12.2 三角形全等的判定（第三課時ASA、AAS）（解析版）

八年級數(shù)學(xué)上分層優(yōu)化堂堂清十二章三角形12.2三角形全等的判定第三課時ASA、AAS（解析版）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、掌握三角形全等的“角邊角”“角角邊”條件．能運(yùn)用全等三角形的條件，解決簡單的推理證明問題2．經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程．3、積極投入，激情展示，體驗成功的快樂?！緦W(xué)習(xí)重點】已知兩角一邊的三角形全等探究．【學(xué)習(xí)難點】靈活運(yùn)用三角形全等條件證明老師對你說：知識點1全等三角形的判定3：角邊角（ASA）(1)兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.（2）書寫格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個三角形全等的條件時，如:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).知識點2全等三角形判定4——“角角邊”（AAS）（1）兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）（2）書寫格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個三角形全等的條件時，如:圖12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′∠B=∠B′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.知識點3判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA兩角對應(yīng)相等ASAAAS兩邊對應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)龋唬?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.注意：三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.基礎(chǔ)提升教材核心知識點精練知識點1全等三角形的判定3：角邊角（ASA）【例1-1】如圖，點A、D、B、E在同一條直線上，若AD=BE，∠A=∠EDF，∠E=∠ABC.求證：AC=DF．【答案】見解析【分析】由AD=BE知AB=ED，結(jié)合∠A=∠EDF，∠E=∠ABC，依據(jù)“ASA”可判定△ABC≌△DEF，依據(jù)兩三角形全等對應(yīng)邊相等可得AC=DF．【詳解】證明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=ED，在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠EAB=ED∴△ABC≌△DEFASA∴AC=DF．【點評】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例1-2】在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點，過點C作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，接EF、CF，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．∠DCF＝∠BCD B．∠DFE＝3∠AEFC．EF＝CF D．S△BEC＝2S△CEF【答案】D【分析】分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AEF≌△DMF，得出對應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵F是AD的中點，∴AF＝FD，∵在?ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCD，故此選項A正確；設(shè)∠FEC＝x，則∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°?x，∴∠EFC＝180°?2x，∴∠EFD＝90°?x＋180°?2x＝270°?3x，∵∠AEF＝90°?x，∴∠DFE＝3∠AEF，故此選項B正確；延長EF，交CD延長線于M，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F為AD中點，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，

，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴EF＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵EF＝MF，∴CF＝MF，即CF＝EF，故選項C正確；∵EF＝MF，∴S△EFC＝S△CFM，∵M(jìn)C＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC＝2S△CEF錯誤；故選項D不成立；故選D【點撥】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，得出△AEF≌△DMF是解題關(guān)鍵．【例1-3】如圖，點C在線段上，在和中，．求證：．

證明見解析【分析】直接利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】解：在和中，∴∴．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．知識點2全等三角形判定4——“角角邊”（AAS）【例2-1】如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求證：△ABC≌△ADE．【答案】證明見解析【分析】由三角形外角的性質(zhì)及∠1=∠2=∠3可得到∠ADE=∠B，再結(jié)合圖形并利用恒等變換可得到∠BAC=∠DAE，最后利用AAS即可得證．【詳解】證明：∵∠ADC=∠1+∠B，即∠ADE+∠3=∠1+∠B，∵∠1=∠2=∠3，∴∠ADE=∠B，∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC

，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠ABC=∠ADE∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADEAAS【點評】本題考查三角形全等的判定，三角形外角的性質(zhì)．掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．【例2-2】如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點置于直線l上，且過A，B兩點分別作直線的垂線，垂足分別為D，E，請你在圖中找出一對全等三角形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^程．【答案】△ADC與△CEB全等，證明見解析【分析】先證明∠CAD=∠BCE，然后根據(jù)AAS證明△ADC≌△CEB，即可求解．【詳解】解：△ADC與△CEB全等理由如下：根據(jù)題意可知：AC=CB,∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°;在Rt△ADC中，又∵∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE.在△ADC與△CEB中，∠ADC=∠CEB,∴△ADC≌△CEB【點評】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【例2-3】已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊中點，CE⊥AD于點E，BF⊥AD于點F，(1)求證：△BDF≌△CDE；(2)若AD=5，CE=2，求【答案】(1)見解析(2)10【分析】（1）只需要利用AAS證明△BDF≌△CDE即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=BF，再根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵點D是BC邊中點，∴BD=CD，∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠BFD=∠CED=90°，在△BDF和△CDE中，∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDE∴△BDF≌△CDEAAS（2）解：由（1）得：△BDF≌△CDE，∴CE=BF，∴S△ABC【點評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．知識點3判定方法的選擇【例3-1】如圖，AC∥BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，CD經(jīng)過點E．求證：【答案】證明見解析【分析】在AB上截取AF=AC，連接EF，通過證明△ACE≌△AFE和△BEF≌Δ【詳解】證明：在AB上截取AF=AC，連接EF．∵AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，∴∠CAE=∠FAE,∠EBF=∠EBD．∵AC∥∴∠C+∠D=180°，在△ACE和△AFE中AC=AF∠CAE=∠FAE∴△ACE≌△AFE，∴∠C=∠AFE,CE=EF，∵∠AFE+∠EFB=180°,∠C+∠D=180°，∴∠EFB=∠D，在△BEF和△BED中∠EFB=∠D∠EBF=∠EBD∴△BEF≌Δ∴EF=ED，∴CE=DE．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【例3-2】如圖，在中，、是的角平分線，且、相交于點O．求證：．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，再利用角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和得到的度數(shù)；在上截取，先證明得到，，再得到，接著證明得到，然后利用等線段代換得到結(jié)論．解：∵，，∴，∵，均為的角平分線，∴，，∴，∴．在上截取，如圖所示：∵平分，∴，∵在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵平分，∴，∵在和中，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ部疾榱私瞧椒志€的定義．能力強(qiáng)化提升訓(xùn)練1.如圖，線段與交于點，點為上一點，連接、、，已知，．

請?zhí)砑右粋€條件________使，并說明理由．在（1）的條件下請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(1)，理由見分析；(2)，理由見分析．【分析】（1）利用判定定理，添加即可判斷；（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)，再結(jié)合等角對等邊即可判斷．（1）解：添加條件：，理由如下：∵，，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等角對等邊，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．2.如圖，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于點O，求證：OB＝OC．【分析】證△ABE≌△ACD，推出∠B=∠C，AD=AE，求出BD=CE，證△BDO≌△CEO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．證明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD（AAS），∴∠B＝∠C，AD＝AE，∵AB＝AC，∴BD＝CE，在△BDO和△CEO中∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OB＝OC．【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．3.(1)如圖1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點C作直線DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求證：△ADC≌△CEB；(2)如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，過點C作直線CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，A-1,0，C1,3，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，求點【答案】(1)證明見解析(2)0.8(3)4【分析】（1）由題意知∠D=∠E=90°，由∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°，∠ACD+∠CAD=180°-∠D=90°，可得∠CAD=∠BCE，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）同理（1）證明△ADC≌△CEBAAS，則BE=CD，CE=AD=2.5cm，根據(jù)BE=CD=CE-DE計算求解（3）如圖3，過點C作平行于x軸的直線DE，過A作AD⊥DE于D，過B作BE⊥DE于E，由（1）可得△ACD≌△CBE，則CE=AD=3，BE=CD=2，進(jìn)而可求B點坐標(biāo)．【詳解】（1）證明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD+∠BCE=180°-∠ACB=90°，∠ACD+∠CAD=180°-∠D=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵∠D=∠E∠CAD=∠BCE∴△ADC≌△CEBAAS（2）解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠E=90°，∵∠ACD+∠CAD=180°-∠ADC=90°，∠ACD+∠BCE=180°-∠E=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠E∠CAD=∠BCE∴△ADC≌△CEBAAS∴BE=CD，CE=AD=2.5cm∴BE=CD=CE-DE=0.8cm∴BE的長為0.8cm（3）解：如圖3，過點C作平行于x軸的直線DE，過A作AD⊥DE于D，過B作BE⊥DE于E，由（1）可得△ACD≌△CBE，∴CE=AD=3，BE=CD=2，∴B4【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．解題的關(guān)鍵在于證明三角形全等．堂堂清選擇題（每小題4分，共32分）1．如圖，，判定△EDC≌△ABC的理由是（A． B． C． D．無法確定【答案】A【解析】解：∵，∴，∵和為對頂角，∴，又∵，∴．故選：A．2.王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC=BC,∠ACB=90°）點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為（）A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm【答案】C【解析】解：∵，，，，∴，∴，，∴，∵在和中，∴；∴，，∴，故選：C．3.如圖，與交于點，下列條件不能證明的是A．， B．， C．， D．，【解析】解：．在和中，，，故選項不合題意；．在和中，，，故選項不合題意；．，，在和中，，，故選項不合題意；．，，不能證明，故選項符合題意；故選：．4.如圖，，添加一個條件，仍不能說明的是A． B． C． D．【解析】解：、添加，利用不能判定，故此選項符合題意；、添加，利用能判定，故此選項不合題意；、添加，利用能判定，故此選項不合題意；、添加，可利用能判定，故此選項不合題意；故選：．5.如圖，測量河兩岸相對的兩點，的距離時，先在的垂線上取兩點、，使，再過點畫出的垂線，當(dāng)點，，在同一直線上時，可證明，從而得到，則測得的長就是兩點，的距離，判定的依據(jù)是（）A．“” B．“” C．“” D．“”【答案】B【解析】解：根據(jù)題意得AB⊥BC，DE⊥CD，∴∠ABC=∠EDC=90°，

∵CD=BC，∠ACB=∠ECD，∴根據(jù)“ASA”可判斷△EDC≌△ABC．故選：B．如圖，在中，D是的中點，，若，則的值為（）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】解：∵D是的中點，∴，∵，∴，∴△ADE≌△DBFASA，∴．故選：7.如圖，經(jīng)過平行四邊形的對角線中點的直線分別交邊，的延長線于，，則圖中全等三角形的對數(shù)是（）A．對 B．對C．對 D．對【答案】C【解析】：四邊形為平行四邊形，經(jīng)過的中點，，，，，，又，，，，，，，．故圖中的全等三角形共有5對．故選:C8.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中線，過點B作BF⊥AE于點F，過點C作CD⊥BC交BF的延長線于點D．下列結(jié)論：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正確的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【解析】解：①∵AE是中線，∴BE＝CE，故①正確；②∵DC⊥BC，BF⊥AE，∴∠DBC+∠D＝∠DBC+∠BEA＝90°．∴∠D＝∠BEA．∵∠DCB＝∠ABE＝90°，在△DBC與△ABE中，，∴△BCD≌△ABE（AAS）．∴BD＝AE，故②正確；③∵△BCD≌△ABE，∴∠BAE＝∠CBD；故③正確；④∵AE是中線，∴∠EAC≠∠BAE，故④錯誤；⑤∵△BCD≌△ABE，∴BE＝CD，∵BC＝2BE，∴BC＝2CD，故⑤正確．∴正確的結(jié)論有①②③⑤，共4個．故選：C．二、填空題（每小題4分，共20分）9.已知，如圖，，，添加一個條件：或，使得．【解析】解：，，又，添加條件，可以使得，添加條件，可以使得，添加條件，可以使得，故答案為：或．10.如圖，已知中，點，分別在邊，上，連接，，，請你添加一個條件，使，你所添加的條件是（只填一個條件即可）．【解析】解：添加的條件是：，理由是：，，，在和中，，故答案為：．11.如圖，在中，，，分別過點、作經(jīng)過點的直線的垂線段、，若厘米，厘米，則的長為______．【答案】14厘米【解析】解：在Rt△ADB與Rt∴Rt△ADB故答案為：14厘米．12.如圖，為了測量B點到河對面的目標(biāo)A之間的距離，在B點同側(cè)選擇了一點C，測得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標(biāo)桿，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以測得MB的長就是A，B兩點間的距離，這里得到△MBC≌△ABC的依據(jù)是______．【答案】ASA【解析】解：在△ABC和△MBC中，，∴△MBC≌△ABC（ASA），故答案為：ASA．13.如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一點，BE交AD于點F，若AB＝DE，則圖中陰影部分的面積為_____．【答案】12【解析】解：，，在和中，，，，圖中陰影部分面積，故答案為：12．三、解答題（共6小題，48分）14.（8分）點、、、在直線l上（、之間不能直接測量），點A、在l異側(cè)，，，．（1）試說明△ABC與△DEF（2）若，，求的長度．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1），∴，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BC-FC=EF-FC，即BF=CE，∵，，∴FC=EF-BF-CE=10-3-3=4m．15.（8分）如圖，已知BC＝EF，AC∥DF，∠A＝∠D．求證：△ACB≌△DFE．【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACB＝∠F，再利用AAS即可證明△ACB≌△DFE．【解答】證明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，在△ACB與△DFE中，，∴△ACB≌△DFE（AAS）．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．16.（8分）已知△ABC≌△DCE，且B、C、E三點在同一直線上，△ABC與△DCE在直線BE的同一側(cè)，AC與BD交于點F，圖中還有全等三角形嗎？請寫出來，并說明理由．【分析】由△ABC≌△DCE，得到AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，因此AB∥CD，推出∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF，即可證明△ABF≌△CDF（ASA）．【解答】解：還有△ABF≌△CDF，理由如下：∵△ABC≌△DCE，∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF，在△ABF和△CDF中，∴△ABF≌△CDF（ASA）．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由△ABC≌△DCE，推出AB∥CD，得到∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF．17.（8分）已知：如圖∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：△ABE≌△ADE．【分析】先利用AAS判定△DEC≌△BEC，從而得出DE＝BE，再利用SAS判定△ABE≌△ADE．【解答】證明：在△DEC和△BEC中∵，∴△DEC≌△BEC（ASA）．∴DE＝BE．∵∠3＝∠4，∴∠DEA＝∠BEA．∵DE＝BE，AE＝AE，在△ABE和△ADE中∵，∴△ABE≌△ADE（SAS）．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．18.（8分）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，過BC的中點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E、F．（1）求證∶DE=DF；（2）若∠BDE=55°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）110゜【解析】（1）：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，

∵D是BC的中點，∴BD=CD，

在△BED與△CFD中∴△BED≌△CFD（AAS（2解：∵∴∠C=∠B=，

∴∠BAC=19.（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如圖1所示，BC邊在直線l上，若Rt△ABC繞點C沿順時針方向旋轉(zhuǎn)α，過點A、B分別作l的垂線，垂足分別為點D、E．當(dāng)0＜α＜90°時，證明：△ACD≌△CBE，并探究線段AD、BE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；當(dāng)90°＜α＜180°，且α≠135°時，探究線段AD、BE和DE的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)DE=AD+BE，理由見分析；(2)AD=DE+BE【分析】（1）由“AAS”可證△BCE≌△CAD，可得BE=CD，AD=CE，可得結(jié)論；（2）由“AAS”可證△BCE≌△CAD，可得BE=CD，AD=CE，可得結(jié)論．（1）解：DE=AD+BE，理由如下：證明：∵BE⊥ED，AD⊥DE，∴∠BEC=∠ADC=90°=∠ACB，∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠DAC，∴∠DAC=∠BCE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE，AD=CE，∴DE=AD+BE；（2）解：AD=DE+BE，理由如下：如圖，∵BE⊥ED，AD⊥DE，∴∠BEC=∠ADC=90°=∠ACB，∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠DAC，∴∠DAC=∠BCE，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS），∴BE=CD，AD=CE，∴AD=DE+BE．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.拓展培優(yōu)*沖刺滿分1.如圖，∠BCD=90°，BC=DC，直線PQ經(jīng)過點D．設(shè)∠PDC=α（45°<α<135°），BA⊥PQ于點A，將射線CA繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，與直線PQ交于點E．（1）判斷：∠ABC________∠PDC（填“>”或“=”或“<”）；（2）猜想△ACE的形狀，并說明理由；【答案】（1）=；（2）△ACE是等腰直角三角形；理由見解析；（3）45°<α<90°．【分析】（1）由四邊形ABCD的內(nèi)角和與鄰補(bǔ)角的性質(zhì)證明∠EDC=∠ABC，即可得到結(jié)論．（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠ACE=∠BCD=90°，證明∠ECD=∠BCA，再證明（3）當(dāng)∠PDC=∠ABC=α=90°時，△ABC的外心在其斜邊上，∠ABC=α＞90°時，△ABC的外心在其外部，從而可得到答案．【詳解】解：（1）∵AB⊥AD，∴∠CDA+∠ABC=360°-90°-90°=180°，∵∠CDA+∠CDE=180°，∴∠EDC=∠ABC.故答案為：=．（2）△ACE是等腰直角三角形．理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得：∠ACE=∠BCD=90°，∴∠ECD+∠DCA=90°=∠DCA+∠BCA，∴∠ECD=∠BCA，在△ECD與△ACB中，{∠ECD=∠BCA∴△ECD≌△ACB(ASA)∴EC=AC，又∵∠ACE=90°∴△ACE是等腰直角三角形．【點評】本題考查的是四邊形的內(nèi)角和，三角形的外接圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如下圖所示的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，不必證明；(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，不必證明．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)AD=BE+DE(3)BE=AD+DE【分析】（1）①用AAS證明△ADC≌②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出AD=CE，BE=CD，進(jìn)而得出DE=BE+CD；（2）先證明△ACD≌△CBEAAS，可得AD=CE，BE=CD（3）先證明△ACD≌△CBEAAS，可得AD=CE，BE=CD【詳解】（1）證明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中，∵∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=BC