工程力學第十講

梁的內力平面彎曲的概念及梁的計算簡圖，剪力彎矩方程、剪力彎矩圖，梁上同一截面處不同點的應力工程力學西南財經大學天府學院—工程力學梁的內力

10.1平面彎曲的概念及梁的計算簡圖

10.2剪力、彎矩

10.3剪力、彎矩方程，剪力、彎矩圖

10.4同一截面不同位置的應力西南財經大學天府學院—工程力學第一節(jié)平面彎曲的概念及

梁的計算簡圖1.彎曲:桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩矢的作用時,軸線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2.梁：以彎曲變形為主的構件通常稱為梁。彎曲的概念西南財經大學天府學院—工程力學第一節(jié)平面彎曲的概念及

梁的計算簡圖3.工程實例：西南財經大學天府學院—工程力學第一節(jié)平面彎曲的概念及

梁的計算簡圖縱向對稱面MP1P2q4.橫截面對稱的桿件發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內。以對稱彎曲為主，討論梁的應力和變形計算西南財經大學天府學院—工程力學第一節(jié)平面彎曲的概念及

梁的計算簡圖梁的計算簡圖梁的支承條件與載荷情況一般都比較復雜，為了便于分析計算，應進行必要的簡化，抽象出計算簡圖。1.構件本身的簡化通常取梁的軸線來代替梁。2.載荷簡化作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。西南財經大學天府學院—工程力學第一節(jié)平面彎曲的概念及

梁的計算簡圖①固定鉸支座

2個約束，如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。②可動鉸支座

1個約束，如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。3.支座簡化西南財經大學天府學院—工程力學第一節(jié)平面彎曲的概念及

梁的計算簡圖③固定端

3個約束，如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。XAYAMA西南財經大學天府學院—工程力學第一節(jié)平面彎曲的概念及

梁的計算簡圖4.梁的三種基本形式①簡支梁M—集中力偶q(x)—分布力②懸臂梁③外伸梁—集中力Pq—均布力西南財經大學天府學院—工程力學第二節(jié)梁的剪力與彎矩確定梁的彎曲內力如圖，F，a，l。求：距A端x處截面上內力。FamABmxl西南財經大學天府學院—工程力學第二節(jié)梁的剪力與彎矩解：①求外力ABPFAyFAxFBmmx西南財經大學天府學院—工程力學第二節(jié)梁的剪力與彎矩②求內力——截面法∴彎曲構件內力剪力彎矩1.彎矩：M

構件受彎時，橫截面上其作用面垂直于截面的內力偶矩。AFAyQMCFBFMQCABFFAyFAxFBmmx西南財經大學天府學院—工程力學第二節(jié)梁的剪力與彎矩2.剪力：Q,構件受彎時，橫截面上其作用線平行于截面的內力。3.內力的正負規(guī)定:①剪力Q:繞研究對象順時針轉為正剪力；反之為負（左上右下為正）②彎矩M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負彎矩。（左順右逆為正）Q(+)Q(–)Q(–)Q(+)M(+)M(+)M(–)M(–)西南財經大學天府學院—工程力學第二節(jié)梁的剪力與彎矩練習：求圖所示梁1--1、2--2截面處的內力。qqLab1122x1x2西南財經大學天府學院—工程力學第二節(jié)梁的剪力與彎矩解：截面法求內力。

1--1截面處截取的分離

如圖（b）示。qLQ1AM1圖（b）x1西南財經大學天府學院—工程力學qLQ2BM2x2圖（c）q第二節(jié)梁的剪力與彎矩2--2截面處截取的分離體如圖（c）西南財經大學天府學院—工程力學第二節(jié)梁的剪力與彎矩練習：簡支梁受載荷作用如圖所示。已知集中力P=1000N，集中力偶m=4000kN·m，均布載荷q=10N/m，試求1-1和2-2截面的剪力和彎矩。西南財經大學天府學院—工程力學第二節(jié)梁的剪力與彎矩解:(1)求支座反力以整梁為研究對象，受力圖如圖所示，由平衡方程求解支座反力西南財經大學天府學院—工程力學第二節(jié)梁的剪力與彎矩(2)計算1-1截面的內力利用計算剪力和彎矩的規(guī)律，由1-1截面左側外力計算(3)計算2-2截面的內力利用計算剪力和彎矩的規(guī)律，由2-2截面的右側外力計算西南財經大學天府學院—工程力學ACDBE222m2m11第二節(jié)梁的剪力與彎矩練習：試求1-1,2-2截面上的剪力、彎矩值。西南財經大學天府學院—工程力學ACDBE第二節(jié)梁的剪力與彎矩解：以整梁（AE）為研究對象，求出A、B點約束反力。FA=7kN,FB=5kN;以1-1截面左側為研究對象，求出該截面的剪力及彎矩。Q1=-1kN,M1=20kN·m;以2-2截面左側為研究對象，求出該截面的剪力及彎矩。Q2=-3kN,M2=0kN·m;西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖1.內力方程：內力與截面位置坐標（x）間的函數關系式。2.剪力圖和彎矩圖：)(xQQ=剪力方程)(xMM=彎矩方程)(xQQ=剪力圖的圖線表示)(xMM=彎矩圖的圖線表示為了形象地表示剪力和彎矩沿梁軸的變化規(guī)律，把剪力方程和彎矩方程用其圖像表示，稱為剪力圖和彎矩圖西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖剪力圖和彎矩圖的畫法與軸力圖、扭矩圖很相似，用平行于梁軸的橫坐標x表示梁橫截面的位置，用垂直于梁軸的縱坐標表示相應截面的剪力和彎矩。在土建工程中，習慣上將正剪力畫在x軸上方，負剪力畫在x軸的下方；正彎矩畫在x軸下方，負彎矩畫在x軸的上方，即把彎矩圖畫在梁受拉的一側。剪力圖和彎矩圖的畫法西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖其作圖步驟如下以梁整體為研究對象，根據梁上的荷載和支座情況，由靜力平衡方程求出支座反力；梁的分段原則：分段原則與列剪力方程和彎矩方程的分段相同，即以集中力和集中力偶作用處、分布荷載的起止處、梁的支承處以及梁的端面為界點，將梁進行分段。分截面原則：對于剪力圖，在集中力作用的截面上發(fā)生突變，需將集中力作用的截面分出來；對于彎矩圖，在集中力偶作用的截面上發(fā)生突變，需將集中力偶作用的截面分出來。2、梁的分段和分截面1、求支座反力西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖3、畫剪力圖和彎矩圖按照作圖方向截面和分段出現的先后順序，利用剪力圖和彎矩圖的規(guī)律，再結合剪力和彎矩的規(guī)律計算各控制截面上的剪力值和彎矩值，依次就可以簡捷地畫出剪力圖和彎矩圖；西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖練習：求下列各圖示梁的內力方程并畫出內力圖。PLFOMO西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖解：①求支反力②寫出內力方程③根據方程畫內力圖PLQ(x)xPM(x)xPLFOMOM(x)xQ(x)FOMO-○西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖練習:求下列各梁的剪力彎矩圖。q2aaABCFAFB西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖解：(1)支反力(2)剪力方程、彎矩方程q2aaABCFAFBQ(3)畫出剪力圖、彎矩圖M西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖練習：如圖所示的外伸梁，試畫出該梁的剪力圖和彎矩圖。西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖解：1)求支座反力以整梁為研究對象，由平衡方程得西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖

2)求剪力方程、彎矩方程注:如果不用右端點而用B，則要考慮Fa與q和Fb。要考慮Fa與q和Fb。西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖（3）剪力圖為西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖PQMqQM西南財經大學天府學院—工程力學第三節(jié)梁的剪力與彎矩方程

梁的剪力與彎矩圖mQMMQq西南財經大學天府學院—工程力學第四節(jié)同一截面上不同位置的應力純彎曲：梁受力彎曲后，如其橫截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為純彎曲。

純彎曲時梁橫截面上的正應力西南財經大學天府學院—工程力學第四節(jié)同一截面上不同位置的應力實驗現象：1、變形前互相平行的縱向直線、變形后變成弧線，且凹邊纖維縮短、凸邊纖維伸長。2、變形前垂直于縱向線的橫向線,變形后仍為直線，且仍與彎曲了的縱向線正交，但兩條橫向線間相對轉動了一個角度。中性軸：中性層與橫截面的交線稱為中性軸。平面假設：變形前桿件的橫截面變形后仍為平面。西南財經大學天府學院—工程力學第四節(jié)同一截面上不同位置的應力西南財經大學天府學院—工程力學第四節(jié)同一截面上不同位置的應力MZ:橫截面上的彎矩y:到中性軸的距離IZ:截面對中性軸的慣性矩西南財經大學天府學院—工程力學第四節(jié)同一截面上不同位置的應力慣性矩

慣性矩是一個物理量，通常被用作描述一個物體抵抗扭動，扭轉的能力。西南財經大學天府學院—工程力學第四節(jié)同一截面上不同位置的應力練習：長為l的矩形截面懸臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b＝120mm，h