整式乘法與因式分解-解答壓軸題一（解析版）

整式乘法與因式分解（解答壓軸題一）1．閱讀下列材料：利用完全平方公式，可以將多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法．運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式．例如：根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：(1)用多項(xiàng)式的配方法將化成的形式；(2)下面是某位同學(xué)用配方法及平方差公式把多項(xiàng)式進(jìn)行分解因式的解答過(guò)程，老師說(shuō)，這位同學(xué)的解答過(guò)程中有錯(cuò)誤，請(qǐng)你找出該同學(xué)解答中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，并用“_____”標(biāo)畫(huà)出來(lái)，然后寫(xiě)出完整的、正確的解答過(guò)程：解：(3)求證：x，y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式的值總為正數(shù)．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）；（2）如圖所示：解：正確的解答過(guò)程：；（3）證明：，故x，y取任何實(shí)數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式的值總為正數(shù)．2．（1）閱讀材料：一個(gè)正整數(shù)x能寫(xiě)成（a，b均為正整數(shù)，且），則稱x為“雪松數(shù)”，a，b為x的一個(gè)平方差分解．例如：，24為雪松數(shù)，7和5為24的一個(gè)平方差分解．①請(qǐng)直接寫(xiě)出一個(gè)30以內(nèi)且是兩位數(shù)的雪松數(shù)，并寫(xiě)出它們的一個(gè)平方差分解；②試證明10不是雪松數(shù)；（2）若a，b正整數(shù)，且，求的值．【答案】（1）①見(jiàn)解析；（答案不唯一）②見(jiàn)解析；（2）【詳解】解：（1）①∵，∴21是“雪松數(shù)”，5和2為21的一個(gè)平方差分解；②設(shè)，∵，∴或，解得：或，∵a、b均為正整數(shù)，且，∴方程組無(wú)解，∴10不是“雪松數(shù)”；（2）∵，∴，∴，不妨令，∴或，解得：或，∵a、b均為正整數(shù)，且，∴，∴．3．閱讀下列材料：某?！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”活動(dòng)中，研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解，如：“”，細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)可以提取公因式，后兩項(xiàng)也可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后產(chǎn)生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整個(gè)式子的因式分解了，過(guò)程為．“社團(tuán)”將此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問(wèn)題：(1)分解因式：；(2)已知，，求的值；(3)的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)7(3)等腰三角形，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：；（2），，，原式；（3）是等腰三角形，理由如下：，，，，，，即，是等腰三角形．4．閱讀材料，解答問(wèn)題：任意一個(gè)正整數(shù)都可以進(jìn)行這樣的分解：（，是正整數(shù)，且），在的所有這種分解中，如果，兩因數(shù)之差最小，我們就稱是的最優(yōu)分解，記．例如：，，是12的最優(yōu)分解，即．(1)填空：______；(2)若是大于1的正整數(shù)，求的值；(3)已知，其中是正整數(shù)，求的值．【答案】(1)3(2)(3)或【詳解】（1）解：，，是18的最優(yōu)分解，即，（2）解：為正整數(shù)，且不能分解為一個(gè)整式的平方，又，與相差1是最小的，是的最優(yōu)分解，；（3）解：，，，，，均為正整數(shù)且，或，解得或．5．將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式分別分解的方法是因式分解中的分組分解法，常見(jiàn)的分組分解法的形式有：“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．如“”分法：再如“”分法：利用上述方法解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：．(2)的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)是等腰三角形，理由見(jiàn)解析．【詳解】（1）解：；（2）解：，，，，，∴或，∴或，∴是等腰三角形．6．閱讀材料：我們學(xué)習(xí)了完全平方式，并知道完全平方式具有非負(fù)性．我們可以利用完全平方式的知識(shí)，將一般的二次代數(shù)式，轉(zhuǎn)化為完全平方式的形式，這個(gè)過(guò)程叫做“配方”．通過(guò)配方，我們可以求代數(shù)式的最大（?。┲担纾呵蟠鷶?shù)式的最小值．解：我們可以先將代數(shù)式配方：再利用完全平方式的非負(fù)性：∵，∴，∴的最小值是4．(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最大值；(3)某居民小區(qū)要在一塊兩面靠墻（墻長(zhǎng)無(wú)限）的空地上建一個(gè)長(zhǎng)方形花園，另兩邊用總長(zhǎng)為20m的柵欄圍成．如圖，設(shè)，請(qǐng)問(wèn)：當(dāng)取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)(2)16(3)當(dāng)時(shí)，花園的面積最大，最大面積是100【詳解】（1）解：，∵，∴，∴的最小值是；（2），∵，∴，∴的最大值是16；（3）設(shè)，則，花園的面積∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，花園的面積最大，最大面積是100．7．我們把“同一圖形的面積，用兩種不同的方法求出的結(jié)果相等，從而構(gòu)建等式，根據(jù)等式解決相關(guān)問(wèn)題”的方法稱為“面積法”．(1)通過(guò)如圖①中圖形的面積關(guān)系，直接寫(xiě)出一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的等式：______；(2)“面積法”還可以作為幾何證明的工具，當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形擺放成如圖②所示時(shí)，其中，借助圖中輔助線用兩種不同方法表示四邊形的面積，易得：______；______，構(gòu)建等式整理可得：；(3)如圖③，在中，，，P為邊上的任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，，垂足分別為M、N，連接，利用“面積法”求的值．【答案】(1)(2)，(3)【詳解】（1）解：左上角正方形的面積可以表示為，也可以表示為：即，（2）解：，（3）解：如圖，過(guò)A作于點(diǎn)H，∵，∴，∴由勾股定理得，．∵，∴，∴，∴．8．我們知道某些代數(shù)恒等式可用一些卡片拼成的圖形面積來(lái)解釋，例如：如圖1，可以用來(lái)解釋，實(shí)際上利用一些卡片拼成的圖形面積也可以對(duì)某些二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．(1)如圖2，將一張長(zhǎng)方形紙板按圖中裁剪成六塊，其中有一塊是邊長(zhǎng)為a的大正方形，兩塊是邊長(zhǎng)都為b的小正方形，三塊是長(zhǎng)為a，寬為b的全等小長(zhǎng)方形，觀察圖形，因式分解：______；(2)如圖3，若，，，求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)11【詳解】（1）解：根據(jù)圖形可得：，（2）根據(jù)圖形陰影部分的面積表示為：，∵，，∴，∴陰影部分的面積為．9．先閱讀下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題：?jiǎn)栴}：對(duì)于形如，這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使它與的和成為一個(gè)完全平方式，再減去，整個(gè)式子的值不變，于是有：．像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”，利用“配方法”，解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：；(2)若．①當(dāng)a，b，m滿足條件：時(shí)，求m的值；②若的三邊長(zhǎng)是a，b，c，且c邊的長(zhǎng)為奇數(shù)，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①②或或【詳解】（1）解：；（2）解：；∵，∴，∵，∴，∴；①∵，即：，∴，∴，∴，∴；②∵的三邊長(zhǎng)是a，b，c，∴，即：，∵c邊的長(zhǎng)為奇數(shù)，∴或或，當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為；當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為；綜上：的周長(zhǎng)為或或．10．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項(xiàng)式則不能直接用上述兩種方法進(jìn)行分解，比如多項(xiàng)式．這樣我們就需要結(jié)合式子特點(diǎn)，探究新的分解方法．仔細(xì)觀察這個(gè)四項(xiàng)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)：若把它的前兩項(xiàng)結(jié)合為一組符合平方差公式特點(diǎn)，把它的后兩項(xiàng)結(jié)合為一組可提取公因式，而且對(duì)前后兩組分別進(jìn)行因式分解后會(huì)出現(xiàn)新的公因式，提取新的公因式就可以完成對(duì)整個(gè)式子的因式分解．具體過(guò)程如下：例1：

分成兩組

分別分解

提取公因式完成分解像這種將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，再分解因式的方法叫做分組分解法．分組分解法一般是針對(duì)四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，關(guān)鍵在恰當(dāng)分組，分組須有“預(yù)見(jiàn)性”，預(yù)見(jiàn)下一步能繼續(xù)分解，直到完成分解．(1)關(guān)于以上方法中“分組”目的的以下說(shuō)法中所有正確的序號(hào)是______．①分組后組內(nèi)能出現(xiàn)公因式；②分組后組內(nèi)能運(yùn)用公式；③分組后組間能繼續(xù)分解．(2)若要將以下多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，怎樣分組比較合適？①______．②______．(3)利用分組分解法進(jìn)行因式分解：．【答案】(1)(2)①，②；(3)【詳解】（1）解：從材料可知：“分組”的目的是：①分組后組內(nèi)能出現(xiàn)公因式；②分組后組內(nèi)能運(yùn)用公式；③分組后組間能繼續(xù)分解；（2）解：①②，（3）解：11．【閱讀材料】利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解或有關(guān)運(yùn)算．例如：對(duì)于．（1）用配方法分解因式；（2）當(dāng)取何值，代數(shù)式有最小值？最小值是多少？解：（1）原式．（2）由（1）得：，，，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是．【問(wèn)題解決】利用配方法解決下列問(wèn)題：(1)用配方法因式分解：；(2)試說(shuō)明不論為何值，代數(shù)式恒為負(fù)數(shù)；(3)若已知且，求的值．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)2【詳解】（1）解：．（2）解：，，，不論為何值，代數(shù)式恒為負(fù)數(shù)．（3）解：，，，，，，，，，．12．【閱讀理解】對(duì)于形如這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使它與的和成為一個(gè)完全平方式，再減去，整個(gè)式子的值不變，于是有：．像這樣，先添一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”．【解決問(wèn)題】(1)利用“配方法”分解因式：．(2)已知，，求的值．(3)已知是實(shí)數(shù)，試比較與的大小，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)，【詳解】（1）解：原式（2）∵ab5，ab6（3）∵∴∴13．閱讀材料，要將多項(xiàng)式分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成一組，提出公因式a，再把它的后兩項(xiàng)分成一組，提出公因式b，從而得到：，這時(shí)中又有公因式，于是可以提出，從而得到，因此有，這種方法稱為分組法．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)嘗試填空：______；(2)解決問(wèn)題：因式分解；(3)拓展應(yīng)用：已知三角形的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且滿足，試判斷這個(gè)三角形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)(3)是等邊三角形，理由見(jiàn)解析．【詳解】（1）解：；（2）；（3）結(jié)論：是等邊三角形．理由：∵，∴，即：∵，，∴，，∴∴是等邊三角形．14．我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實(shí)分解因式方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等．（1）分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．請(qǐng)閱讀以下例題：例1．例2．（2）拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．請(qǐng)閱讀以下例題：例1．請(qǐng)你仿照以上例題的方法，解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：①；②(2)分解因式：．(3)若多項(xiàng)式利用分組分解法可分解為，請(qǐng)求出的值．【答案】(1)①②(2)(3)，【詳解】（1）解：①原式；②原式；（2）原式；（3），∵，∴，比較系數(shù)可得，．15．我們把多項(xiàng)式及這樣的式子叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：分解因式．原式．求代數(shù)式的最小值．可知當(dāng)時(shí)，有最小值．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問(wèn)題：(1)填空：；；(2)利用配方法分解因式：（注意：用其它方法不給分）(3)當(dāng)x為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最大值，并求出這個(gè)最大值．【答案】(1)，(2)(3)當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式有最大值，最大值為5【詳解】（1）；（2）；（3），∵，∴，即，則當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式有最大值，最大值為5．16．問(wèn)題情境：我們知道形如的式子稱為完全平方式．對(duì)于一些不是完全平方式的多項(xiàng)式，我們可做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題及求代數(shù)式最大、最小值等問(wèn)題．例如（1）分解因式．原式；例如（2）求代數(shù)式的最小值．原式．，當(dāng)時(shí)，有最小值是2．解決問(wèn)題：(1)若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，那么常數(shù)的值為_(kāi)____________；(2)分解因式：；(3)求代數(shù)式的最大或最小值．【答案】(1)25(2)(3)最大值45【詳解】（1）∵，且是一個(gè)完全平方式，所以的值為25，（2）（3），當(dāng)時(shí)，有最大值4517．閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)因式分解（也叫作分解因式）．它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具．把分解因式．該因式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)，再將此項(xiàng)減去，即可得．這種方法叫填項(xiàng)法．任務(wù)：請(qǐng)你仿照上面的做法，將下列各式分解因式．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：；（2）解：．18．【閱讀材料】把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：①用配方法因式分解：．解：原式②求的最小值．解：原式．∵，∴，即的最小值為2．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：____________．(2)因式分解：．(3)求的最小值．(4)用配方法因式分解：．【答案】(1)(2)(3)(4)【詳解】（1）（2）（3）的最小值是（4）19．閱讀與思考我們熟知的因式分解的方法有提取公因式法、公式法和十字相乘法．但有時(shí)遇到了四項(xiàng)及以上的多項(xiàng)式要進(jìn)行因式分解時(shí)．就往往不知從何下手了．因此，針對(duì)四項(xiàng)及以上的多項(xiàng)式因式分解．我們通常使用的方法是分組分解法：將多項(xiàng)式分成多個(gè)小組，每個(gè)小組單獨(dú)進(jìn)行因式分解．再利用提取公因式法或者公式法對(duì)整體進(jìn)行因式分解．請(qǐng)觀察以下使用分組分解法進(jìn)行因式分解的過(guò)程：．請(qǐng)使用分組分解法解決以下問(wèn)題：(1)分解因式：．(2)已知三邊滿足，請(qǐng)判斷的形狀并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)等腰三角形，見(jiàn)解析【詳解】（1）；（2），又，，的形狀是等腰三角形．20．