專題23.4 相似三角形（解析版）

專題23.4相似三角形一、單選題1．下列各種圖形中，有可能不相似的是（）A．有一個角是的兩個等腰三角形 B．有一個角是的兩個等腰三角形C．有一個角是的兩個等腰三角形 D．兩個等腰直角三角形【答案】A【分析】本題每一個選項都跟等腰三角形相似有關，注意的是一個角是一個角是45°，這個角可能是頂角或者底角，有一個角是，這個三角形就是等邊三角形，一個角是，這個角一定是頂角，若是底角則不滿足三角形內(nèi)角和等于180°.等腰直角三角形的的底角是45°頂角是90°為固定值.【詳解】A．各有一個角是45°的兩個等腰三角形，有可能是一個為頂角，另一個為底角，此時不相似，故此選項符合題意；B．各有一個角是60°的兩個等腰三角形是等邊三角形，兩個等邊三角形相似，故此選項不合題意；C．各有一個角是110°的兩個等腰三角形，此角必為頂角，則底角都為35°，則這兩個三角形必相似，故此選項不合題意；D．兩個等腰直角三角形，底角是45°頂角是90°，為固定值，此三角形必相似，故此選項不合題意；故選A．【點睛】本題解題關鍵在于，找準一個角是，，的等腰三角形有幾種情況，再就是等腰直角三角形的每個角的角度是固定的.2．若△ABC與△DEF相似，其面積比為4：9，則△ABC與△DEF的相似比為（）A．2：3 B．1：3 C．4：9 D．16：81【答案】A【分析】由△ABC與△DEF相似，且面積的比為4：9，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得△ABC與△DEF的相似比．【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，且面積的比為4：9，∴△ABC與△DEF的相似比為2：3，故選：A．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記性質(zhì)定理是解此題的關鍵．3．△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面積為10，那么另一個三角形的面積為()A．15 B．14.4 C．12 D．10.8【答案】B【分析】利用相似三角形的性質(zhì)得出兩三角形的面積比，進而求出即可．【詳解】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝5，A′B′＝6，∴，∵△ABC面積為10，∴解得：S△A′B′C′＝14.4．故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，利用相似比與面積比的關系得出是解題關鍵．4．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD延長線上一點，連接BE交AD于F，連接AE，則圖中與△DEF相似（不包括本身）的三角形共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】關鍵平行四邊形性質(zhì)可得，，故，，，，可得相似三角形.【詳解】因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以，，所以，，，，所以，.故選B.【點睛】考核知識點：相似三角形的條件.利用平行四邊形性質(zhì)求出對應角的關系是關鍵.5．如圖，每個小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與相似的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：因為中有一個角是135°，選項中，有135°角的三角形只有B，且滿足兩邊成比例夾角相等，故選B．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型．6．兩個相似三角形的相似比為1：2，較小三角形的面積為1，則較大三角形的面積為()A．8 B．4 C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出相似比解答即可．【詳解】解：兩個相似三角形的相似比是1：2，兩個相似三角形的面積比是1：4，較小三角形的面積為1，則較大三角形的面積為4.故選：B．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵．二、填空題7．如圖，已知∠1＝∠2，添加條件____后，使△ABC∽△ADE．【答案】∠B＝∠D【分析】先證出∠BAC＝∠DAE，再由∠B＝∠D，即可得出ABC∽△ADE．【詳解】解：添加條件∠B＝∠D后，△ABC∽△ADE．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠B＝∠D，∴ABC∽△ADE．故答案為：∠B＝∠D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定方法；熟練掌握三角形相似的判定方法，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．8．如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，點M在AB邊上，且AM=3，過點M作直線MN與AC邊交于點N，使截得的三角形與原三角形相似，則MN=______．【答案】4或6【分析】分別利用，當MN∥BC時，以及當∠ANM＝∠B時，分別得出相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】如圖1，當MN∥BC時，則△AMN∽△ABC，故，則，解得：MN＝4，如圖2所示：當∠ANM＝∠B時，又∵∠A＝∠A，∴△ANM∽△ABC，∴，即，解得：MN＝6，故答案為：4或6．【點睛】此題主要考查了相似三角形判定，正確利用分類討論得出是解題關鍵．9．在中，，，在中，，.若______，則______.【答案】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可求解.【詳解】∵中，，，在中，，.∴要使，只需，故填：；.【點睛】此題主要考查相似三角形的判定，解題的關鍵是熟知相似三角形的判定定理.10．如圖，，，，，則______.【答案】【分析】根據(jù)，得到△ADC∽△ACB，再根據(jù)對應線段成比例即可求解.【詳解】∵，∴△ADC∽△ACB∴，即，解得AD=故填：.【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是熟知相似三角形對應成比例.11．如圖，在中，，是上一點且，當________時，使得與相似．【答案】或1.5【分析】ΔADE與ΔABC相似有兩種情況，針對每一種情況，有對應邊成比例，據(jù)此可列出等式求得AE的值．【詳解】解：分兩種情況：第一種情況：如圖，過D作DE||AC于點E，

則；第二種情況：如圖，ΔADEΔACB

則故答案為．【點睛】本題考查三角形相似的判定，找出對應三角形相似的兩種情況是解題關鍵．12．在中，，，點在邊上，且，點在邊上.當______時，與原三角形相似．【答案】1或4【分析】注意到∠A是兩個三角形的公共角，只要滿足或，△與原三角形相似，據(jù)此代入數(shù)據(jù)計算即可．【詳解】解：當時，△AMN∽△ABC，即，解得：AN=1；當時，△AMN∽△ACB，即，解得：AN=4；所以當AN=1或4時，△AMN與原三角形相似．故答案為：1或4．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，屬于常考題型，合理分類、熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．13．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE垂直平分AC，垂足為O，AD∥BC，且AB＝3，BC＝4，則AD的長為________．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)DE垂直平分AC得出OA的長，根據(jù)相似三角形的判定定理得出△AOD∽△CBA，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5，∵DE垂直平分AC，垂足為O，∴OA=AC=，∠AOD=∠B=90°，∵AD∥BC，∴∠OAD=∠C，∴△AOD∽△CBA，∴，即，解得AD=故答案為：．【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)、垂直平分線的定義和勾股定理，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)、垂直平分線的定義和勾股定理是解決此題的關鍵．14．如圖，將△ABC沿著BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF重疊部分（圖中陰影部分）的面積是△ABC的面積的一半，已知BC＝6，則EC的長為_____．【答案】3．【分析】由平移的性質(zhì)可得AB//EG，可證明△GEC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出＝（）2＝，得出＝＝，即可得答案．【詳解】∵△ABC沿BC邊平移到△DEF的位置，∴AB∥EG，∴△GEC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝＝，∵BC＝6，∴EC＝3，故答案為：3【點睛】本題考查平移的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題關鍵.三、解答題15．如圖，已知四邊形四邊形，問與相似嗎？為什么？【答案】，見解析【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定求解即可；【詳解】．理由：∵四邊形四邊形，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定，準確分析判斷是解題的關鍵．16．如圖，已知點P是邊長為4的正方形ABCD內(nèi)一點，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是B．請在射線BF上找一點M，使以點B、M、C為頂點的三角形與△ABP相似．（請注意：全等圖形是相似圖形的特例）【答案】見解析【分析】此題有兩種情況，（1）當△CBM≌△ABP時，全等圖形是相似圖形的特例，此時BP和BM為一組對應邊且相等，BM＝BP＝3；（2）當△MBC∽△ABP時，有MB：AB＝BC：BP，從而求出BM的值．【詳解】解：在射線BF上截取線段BM1＝，連接M1C，

在△APB和△M1CB中，

∵AB＝BC＝5，BP＝3，BM1＝，

則＝＝＝，

∵BF⊥BP，AB⊥BC，

∴∠ABP＝∠CBM1，

∴△M1BC∽△ABP．

在射線BF上截取線段BM2＝BP＝3，連接M2C，

在△CBM2和△ABP中，

，

∴△CBM2≌△ABP（SAS）（全等必相似），

∴在射線BF上取BM1＝或BM2＝3時，M1，M2都為符合條件的M．

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，明確全等三角形屬于特殊的相似三角形，注意分類討論．17．如圖，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上．若四邊形EGFH是菱形，求AE的長．【答案】5．【分析】連接EF交AC于O，由四邊形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四邊形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通過△CFO≌△AEO，得到AO=CO，求出AO＝AC＝2，根據(jù)△AOE∽△ABC，即可得到結(jié)果．【詳解】解；連接EF交AC于O，∵四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB//CD，∴∠ACD＝∠CAB，在△CFO與△AOE中，，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴AO＝CO，∵AC＝，∴AO＝AC＝2，∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，∴△AOE∽△ABC，∴，∴，∴AE＝5．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用定理是解題的關鍵．18．如圖，在梯形中，，，E是的中點．（1）求證：；（2）與有可能相似嗎？若相似，請給出證明過程；若不相似，請簡述理由．【答案】（1）見解析；（2）相似，理由見解析【分析】（1）過點C作CF⊥AB于F，先證明四邊形ADCF是矩形，得到AF=CD=1,AD=CF，BF=AB-AF=1，然后利用勾股定理求出，即可得到，再證明即可；（2）利用勾股定理求出，,然后證明即可.【詳解】解：（1）過點C作CF⊥AB于F，∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°，∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠D=90°，∴四邊形ADCF是矩形，∴AF=CD=1,AD=CF，∴BF=AB-AF=1，∴，∵E是AD的中點，∴，∴，∴，又∵∠D=∠A=90°，∴△CDE∽△EAB；（2）△CDE∽△CEB相似，理由如下：∵，,∴，，，∴，∴△CDE∽△CEB.【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定，勾股定理，平行的性質(zhì)，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.19．如圖，直線a∥b，點M、N分別為直線a和直線b上的點，連接M，N，∠1＝70°，點P是線段MN上一動點，直線DE始終經(jīng)過點P，且與直線a，b分別交于點D、E，設∠NPE＝α．（1）證明△MPD∽△NPE．（2）當△MPD與△NPE全等時，直接寫出點P的位置．（3）當△NPE是等腰三角形時，求α的值．【答案】（1）見解析；（2）點P是MN的中點；（3）40°或70°或55°【分析】(1)利用相似三角形的判定定理證明即可；(2)根據(jù)全等三角形對應邊相等得到MP＝NP，即點P是MN的中點；(3)需要分類討論：PN＝PE、PE＝NE、PN＝NE，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計算即可．【詳解】(1)證明：∵a∥b，∴△MPD∽△NPE．(2)∵a∥b，∴∠MDP＝∠NEP，∴當△MPD與△NPE全等時，MP＝NP，即點P是MN的中點；(3)∵a∥b，∴∠1＝∠PNE＝70°，①若PN＝PE時，∴∠PNE＝∠PEN＝70°．∴a＝180°﹣∠PNE﹣∠PEN＝180°﹣70°﹣70°＝40°．∴∠a＝40°；②若EP＝EN時，則a＝∠PNE＝70°；③若NP＝NE時，則∠PEN＝α，此時2α＝180°﹣∠PNE＝110°，∴α＝∠PEN═55°；綜上所述，α的值是40°或70°或55°．【點睛】本題考查了相似三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題關鍵是熟知相關性質(zhì)，會根據(jù)等腰三角形底邊不同進行分類討論．20．問題情境：如圖1，為等腰直角三角形，是邊上的一個動點（點E與不重合），以為邊在外作等腰直角，連接．猜想線段之間的關系．（1）獨立思考：請直接寫出線段之間的關系．（2）合作交流：“希望”小組受上述問題的啟發(fā)，將圖1中的等腰直角繞著點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，交于點H，交于點O．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（3）拓展延伸：“科技”小組將（2）中的等腰直角改為，，將等腰直角改為．試猜想是否為定值，結(jié)合圖3說明理由．【答案】（1）BE=AD，，理由見解析；（2）BE=AD，，理由見解析；（3）是定值，理由見解析．【分析】（1）由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，得到的結(jié)論，直接判斷出，再用互余判斷出垂直；（2）由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，得到的結(jié)論，直接判斷出，再用互余判斷出垂直；（3）由條件用兩邊對應成比例，夾角相等判斷出，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）BE=AD，；理由如下：如圖，延長BE交AD于點F，∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCE=∠ACD=90°，∴，∴B