小題基準考法(二)-概　率

小題基準考法(二)——概率12目錄3命題點一古典概型命題點二相互獨立事件、條件概率及全概率公式命題點三正態(tài)分布及其應(yīng)用[真題導(dǎo)向]1．(2022·新課標(biāo)Ⅰ卷)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)互質(zhì)的概率為

(

)

命題點一古典概型答案：D

2．(2023·全國甲卷)某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、

高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為

(

)答案：D

3．(2021·全國甲卷)將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為

(

)答案：C

4．(2022·全國甲卷)從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．②所取的4個點為正方體同一個對角面上的4個頂點，如圖2，也有6種取法．[素養(yǎng)評價]1．(2023·鄭州二模)世界數(shù)學(xué)三大猜想：“費馬猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“費馬猜想”已經(jīng)分別在1976年和1994年榮升為“四色定理”和“費馬大定理”.281年過去了，哥德巴赫猜想仍未解決，目前最好的成果“1＋2”由我國數(shù)學(xué)家陳景潤在1966年取得．哥德巴赫猜想描述為任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和．在不超過17的質(zhì)數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為

(

)答案：B

解析：不超過17的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,11,13,17，共7個，2．根據(jù)近五年的資料顯示，某村莊月光照量X(小時)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(注：月光照量指的是當(dāng)月的陽光照射總時長)以及在適合溫度下，月光照量與草莓花芽分化的概率的關(guān)系，表格如下：X/小時[160,240)[240,320)[320,400)月份數(shù)271815草莓花芽分化的概率0.900.950.80該村莊現(xiàn)有一批草莓，根據(jù)上表，試估計在適合溫度下，草莓花芽分化的概率為

(

)A．0.85 B．0.89C．0.91 D．0.95答案：B

3．(2023·南京調(diào)研)袋子中有大小相同的5個白球和5個紅球，從中任取3個球，已知3個球中有白球，則恰好拿到2個紅球的概率為(

)答案：A

4．將甲、乙等5名志愿者分配到4個社區(qū)做防詐騙宣傳，要求每名志愿者去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少去一名志愿者，則甲、乙二人去不同社區(qū)的概率為

(

)答案：C

[一站補給]知識的“盲點”古典概型中分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件的個數(shù)思想的“高點”直接求解有困難時，可考慮對立事件的概率，注意正難則反即轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用[真題導(dǎo)向]1．(2022·全國乙卷)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則(

)A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大命題點二相互獨立事件、條件概率及全概率公式答案：D

解析：設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連勝兩盤的概率為P甲，在第二盤與乙比賽連勝兩盤的概率為P乙，在第二盤與丙比賽連勝兩盤的概率為P丙，由題意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.所以P丙－P甲＝2p2(p3－p1)>0，P丙－P乙＝2p1(p3－p2)>0，所以P丙最大，故選D.2．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)[多選]在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為α(0＜α＜1)，收到0的概率為1－α；發(fā)送1時，收到0的概率為β(0＜β＜1)，收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1，則譯碼為1) (

)A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1，則依次收到1,0,1的概率為(1－α)(1－β)2B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1,0,1的概率為β(1－β)2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1－β)2＋(1－β)3D．當(dāng)0＜α＜0.5時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率答案：ABD

解析：由題意，發(fā)0收1的概率為α，發(fā)0收0的概率為1－α；發(fā)1收0的概率為β，發(fā)1收1的概率為1－β.對于A，發(fā)1收1的概率為1－β，發(fā)0收0的概率為1－α，發(fā)1收1的概率為1－β，所以所求概率為(1－α)(1－β)2，故A正確．對于B，相當(dāng)于發(fā)了1,1,1，收到1,0,1，則概率為(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，故B正確．3．(2023·全國甲卷)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪．在該地的中學(xué)生中隨機調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為

(

)A．0.8 B．0.6C．0.5 D．0.4答案：A

解析：同時愛好兩項的概率為0.5＋0.6－0.7＝0.4.記“該同學(xué)愛好滑雪”為事件A，“該同學(xué)愛好滑冰”為事件B，則P(A)＝0.5，4．(2023·天津高考)甲、乙、丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%,25%,50%.現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為________；將三個盒子中的球混合后任取一個球，是白球的概率為________．[素養(yǎng)評價]1．(2023·山東省實驗中學(xué)模擬)某市地鐵1號線從A站到G站共有7個站點，甲、乙二人同時從A站上車，準備在B站、D站和G站中的某個站點下車，若他們在這3個站點中的某個站點下車是等可能的，則甲、乙二人在不同站點下車的概率為

(

)

答案：C

2．某高校校黨委計劃開展“學(xué)黨史，爭當(dāng)新時代先鋒”活動月，并在活動月末舉辦黨史知識競賽．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)院初步推選出2名教師和6名學(xué)生共8名黨史知識學(xué)習(xí)優(yōu)秀者，并從中隨機選取5名組成院代表隊參加學(xué)校黨史知識競賽，則在代表隊中既有教師又有學(xué)生的條件下，教師甲被選中的概率為 (

)答案：B

3．(2023·杭州三模)班級舉行知識競猜闖關(guān)活動，設(shè)置了A，B，C三個問題．答題者可自行決定答三題順序．甲有60%的可能答對問題A,80%的可能答對問題B,50%的可能答對問題C.記答題者連續(xù)答對兩題的概率為p，要使得p最大，他應(yīng)該先回答

(

)A．問題A

B．問題BC．問題A，B和C都可以

D．問題C答案：D

解析：①若先回答問題A，則答題順序可能為A，B，C和A，C，B，當(dāng)答題順序為A，B，C且連對兩題時，p＝0.6×0.8×(1－0.5)＋(1－0.6)×0.8×0.5＝0.4；當(dāng)答題順序為A，C，B且連對兩題時，p＝0.6×0.5×(1－0.8)＋(1－0.6)×0.5×0.8＝0.22.∴先回答問題A，連對兩題的概率為0.4＋0.22＝0.62.②若先回答問題B，則答題順序可能為B，A，C和B，C，A，當(dāng)答題順序為B，A，C且連對兩題時，p＝0.8×0.6×(1－0.5)＋(1－0.8)×0.6×0.5＝0.3；當(dāng)答題順序為B，C，A且連對兩題時，p＝0.8×0.5×(1－0.6)＋(1－0.8)×0.5×0.6＝0.22.∴先回答問題B，連對兩題的概率為0.3＋0.22＝0.52.③若先回答問題C，則答題順序可能為C，A，B和C，B，A，當(dāng)答題順序為C，A，B且連對兩題時，p＝0.5×0.6×(1－0.8)＋(1－0.5)×0.6×0.8＝0.3；當(dāng)答題順序為C，B，A且連對兩題時，p＝0.5×0.8×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.8×0.6＝0.4.∴先回答問題C，連對兩題的概率為0.3＋0.4＝0.7.∵0.7>0.62>0.52，∴要使p最大，應(yīng)先回答問題C.4．[多選]已知兩個事件A，B，滿足P(A)>0，P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是

(

)A．若A，B為相互獨立事件，則P(B)＝P(B|A)B．若P(B|A)＝P(B)，則P(A|B)＝P(A)答案：ABC

答案：ABC

解析：若A，B為相互獨立事件，則P(AB)＝P(A)P(B)，5．(2023·全國模擬預(yù)測)為了解高中學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某市教育局分別從身體形態(tài)、身體機能、身體素質(zhì)等方面對該市高中學(xué)生的體質(zhì)健康水平進行綜合測評，并根據(jù)2018年版的《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準》評定等級，經(jīng)過統(tǒng)計，甲校有30%的學(xué)生的等級為良好，乙校有60%的學(xué)生的等級為良好，丙校有50%的學(xué)生的等級為良好，且甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測評的學(xué)生人數(shù)之比為5∶8∶7.從甲、乙、丙這三所學(xué)校參加測評的學(xué)生中隨機抽取1名學(xué)生，則該學(xué)生的等級為良好的概率為

(

)A．0.40 B．0.47C．0.49 D．0.55答案：C

[一站補給]思維的“難點”(1)求解條件概率最易混淆的就是P(B|A)與P(A|B)，前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率；(2)如果知道事件A的發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率，那么P(B)≠P(B|A)思想的“高點”求相互獨立事件同時發(fā)生的概率時，當(dāng)正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想續(xù)表[真題導(dǎo)向]1．(2021·新課標(biāo)Ⅱ卷)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是

(

)A.σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等命題點三正態(tài)分布及其應(yīng)用答案：D

解析：正態(tài)分布的曲線形狀由參數(shù)σ確定，σ越小，曲線越“高瘦”，即在(9.9,10.1)的概率越大，落在(9.9,10.2)的概率大于落在(10,10.3)的概率，A正確，D不正確．曲線在x＝10時處于最高點，并由此向左右兩邊延伸時，曲線逐漸降低，所以在一次測量中大于10的概率為0.5，小于9.99與大于10.01的概率相等，B、C正確．故選D.2．(2022·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________.答案：0.14解析：因為X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.[素養(yǎng)評價]1．(2023·衡水中學(xué)一模)新能源汽車具有零排放、噪聲小、能源利用率高等特點，近年來備受青睞．某新能源汽車制造企業(yè)為調(diào)查其旗下A型號新能源汽車的耗電量(單位：kW·h/100km)情況，隨機調(diào)查得到了1200個樣本，據(jù)統(tǒng)計該型號新能源汽車的耗電量ξ～N(13，σ2)，若P(12<ξ<14)＝0.7，則樣本中耗電量不小于14kW·h/100km的汽車大約有

(

)A．180輛

B．360輛C．600輛

D．840輛答案：A

解析：因為ξ～N(13，σ2)，且P(12<ξ<14)＝0.7，2.(2023·天津三模)某地生產(chǎn)紅茶已有多年，選用本地兩個不同品種的茶青生產(chǎn)紅茶．根據(jù)其種植經(jīng)驗，在正常環(huán)境下，甲、乙兩個品種的茶青每500克的紅茶產(chǎn)量(單位：克)分別為X，Y，且X～A．Y的數(shù)據(jù)較X更集中B．P(X≤c)<P(Y≤c)D．P(X>c)＋P(Y≤c)＝1答案：D

解析：Y的密度曲線更尖銳，即數(shù)據(jù)更集中，故A正確；附：若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ