大題考法精研(二)-離散型隨機變量及其分布

大題考法精研(二)——離散型隨機變量及其分布12目錄題型一

定義法求離散型隨機變量的分布列、期望與方差題型二

三類分布模型及其應(yīng)用[例1]乒乓球是中國的國球，我國選手取得世界乒乓球比賽的大部分冠軍，甚至多次包攬整個賽事的所有冠軍，乒乓球運動也深受人們的喜愛．乒乓球主要有白色和黃色兩種，國際乒聯(lián)將球的級別用星數(shù)來表示，星級代表質(zhì)量指標等級，星級越高質(zhì)量越好，級別最高為“☆☆☆”，即三星球，國際乒聯(lián)專業(yè)比賽指定用球，二星球適用于國內(nèi)重大比賽及國家隊專業(yè)訓(xùn)練，一星球適用于業(yè)余比賽或健身訓(xùn)練．一個盒子裝有9個乒乓球，其中白球有2個三星“☆☆☆”，4個一星“☆”，黃球有1個三星“☆☆☆”，2個一星“☆”．題型一

定義法求離散型隨機變量的分布列、期望與方差(2)逐個無放回取球，取出白球即停止，取出的三星球數(shù)記為隨機變量X，求隨機變量X的分布列及期望．[思維建模]

離散型隨機變量分布列的模型解法[針對訓(xùn)練]1．某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花當作垃圾處理．(1)若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關(guān)于當天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理如表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤(單位：元)，求X的數(shù)學期望及方差；②若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，并希望利潤能比較穩(wěn)定．你認為應(yīng)購進16枝還是17枝？請說明理由．(2)①X的所有可能取值為60,70,80，E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.②花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花．理由如下：當一天購進17枝時，當天的利潤Y的概率分布為Y55657585P0.10.20.160.54E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上計算結(jié)果可以看出，D(X)<D(Y)，即購進16枝玫瑰花時利潤波動相對較?。硗猓m然E(X)<E(Y)，但兩者相差不大，故花店一天應(yīng)購進16枝玫瑰花．模型1

二項分布

題型二

三類分布模型及其應(yīng)用(1)對于方案一，設(shè)X為甲維護的機器某一時刻發(fā)生故障的臺數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望E(X)；(2)在兩種方案下，分別計算某一時刻機器發(fā)生故障時不能得到及時維修的概率，并以此為依據(jù)來判斷，哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高？[思維建模]二項分布的解題模型(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機變量；(2)分析隨機變量服從二項分布；(3)找到參數(shù)n，p；(4)寫出二項分布的概率表達式；(5)求解相關(guān)概率．[針對訓(xùn)練]2．某籃球隊為提高隊員的訓(xùn)練積極性，進行小組投籃游戲，每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成了一個小組．游戲規(guī)則：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，已知甲、乙兩名隊員投進籃球的概率分別為p1，p2.他們小組在n輪游戲中獲“神投小組”的次數(shù)ξ滿足ξ～B(n，P)，由(nP)max＝16，得n＝27.所以理論上至少要進行27輪游戲．模型2

超幾何分布[例3]

(2023·石家莊模擬)北方某市組織中學生開展冰雪運動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學生進行了考核，記考核成績不小于80分的為優(yōu)秀，為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學生中隨機抽取了60名學生的考核成績，如下表.成績[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)55152510(1)從參加培訓(xùn)的學生中隨機選取1人，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計這名學生考核優(yōu)秀的概率；(2)用分層隨機抽樣的方法，在考核成績?yōu)閇70,90)的學生中任取8人，再從這8人中隨機選取4人，記取到考核成績在[80,90)的學生為X，求X的分布列和數(shù)學期望．(2)由已知，用分層隨機抽樣方法，在考核成績?yōu)閇70,90)的學生中任取8人，則考核成績在[70,80)的學生應(yīng)抽取3人，考核成績在[80,90)的學生應(yīng)抽取5人．由題意可得X的所有可能取值為1,2,3,4，[思維建模]求超幾何分布的分布列的解題模型(1)對于超幾何分布，首先要確定參數(shù)N，M，n的值；(2)明確隨機變量的所有可能取值，以及隨機變量取每一個值時對應(yīng)的k值；(3)將k的值一一代入超幾何分布的概率計算公式，求出對應(yīng)概率；(4)寫出分布列；(5)利用公式求期望值．[針對訓(xùn)練]3．在數(shù)學探究實驗課上，小明設(shè)計了如下實驗：在一個盒子中裝有藍球、紅球、黑球等多種不同顏色的小球，一共有偶數(shù)個小球，現(xiàn)在從盒子中一次摸一個球，不放回．①求紅球的個數(shù)；②從盒子中任意摸兩次球，記摸出的紅球個數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和均值．模型3

正態(tài)分布[例4]隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道．在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：鳳梨數(shù)量/盒[100，200)[200，300)[300，400)[400，500)[500，600]購物群數(shù)量/個12m2032m(1)求實數(shù)m的值，并用組中值估計這100個購物群銷售鳳梨總量的平均數(shù)(盒)；(2)假設(shè)所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ為(1)中的平均數(shù)，σ2＝12100.若該鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售鳳梨的數(shù)量在[266,596)(單位：盒)內(nèi)的群為“一級群”，銷售數(shù)量小于266盒的購物群為“二級群”，銷售數(shù)量大于等于596盒的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”．該鳳梨基地對每個“優(yōu)質(zhì)群”獎勵1000元，每個“一級群”獎勵200元，“二級群”不獎勵，則該鳳梨基地大約需要準備多少資金？(群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù))附：若X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997.(2)由題意，μ＝376，σ＝110，且266＝376－110＝μ－σ，596＝376＋220＝μ＋2σ，所以“一級群”約有1000×0.8185＝818.5≈819個．所以需要資金為23×1000＋819×200＝186800.故至少需要準備186800元．[思維建模]解決正態(tài)分布問題的3個關(guān)鍵點(1)對稱軸x＝μ；(2)樣本標準差σ；(3)分布區(qū)間：要注意利用μ，σ分布區(qū)間的特征，把所求范圍轉(zhuǎn)化為3σ的特殊區(qū)間．[針對訓(xùn)練]4．為落實體育總局和教育部發(fā)布的《關(guān)于深化體教融合，促進青少年健康發(fā)展的意見》，某校組織學生參加100米短跑訓(xùn)練．在某次短跑測試中，抽取100名女生作為樣本，統(tǒng)計她們的成績(單位：秒)，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖(每組區(qū)間包含左端點，不包含右端點)．(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)；(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)解：(1)估計樣本中女生短跑成績的平均數(shù)為(12×0.02＋14×0.06＋16×0.14＋18×0.18＋20×0.05＋22×0.03＋24×0.02)×2＝17.4.故該校