互余的三角形是直角三角形；(3)兩條邊的平方和等于另一邊的平方的三角形是直角三角形；(4)有一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形。2.直角三角形的性質(zhì)(1)直角三角形的兩銳角互余；(2)直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；(3)直角三角形中30°角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半；(4)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。三、各種銳角三角函數(shù)的定義1．正弦：在△ABC中，∠C=90°把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦，記作sinA＝EQ\f(∠A的對(duì)邊,斜邊)。2．余弦：在△ABC中，∠C=90°，把銳角A的鄰邊與斜邊比值的叫做∠A的余弦，記作cosA＝EQ\f(∠A的鄰邊,斜邊)。3．正切：在△ABC中，∠C=90°，把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比值叫做∠A的正切，記作tanA＝EQ\f(∠A的對(duì)邊,∠A的鄰邊)。四、解直角三角形問題類型1．解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2．解直角三角形的理論依據(jù)：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：3.解直角三角形類型總結(jié)表格類型已知條件解法兩邊兩直角邊a、bc=，tanA=，∠B=90°-∠A一直角邊a，斜邊cb=，sinA=，∠B=90°-∠A一邊一銳角一直角邊a，銳角A∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=斜邊c，銳角A∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA五、特殊值的三角函數(shù)三角函數(shù)0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在10六、仰角、俯角、坡度1．仰角：視線在水平線上方的角；2．俯角：視線在水平線下方的角。3．坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面與水平面的夾角記作(叫做坡角)，那么。七、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方關(guān)系（3）倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90°—A)=1（4）弦切關(guān)系tanA=八、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在0°~90°之間變化時(shí)，（1）正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅纠}1】（2020?陜西）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A．101313 B．91313【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020貴州黔西南）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在線段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝，則BD的長度為________．【例題2】（2020?涼山州）如圖所示，△ABC的頂點(diǎn)在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA的值為（）A．12 B．22 C．2【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2020?揚(yáng)州）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C、D，則sin∠ADC的值為（）A．21313 B．31313【例題3】（2020?荊門）如圖，海島B在海島A的北偏東30方向，且與海島A相距20海里，一艘漁船從海島B出發(fā)，以5海里/時(shí)的速度沿北偏東75°方向航行，同時(shí)一艘快艇從海島A出發(fā)，向正東方向航行．2小時(shí)后，快艇到達(dá)C處，此時(shí)漁船恰好到達(dá)快艇正北方向的E處．（1）求∠ABE的度數(shù)；（2）求快艇的速度及C，E之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019?浙江寧波）如圖，某海防哨所O發(fā)現(xiàn)在它的西北方向，距離哨所400米的A處有一艘船向正東方向航行，航行一段時(shí)間后到達(dá)哨所北偏東60°方向的B處，則此時(shí)這艘船與哨所的距離OB約為多少米．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）一、選擇題1．（2020?長沙）從一艘船上測得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角為30°時(shí)，船離燈塔的水平距離是（）A．423米 B．143米 C．21米 D．42米2．（2020?河北）如圖，從筆直的公路l旁一點(diǎn)P出發(fā)，向西走6km到達(dá)l；從P出發(fā)向北走6km也到達(dá)l．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．從點(diǎn)P向北偏西45°走3km到達(dá)l B．公路l的走向是南偏西45° C．公路l的走向是北偏東45° D．從點(diǎn)P向北走3km后，再向西走3km到達(dá)l3．（2020?聊城）如圖，在4×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么sin∠ACB的值為（）A．355 B．175 C．4．（2020?重慶）如圖，在距某居民樓AB樓底B點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C點(diǎn)到坡頂D點(diǎn)的距離CD＝45m，在坡頂D點(diǎn)處測得居民樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m5．（2020?廣元）規(guī)定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，給出以下四個(gè)結(jié)論：（1）sin（﹣30°）=-（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°=6其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6.（2020貴州黔西南）如圖，某停車場入口的欄桿AB，從水平位置繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到A′B′的位置，已知AO的長為4米．若欄桿的旋轉(zhuǎn)角∠AOA′＝α，則欄桿A端升高的高度為（）A.米 B.4sinα米 C.米 D.4cosα米二、填空題7．（2020?湘潭）計(jì)算：sin45°＝．8．（2020?天水）如圖所示，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則sin∠AOB的值是．9．（2020?深圳）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB=12，BOOD=10．（2020?菏澤）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，連接CD，若BC＝4，CD＝3，則cos∠DCB的值為．11．（2020?泰安）如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)山坡，坡上面是一塊平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB長26m，斜坡AB的坡比為12：5．為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對(duì)該斜坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過50°時(shí)，可確保山體不滑坡．如果改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，則坡頂B沿BC至少向右移m時(shí)，才能確保山體不滑坡．（取tan50°＝1.2）12．（2020?棗莊）人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具（如圖）．若AB，AC的長都為2m，當(dāng)α＝50°時(shí)，人字梯頂端離地面的高度AD是m．（結(jié)果精確到0.1m，參考依據(jù)：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）三、簡答題13.（2020浙江溫州）如圖，在6×4的方格紙ABCD中，請按要求畫格點(diǎn)線段（端點(diǎn)在格點(diǎn)上），且線段的端點(diǎn)均不與點(diǎn)A，B，C，D重合．（1）在圖1中畫格點(diǎn)線段EF，GH各一條，使點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別落在邊AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH；（2）在圖2中畫格點(diǎn)線段MN，PQ各一條，使點(diǎn)M，N，P，Q分別落在邊AB，BC，CD，DA上，且PQ＝MN．[來.Com]14．（2020?涼山州）如圖，⊙O的半徑為R，其內(nèi)接銳角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c．（1）求證：asin∠A=b（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝43，利用（1）的結(jié)論求AB的長和sin∠B的值．15．（2020?隨州）如圖，某樓房AB頂部有一根天線BE，為了測量天線的高度，在地面上取同一條直線上的三點(diǎn)C，D，A，在點(diǎn)C處測得天線頂端E的仰角為60°，從點(diǎn)C走到點(diǎn)D，測得CD＝5米，從點(diǎn)D測得天線底端B的仰角為45°，已知A，B，E在同一條垂直于地面的直線上，AB＝25米．（1）求A與C之間的距離；（2）求天線BE的高度．（參考數(shù)據(jù)：3≈16．（2020?臨沂）如圖，要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角α般要滿足60°≤α≤75°，現(xiàn)有一架長5.5m的梯子．（1）使用這架梯子最高可以安全攀上多高的墻（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？（2）當(dāng)梯子底端距離墻面2.2m時(shí)，α等于多少度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？此時(shí)人是否能夠安全使用這架梯子？（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，sin23.6°≈0.40，cos66.4°≈0.40，tan21.8°≈0.40．）17．（2020?岳陽）共抓長江大保護(hù)，建設(shè)水墨丹青新岳陽，推進(jìn)市中心城區(qū)污水系統(tǒng)綜合治理項(xiàng)目，需要從如圖A，B兩地向C地新建AC，BC兩條筆直的污水收集管道，現(xiàn)測得C地在A地北偏東45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距離為7km，求