第三章 線性方程的解 2

§3線性方程組的解二、

線性方程組的解法一、線性方程組有解的判定條件11/14/20231一、線性方程組有解的判定條件問(wèn)題：證必要性.(),,nDnAnAR階非零子式中應(yīng)有一個(gè)則在設(shè)=(),根據(jù)克拉默定理個(gè)方程只有零解所對(duì)應(yīng)的nDn從而11/14/20232這與原方程組有非零解相矛盾，().nAR<即充分性.(),nrAR<=設(shè).個(gè)自由未知量從而知其有rn-任取一個(gè)自由未知量為１，其余自由未知量為０，即可得方程組的一個(gè)非零解

.11/14/20233證必要性．,有解設(shè)方程組bAx=()(),BRAR<設(shè)則B的行階梯形矩陣中最后一個(gè)非零行對(duì)應(yīng)矛盾方程０＝１，這與方程組有解相矛盾.()().BRAR=因此11/14/20234并令個(gè)自由未知量全取0，rn-即可得方程組的一個(gè)解．充分性.()(),BRAR=設(shè)()()(),nrrBRAR￡==設(shè)證畢其余個(gè)作為自由未知量,把這

行的第一個(gè)非零元所對(duì)應(yīng)的未知量作為非自由未知量,11/14/20235小結(jié)齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫(xiě)出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫(xiě)出其通解；定義：含有若干個(gè)任意常數(shù)的方程組的解，稱(chēng)為方程組的通解.11/14/20236例1

求解齊次線性方程組解二、線性方程組的解法11/14/20237即得與原方程組同解的方程組行最簡(jiǎn)型即：11/14/20238由此即得11/14/20239例２求解非齊次線性方程組解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無(wú)解．11/14/202310例３求解非齊次方程組的通解解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換11/14/202311故方程組有解，且有11/14/202312所以方程組的通解為11/14/202313例４

解證對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，方程組的增廣矩陣為11/14/20231411/14/202315將B化為行最簡(jiǎn)型11/14/202316于是原方程組等價(jià)于方程組由此得通解：11/14/202317例５設(shè)有線性方程組解11/14/20231811/14/202319其通解為11/14/202320這時(shí)又分兩種情形：11/14/20232111/14/202322()()nBRAR==?()()nBRAR<=?有無(wú)窮多解.bAx=非齊次線性方程組齊次線性方程組三、小結(jié)11/14/202323思考題11/14/202324思考題解答