4.5.3函數(shù)模型的應用導學案

4.5.3函數(shù)模型的應用導學案【學習目標】1.會利用已知函數(shù)模型解決實際問題．(重點)2.能建立函數(shù)模型解決實際問題．(重點、難點)3.了解擬合函數(shù)模型并解決實際問題．(重點)4.通過本節(jié)內容的學習，使學生認識函數(shù)模型的作用，提高學生數(shù)學建模，數(shù)據(jù)分析的能力．(重點)【自主學習】1．常用函數(shù)模型常用函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型y＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)(2)二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)(3)指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)(4)對數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n(m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1)(5)冪函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)(6)分段函數(shù)模型y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋bx<m，,cx＋dx≥m))2.建立函數(shù)模型解決問題的基本過程思考：解決函數(shù)應用問題的基本步驟是什么？提示：利用函數(shù)知識和函數(shù)觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原．這些步驟用框圖表示如圖：【當堂達標基礎練】1.、人口問題是當今世界各國普遍關注的問題．認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為制定一系列相關政策提供依據(jù)．早在1978年，英國經濟學家馬爾薩斯(，1766—1834)就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型y=y0ert，其中t表示經過的時間，y0表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率．下表是1950～1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.0001)，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；(2)如果按上表的增長趨勢，那么大約在哪一年我國的人口數(shù)達到13億？解:(1)設1951～1959年我國各年的人口增長率分別為r1,r由55196可得1951年的人口增長率r1≈同理可得,r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250,r6≈0.0223，r7≈0.0276,r8≈0.0222,于是,1951～1959年期間，我國人口的年平均增長率為:r=(令y0y=55196e0.0221t，t∈根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖，并畫出函數(shù)y=55196e0.0221t，t∈的圖象由圖可以看出，所得模型與1950～1959年的實際人口數(shù)據(jù)基本吻合．因為人口基數(shù)較大，人口增長過快，與我國經濟發(fā)展水平產生了較大矛盾，所以我國從２０世紀７０年代逐步實施了計劃生育政策．因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，自然就出現(xiàn)了依模型得到的結果與實際不符的情況2、2010年，考古學家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進行碳14年代學檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的％，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的?解：設樣本中碳14的初始量為k，衰減率為p(0<p<1)，經過x年后，殘余量為y．根據(jù)問題的實際意義，可選擇如下模型：y=k(1p)x(k∈R,且k≠0;0<p<1;x≥0)．由碳14的半衰期為5730年，得于是所以由樣本中碳％可知，即解得由計算工具得x≈4912．因為2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推斷此水壩大概是公元前2902年建成的．3.已知1650年世界人口為5億，當時人口的年增長率為0.3%；1970年世界人口為36億，當時人口的年增長率為2.1%．（1）用馬爾薩斯人口模型計算，什么時候世界人口是1650年的2倍？什么時候世界人口是1970年的2倍？（２）實際上，1850年以前世界人口就超過了10億；而2004年世界人口還沒有達到72億．你對同樣的模型得出的兩個結果有何看法？解：按1650年人口的年增長率0.3%建立人口增長模型得將y=100000代入上述模型得由計算工具得所以，按照1650年人口的年增長率0.3%，232年后（即1882年）世界人口是1650年的2倍,達到10億解：按1970年人口的年增長率2.1%建立人口增長模型得將y=720000代入上述模型得由計算工具得所以，按照1970年人口的年增長率2.1%，34年后（即2004年）世界人口是1970年的2倍，達到72億(2)馬爾薩斯人口模型是用來刻畫自然狀態(tài)下的人口增長模型，其中的參數(shù)r表示人口的年平均增長率.這兩段時期都存在人口非自然增長的狀況，且計算選擇的增長率都不是這兩段時期的平均增長率，所以所得出的兩個結果與實際存在差異.4.在一段時間內，某地的野兔快速繁殖，野兔總只數(shù)的倍增期為21個月，那么1萬只野兔增長到1億1只野兔大約需要多少年？解：設野兔的初始量為1萬只經過x個月野兔增長到y(tǒng)萬只,增長率為P(P＞1）由計算工具得x≈280（月）≈24（年）所以,1萬只野兔增長到1億只野兔大約需要24年.5.1959年，考古學家在河南洛陽偃師市區(qū)二里頭村發(fā)掘出了一批古建筑群，從其中的某樣本中檢測出碳14的殘余量約為初始量的62.76%，能否以此推斷二里頭遺址大概是什么年代的？6.假設你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報元，以后每天的回報比前一天翻一番．請問，你會選擇哪種投資方案？分析：我們可以先建立三種投資方案所對應的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)解：設第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y＝40(x∈N方案二可以用函數(shù)y＝10x(x∈N方案三可以用函數(shù)y=0.4×進行描述．三個模型中，第一個是常數(shù)函數(shù)，后兩個都是增函數(shù)．要對三個方案作出選擇，就要對它們的增長情況進行分析．我們先用信息技術計算一下三種方案所得回報的增長情況三種方案每天回報表方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不相同．可以看到，盡管方案一、方案二在第１天所得回報分別是方案三的100倍和25倍，但它們的增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個方案增長得快得多，這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的．從每天所得回報看，在第１～３天，方案一最多；在第４天，方案一和方案二一樣多，方案三最少；在第５～８天，方案二最多；第9天開始，方案三比其他兩個方案所得回報多得多，到第30天，所得回報已超過2億元．下面再看累計的回報數(shù)．通過信息技術列表如下投資1~6天，應選擇方案一；投資7天，應選擇方案一或方案二；投資8~10天，應選擇方案二；投資11天（含11天）以上，應選擇方案三。假如某公司每天給你投資1萬元，共投資30天。公司要求你給他的回報是：第一天給公司1分錢，第二天給公司2分錢，以后每天給的錢都是前一天的2倍，共30天，你認為這樣的交易對你有利嗎？解答如下：公司30天內為你的總投資為:30萬元你30天內給公司的回報為:0.01+0.01×2+0.01×22+…+0.01×229=10737418.23≈1074(萬元)上述例子只是一種假想情況，但從中可以看到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異7.某公司為了實現(xiàn)1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x,y=log7x,其中哪個模型能符合公司的要求？分析：本例提供了三個不同增長方式的獎勵模型，按要求選擇其中一個函數(shù)作為刻畫獎金總數(shù)與銷售利潤的關系．由于公司總的利潤目標為1000萬元，所以銷售人員的銷售利潤一般不會超過公司總的利潤．于是，只需在區(qū)間［10，1000］上，尋找并驗證所選函數(shù)是否滿足兩條要求：第一，獎金總數(shù)不超過５萬元，即最大值不大于５；第二，獎金不超過利潤的２５％，即Y≤0.25X．不妨先畫出函數(shù)圖象，通過觀察函數(shù)圖象，得到初步的結論，再通過具體計算，確認結果．解：借助信息技術畫出函數(shù)y＝５，y=0.25x,y=log7xx的圖象都有一部分在直線y＝５的上方，只有模型y=log7x+1的圖象始終在y＝５的下方，這說明只有按模型y=log7x+1進行獎勵時才符合公司的要求．下面通過計算確認上述判斷．先計算哪個模型的獎金總數(shù)不超過５萬元．對于模型y＝0.25x，它在區(qū)間［10，1000］上單調遞增，而且當x＝２０時，y＝５，因此，當x＞２０時，y＞５，所以該模型不符合要求；x，由函數(shù)圖象，并利用信息技術，可知在區(qū)間（805，806）內有一個點x0滿足1.002因此當x＞x0對于模型y=log7x+1，它在區(qū)間［10，1000］上單調遞增，而且當x＝1000時，y=log71000+1≈4.55＜５，所以它符合獎金總數(shù)不超過５萬元的要求．再計算按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25％，即當x∈［10，1000］時，是否有y≤0.25x，即y=log7x+1≤0.25x成立．令f(x)＝y(tǒng)=log7x+10.25x，x∈［10，1000］,利用信息技術畫出它的圖象由圖象可知函數(shù)f(x)在區(qū)間［10，1000］上單調遞減，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜０，即y=log7x+1＜0.25x．所以，當x∈［10，1000］時，x，說明按模型y=log7x+1獎勵，獎金不會超過利潤的25％．綜上所述，模型y=log7x+1確實能符合公司要求．【當堂達標提升練】一、單擇題1．某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，……現(xiàn)有2個這樣的細胞，分裂x次后得到細胞的個數(shù)y與x的函數(shù)關系是()A．y＝2x B．y＝2x－1C．y＝2x D．y＝2x＋1【答案】D【解析】分裂一次后由2個變成2×2＝22個，分裂兩次后4×2＝23個，……，分裂x次后y＝2x＋1個．2．某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關系，如圖所示，由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是()A．310元 B．300元C．390元 D．280元【答案】B【解析】由圖象知，該一次函數(shù)過(1,800)，(2,1300)，可求得解析式y(tǒng)＝500x＋300(x≥0)，當x＝0時，y＝300.3．有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01則能體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關系的函數(shù)模型是()A．u＝log2t B．u＝2t－2C．u＝eq\f(t2－1,2) D．u＝2t－2【答案】C【解析】可以先畫出散點圖，并利用散點圖直觀地認識變量間的關系，選擇合適的函數(shù)模型來刻畫它，散點圖如圖所示．由散點圖可知，圖象不是直線，排除選項D；圖象不符合對數(shù)函數(shù)的圖象特征，排除選項A；當t＝3時，2t－2＝23－2＝6，排除B，故選C.4.根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))，x<A，,\f(c,\r(A))，x≥A))(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產品用時30min，組裝第A件產品用時15min，那么c和A的值分別是()A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16【答案】D【解析】由題意知，組裝第A件產品所需時間為eq\f(c,\r(A))＝15，故組裝第4件產品所需時間為eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.將c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.5．一家旅社有100間相同的客房，經過一段時間的經營實踐，旅社經理發(fā)現(xiàn)，每間客房每天的價格與住房率之間有如下關系：每間每天定價20元18元16元14元住房率65%75%85%95%要使收入每天達到最高，則每間應定價為()A．20元 B．18元C．16元 D．14元【答案】C【解析】每天的收入在四種情況下分別為20×65%×100＝1300(元)，18×75%×100＝1350(元)，16×85%×100＝1360(元)，14×95%×100＝1330(元)．二、多選題6．如圖，建立平面直角坐標系軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關，炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為千米，它的橫坐標為.則下列結論正確的是（

）A．炮的最大射程為10千米B．炮的最大射程為20千米C．當飛行物的橫坐標超過6時，炮彈可以擊中飛行物D．當飛行物的橫坐標不超過6時，炮彈可以擊中飛行物【答案】AD【分析】由，用k表示x并求出最大值判斷A，B；由直線與炮彈軌跡有無公共點判斷C，D作答.【詳解】在中，令，可得，顯然，因此，當且僅當，即時等號成立，即炮的最大射程為10千米，A正確，B錯誤；依題意，炮彈擊中飛行物，即直線與炮彈軌跡有公共點，而，，于是得關于的方程，即有正根，當，即時，方程兩根之和為正，兩根之積為正，因此當時，關于的方程有正根，即當不超過6千米時，炮彈可以擊中目標，C錯誤，D正確.故選：AD7.三個變量，，隨變量變化的數(shù)據(jù)如下表：0510152025305130505113020053130450559016202916052488094478401700611205305580105130155則下列說法合理的是（

）A．關于呈指數(shù)增長 B．關于呈指數(shù)增長C．關于呈直線上升 D．的增長速度最快【答案】BCD【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性，再由表格中單調性的特點，可得答案.【詳解】隨增大而增大，增加量依次是125，375，625，875，…，增長的速度越來越慢，呈對數(shù)增長，故A錯誤；隨增大而增大，增加量依次是85，1530，27540，495720，…，增長的速度越來越快，呈指數(shù)增長，且增長速度最快，故B，D正確；隨增大而增大，增加量依次是25，25，25，…，呈均勻增加狀態(tài)，呈直線上升，故C正確.故選：BCD.8.甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學從家出發(fā)到乙同學家經過的路程y(km)與時間x(min)的關系，下列結論正確的是（

）A．甲同學從家出發(fā)到乙同學家走了60minB．甲從家到公園的時間是30minC．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度快D．當0≤x≤30時，y與x的關系式為y＝x【答案】BD【分析】根據(jù)圖表逐項判斷即可【詳解】在A中，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度慢，C錯誤；當0≤x≤30時，設y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得，D正確.故選：BD三、填空題9．已測得(x，y)的兩組值為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個擬合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又測得(x，y)的一組對應值為(3,10.2)，則選用________作為擬合模型較好．【答案】甲【解析】對于甲：x＝3時，y＝32＋1＝10，對于乙：x＝3時，y＝8，因此用甲作為擬合模型較好．10．某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費)；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了________km.【答案】9【解析】設出租車行駛xkm時，付費y元，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋2.15x－3＋1，3<x≤8，,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8，))由y＝22.6，解得x＝9.11．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數(shù)是________(lg2≈0.3010)．【答案】4【解析】設至少要洗x次，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，所以x≥eq\f(1,lg2)≈3.322，所以需4次．四、解答題12．某種產品的年產量為a，在今后m年內，計劃使產量平均每年比上年增加p%.(1)寫出產量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式；(2)若使年產量兩年內實現(xiàn)翻兩番的目標，求p.[解](1)設年產量為y，年數(shù)為x，則y＝a(1＋p%)x，定義域為{x|0≤x≤m，且x∈N*}．(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.13．某個體經營者把開始六個月試銷A，B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表：投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.250.490.7611.261.51該經營者準備下月投入12萬元經營這兩種產品，但不知投入A，B兩種商品各多少萬元才合算．請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經營者能獲得最大利潤，并按你的方案求出該經營者下月可獲得的最大純利潤(結果保留兩位有效數(shù)字)．[解]以投資額為橫坐標，純利潤為縱坐標，在平面直角坐標系中畫出散點圖，如下圖所示．圖(1)圖(2)觀察散點圖可以看出，A種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進行模擬，如圖(1)所示，取(4,2)為最高點，則y＝a(x－4)2＋2，再把點(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.B種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律是線性的，可以用一次函數(shù)模型進行模擬，如圖(2)所示．設y＝kx＋b，取點(1,0.25)和(4,1)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.25＝k＋b，,1＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝0.25，,b＝0，))所以y＝0.25x.即前六個月所獲純利潤y關于月投資A種商品的金額x的函數(shù)關系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六個月所獲純利潤y關于月投資B種商品的金額x的函數(shù)關系式是y＝0.25x.設下月投入A，B兩種商品的資金分別為xA，xB(萬元)，總利潤為W(萬元)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xA＋xB＝12，,W＝y(tǒng)A＋yB＝－0.15xA－42＋2＋0.25xB.))所以W＝－0.15eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(19,6)))2＋0.15×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,6)))2＋2.6.當xA＝eq\f(19,6)≈3.2(萬元)時，W取最大值，約為4.1萬元，此時xB＝8.8(萬元)．即該經營者下月把12萬元中的3.2萬元投資A種商品，8.8萬元投資B種商品，可獲得最大利潤約為4.1萬元．【當堂達標素養(yǎng)練】一、單選題1．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率P與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關系P＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可得到最佳加工時間為()A．3.50分鐘 B．3.75分鐘C．4.00分鐘 D．4.25分鐘【答案】B【解析】依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.所以P＝－0.2t2＋1.5t－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16).所以當t＝eq\f(15,4)＝3.75時，P取得最大值．即最佳加工時間為3.75分鐘．2．衣柜里的樟腦丸，隨著時間會揮發(fā)而體積縮小，剛放進去的新丸體積為a，經過t天后體積V與天數(shù)t的關系式為：V＝a·e－kt.已知新丸經過50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)a.若一個新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經過的天數(shù)為()A．125 B．100C．75 D．50【答案】C【解析】由已知，得eq\f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up25(eq\f(1,50)).設經過t1天后，一個新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則eq\f(8,27)a＝a·e－kt1，∴eq\f(8,27)＝(e－k)t1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up25(eq\f(1,50)t1)，∴eq\f(t1,50)＝eq\f(3,2)，t1＝75.二、多選題3．某打車平臺欲對收費標準進行改革，現(xiàn)制訂了甲、乙兩種方案供乘客選擇，其支付費用y（單位：元）與打車里程x（單位：km）的函數(shù)關系大致如圖所示，則（

）A．當打車里程為8km時，乘客選擇甲方案更省錢B．當打車里程為10km時，乘客選擇甲、乙方案均可C．打車里程在3km以上時，每千米增加的費用甲方案比乙方案多【答案】ABC【分析】根據(jù)圖象一一判斷即可.【詳解】解：對于A，當3＜x＜10時，甲對應的函數(shù)值小于乙對應的函數(shù)值，故當打車里程為8km時，乘客選擇甲方案更省錢，故A正確；對于B，當打車里程為10km時，甲、乙方案的費用均為12元，故乘客選擇甲、乙方案均可，故B正確；對于C，打車3km以上時，甲方案每千米增加的費用為（元），乙方案每千米增加的費用為（元），故每千米增加的費用甲方案比乙方案多，故C正確；對于D，由圖可知，甲方案3km內（含3km）付費5元，3km以上時，甲方案每千米增加的費用為1（元），故D錯誤.故選:ABC.4．某工廠生產一種溶液，按市場要求該溶液的雜質含量不得超過0.1%，而這種溶液最初的雜質含量為2%，現(xiàn)進行過濾，已知每過濾一次雜質含量減少，若使這種溶液的雜質含量達到市場要求，則過濾次數(shù)可以為（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BCD【分析】由解不等式可得答案.【詳解】設經過n次過濾，這種溶液的雜質含量達到市場要求，則，即，兩邊取對數(shù)，得，即，得.故選：BCD.5．邊際函數(shù)是經濟學中一個基本概念，在國防、醫(yī)學、環(huán)保和經濟管理等許多領域都有十分廣泛的應用，函數(shù)的邊際函數(shù)定義為．某公司每月最多生產75臺報警系統(tǒng)裝置，生產臺的收入函數(shù)（單位：元），其成本的數(shù)（單位：元），利潤是收入與成本之差，設利潤函數(shù)為，則以下說法正確的是（

）A．取得最大值時每月產量為臺B．邊際利潤函數(shù)的表達式為C．利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)不具有相同的最大值D．邊際利潤函數(shù)說明隨著產量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少【答案】BCD【分析】求出函數(shù)、的解析式，可判斷B選項；利用二次函數(shù)的基本性質可判斷A選項；求出利潤函數(shù)與邊際利潤函數(shù)的最大值，可判斷C選項；利用邊際利潤函數(shù)的單調性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，因為，所以，取得最大值時每月產量為臺或臺，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，因為函數(shù)為減函數(shù)，則，C對；對于D選項，因為函數(shù)為減函數(shù)，說明邊際利潤函數(shù)說明隨著產量的增加，每臺利潤與前一臺利潤差額在減少，D對.故選：BCD.三、填空題6．2008年我國人口總數(shù)為14億，如果人口的自然年增長率控制在1.25%，則________年我國人口將超過20億．(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451)【答案】2037【解析】由題意，得14(1＋1.25%)x－2008>20，即x－2008>eq\f(lg\f(10,7),lg\f(81,80))＝eq\f(1－lg7,4lg3－3lg2－1)≈28.7，解得x>2036.7，又x∈N，故x＝2037.7．某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震．地震專家對發(fā)生的余震進行了監(jiān)測，記錄的部分數(shù)據(jù)如下表：強度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(里氏)5.05.25.35.4注：地震強度是指地震時釋放的能量．地震強度(x)和震級(y)的模擬函數(shù)關系可以選用y＝algx＋b(其中a，b為常數(shù))．利用散點圖(如圖)可知a的值等于________．(取lg2≈0.3進行計算)【答案】eq\f(2,3)【解析】由記錄的部分數(shù)據(jù)可知x＝1.6×1019時，y＝5.0，x＝3.2×1019時，y＝5.2.所以5.0＝alg(1.6×1019)＋b，①5．2＝alg(3.2×1019)＋b，②②－①得0.2＝algeq\f(3.2×1019,1.6×1019)，0.2＝alg2.所以a＝eq\f(0.2,lg2)＝eq\f(0.2,0.3)＝eq\f(2,3).四、解答題8．某企業(yè)研發(fā)的一條生產線生產某種產品，據(jù)測算，其生產的總成本（萬元）與月產量（噸）之間的關系式為：，已知此生產線月產量最大為20噸．(1)求月產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低，并求出這個最低成本；(2)經過評估，企業(yè)定價每噸產品的出廠價為32萬元，且最大利潤不超過200萬元，由該生產線月產量的最大值應為多少？【答案】(1)當月產量為10（噸）時，每噸平均成本最低，最低成本為12萬元(2)最大值應為10噸【分析】（1）結合題中所給關系式，列出每噸的平均成本與月產量的關系式，利用基本不等式即可求解；（2）根據(jù)題意列出二次不等式，解之即可.（1）設每噸的平均成本為萬元，且，則，當且僅當，即（噸）時，每噸平均成本最低，且最低成本為12萬元．（2）由題意得，，即，整理得，解得或，因為，所以，所以當最大利潤不超過200萬元時，年產量的最大值應為10噸．9．因新冠肺炎疫情影響，呼吸機成為緊缺商品，某呼吸機生產企業(yè)為了提高產品的產量，投入成本500萬元安裝了一臺新設備，并立即進行生產，預計使用該設備前年的材料費、維修費、人工工資等成本共為萬元，每年的銷售收入為260萬元，設使用該設備前n年的總盈利額為萬元．(1)寫出關于n的函數(shù)關系式，并估計該設備從第幾年開始盈利？（利潤=銷售收入總成本）(2)問使用到第幾年末，年平均利潤最大，最大值為多少？【答案】(1)，第3年(2)在使用第5年末，年平均利潤最大為50萬元．【分析】（1）求出，再解一元二次不等式可得答案；（2）求出，再利用基本不等式求最值可得答案．（1），令，解得，而，所以該設備第3年開始盈利；（2），因為，當且僅當時取到等號，所以萬元，故在使用第5年末，年平均利潤最大為50萬元．10．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時)[解](1)由題意，當0≤x≤20時，v(x)＝60；當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200a＋b＝0，,20a＋b＝60，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,3)，,b＝\f(200,3).))故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0≤x≤20，,\f(1,3)200－x，20<x≤200.))(2)依題意并結合(1)可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x，0≤x≤20，,\f(1,3)x200－x，20<x≤200.))當0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當x＝20時，f(x)在區(qū)間[0,20]上取得最大值60×20＝1200；當20<x≤200時，f(x)＝eq\f(1,3)x(200－x)＝－eq\f(1,3)(x－100)2＋eq\f(10000,3)≤eq\f(10000,3)，當且僅當x＝100時，等號成立．所以當x＝100時，f(x)在區(qū)間(20,200]上取得最大值eq\f(10000,3).綜上可得，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,20