土木工程制圖 第3章 點、線、面

3.1點的投影

3.2直線的投影

3.3平面的投影

本章小結結束放映第3章點、直線、平面的投影

Pb

●●AP采用多面投影。

過空間點A的投射線與投影面P的交點即為點A在P面上的投影。B3●B2●B1●

點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位置。一、點在一個投影面上的投影a

●3.1點的投影解決辦法？HWV二、點的三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正面或V面）◆水平投影面（簡稱水平面或H面）◆側面投影面（簡稱側面或W面）投影軸OXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線三個投影面互相垂直YWHVOXZY空間點A在三個投影面上的投影a

點A的正面投影a點A的水平投影a

點A的側面投影注意：空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母表示。a

●a●a

●

A●●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不動投影面展開WVHaa●x●●azZaa

yayaXY

YO

●●●●XYZOVHWAaa

a

點的投影規(guī)律:①a

a⊥OX軸②aax=

a

ax=aay=xaazay●●YZaza

XYayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ軸=y=Aa

（A到V面的距離）a

az=x=Aa

（A到W面的距離）a

ay=z=Aa（A到H面的距離）a

az三、兩點的相對位置

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。判斷方法：▲x坐標大的在左

▲y坐標大的在前▲z坐標大的在上B點在A點之前、之右、之下。b

aa

a

b

b●●●●●●XYYZo()a

cc

重影點：

空間兩點在某一投影面上的投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面的重影點。●●●●●a

a

c

被擋住的投影加()A、C為哪個投影面的重影點呢？A、C為H面的重影點aa

a

b

b

b●●●●●●3.2直線的投影

兩點確定一條直線，將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈

直線對一個投影面的投影特性一、直線的投影特性

BA●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=AB.cos

●●AB●●ab

AMB●a≡b≡m●●●⒉直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面

其投影特性取決于直線與三個投影面間的相對位置。⑴投影面平行線γβXZ″baaabbOYY′′″水平線實長①在其平行的那個投影面

上的投影反映實長，并

反映直線與另兩投影面

傾角的實大。②另兩個投影面上的投影

平行于相應的投影軸，

其到相應投影軸距離反

映直線與它所平行的投

影面之間的距離。投影特性：VHabAaaγβBbbWβγ′′″″判斷下列直線是什么位置的直線？側平線正平線與H面的夾角:

與V面的角:β與W面的夾角:γ實長

β實長γ

b

a

aba

b

b

aa

b

ba

直線與投影面夾角的表示法：反映線段實長，且垂直于相應的投影軸。⑵投影面垂直線鉛垂線正垂線側垂線②

另外兩個投影，①

在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●a

b

a(b)a

b

●c

(d

)cdd

c

●e

f

efe

(f

)⑶一般位置直線Z

YaOXabbaYb

三個投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個投影面夾角的大小。三個投影的長度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實長。投影特性HaβγaAb

VBbWa

b

例：試根據各種位置直線的投影特性判斷三棱錐上六條棱邊為什么位置的直線。AB為

；BC為

；AC為

；SB為

；SA為

；SC為

。水平線VXYOZSABCXYHYWZOb"b's'a'c'bsacs"a"c"水平線側垂線側平線一般位置直線一般位置直線VXYOZ(3)

求一般位置直線段的實長和傾角a′b′aba″b″ABαβγ求解一般位置直線段的實長及傾角是畫法幾何的基本問題之一，也是工程上的常見問題。解決方法：直角三角形法直角三角形法的作圖要領：1、用直線段在某一投影面P上的投影長作為一條直角邊；2、以直線段兩端點在另一投影面上的坐標差為另一條直角邊；3、所作直角三角形的斜邊即為直線段的實長。4、圖中直角三角形中投影直角邊與實長所形成的銳角即為直線段對P的夾角。VOYZXABa′b′aba″b″

知二求二：從圖中可看出，已知實長、投影長、坐標差、傾角中的任兩個，就可求出另外兩個。注意：直角三角形的直角邊不能用錯！VOYZXABa′aba″b″

b′注意對應關系!

ABabΔZΔY

a

b

ΔX

a

b

VOXb′ABa′ab

例1：求直線的實長及對H面的夾角

角。OXaba'b'|zA-zB|AB的實長

|zA-zB|

|zA-zB|VOXb′ABa′ab

例1：求直線的實長及對H面的夾角

角。(解法2)OXaba'b'|zA-zB|AB的實長

|zA-zB|

|zA-zB|abababAB的實長

例2：求直線的實長及對V面的夾角

角。VOXb′ABa′abOXaba'b'|yA-yB|AB的實長

|yA-yB|AB的實長

a'b'a'b'|yA-yB|

a'b'cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″二、直線與點的相對位置◆若點在直線上,則點的投影必在直線的同名投影上。

◆點的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b

=a

c

:c

b

定比定理例1：判斷點C是否在線段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在a

b

●c

●●aa

b

c

b③c不在應用定比定理另一判斷法?例2：已知點K在線段AB上，求點K正面投影。解法一：（應用第三投影）解法二：（應用定比定理）●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●三、兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉（異面）。⒈兩直線平行

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

例：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。

對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。a

b

c

d

cbadd

b

a

c

②b

d

c

a

①abcdc

a

b

d

⒉兩直線相交

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影特性。交點是兩直線的共有點a

c

VXb

HDacdkCAk

Kd

bOBcabd

b

a

c

d

kk

●cd

k

kd例1：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影a●bb

a

c

例2：判斷直線AB、CD的相對位置?！鋍′′a′bdabcd相交嗎？不相交！為什么？

交點不符合空間一個點的投影特性。判斷方法？⒈應用定比定理⒉利用側面投影⒊兩直線交叉為什么？兩直線相交嗎？

不相交！

交點不符合一個點的投影規(guī)律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′投影特性：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。★“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′4.兩直線垂直討論其中一條直線為投影面平行線的情況BC//PABBCabbc直角投影定理EFABCabcPa'b'c'd'abcdabcd已知AB//H、ABCD，求cd。例1dd例2：已知等腰三角形ABC的腰為AB，它的底在正平線BD上，求等腰三角形的投影。bb

●●●c●a

ac例3：已知兩交叉直線AB、CD,其中CD為鉛垂線，AB為一般位置直線，求兩直線之間的距離?！鋍′′a′bdabc(d)●kk′公垂線水平線線段mk即兩直線之間的距離m’m例4：已知線段AC為正方形ABCD的一對角線，另一對角線BD為側平線，試作正方形的投影。Z

YaOXccYb

a

b

.中點AC實長c

d

a

d

bd結束？繼續(xù)？3.3平面的投影一、平面的表示法不在同一直線上的三個點直線及線外一點abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線平面圖形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

二、各種位置平面及其投影特性垂直傾斜投影特性★平面平行投影面——投影就把實形現(xiàn)★平面垂直投影面——投影積聚成直線★平面傾斜投影面——投影類似原平面實形性類似性積聚性⒈

平面對一個投影面的投影特性平行⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫鎐

c

⑴投影面垂直面為什么？abca

b

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面γβ投影特性：

在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個投影面上的投影為類似形。a

b

c

a

b

c

abc⑵投影面平行面積聚性積聚性實形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。

另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。a

b

c

a

c

b

abc⑶一般位置平面三個投影都類似。投影特性：a

c

b

c

a

●abcb

例：正垂面ABC與H面的夾角為45°，已知其水平投影及頂點B的正面投影，求△ABC的正面投影及側面投影。思考：此題有幾個解?45°三、平面內的點和直線位于平面上的直線應滿足的條件：⒈

平面上取任意直線●●MNAB●M若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內。若一直線過平面上的一點且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內。abcb

c

a

d

d例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在

平面內任作一條直線。解法一：解法二：有多少解？有無數解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

例2：在平面ABC內作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cab唯一解！有多少解？⒉

平面上取點

先找出過此點而又在平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。baca

k

b

●①c

面上取點的方法：d

d利用平面的積聚性求解通過在面內作輔助線求解