能量與動量機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用講義

機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用編審教師：市級骨干教師繆祥禹本專題主要考查機(jī)械能守恒定律的理解以及應(yīng)用，高考中常以利用機(jī)械能守恒定律解決單體和多體系統(tǒng)問題為主，同時結(jié)合輕彈簧、輕繩、輕桿進(jìn)行綜合性考查，有時也會涉及到非質(zhì)點(diǎn)模型的機(jī)械能守恒的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的分析推理能力以及綜合應(yīng)用能力。單個物體機(jī)械能守恒的應(yīng)用（2021.黑龍江.月考）如圖所示，粗細(xì)均勻、兩端開口的U形管內(nèi)裝有同種液體，開始時兩邊液柱高度差為h，管中液柱總長度為4h，后來打開閥門讓液體自由流動，不計(jì)液體產(chǎn)生的摩擦阻力，當(dāng)兩邊液柱高度相等時，右側(cè)液柱下降的速度為（）A． B． C． D．關(guān)鍵信息：不計(jì)液體產(chǎn)生的摩擦阻力→滿足機(jī)械能守恒兩邊液柱高度差為h，管中液柱總長度為4h→確定重力勢能的改變量解題思路：利用等效的方法確定液體減小的重力勢能，然后利用機(jī)械能守恒，即系統(tǒng)減小的重力勢能與系統(tǒng)增加的動能相等進(jìn)行解答。設(shè)管的橫截面積為S，液體的密度為ρ，打開閥門后，液體開始運(yùn)動，不計(jì)液體產(chǎn)生的摩擦阻力，液體機(jī)械能守恒。兩邊液柱相平時，相當(dāng)于右管高的液柱移到左管中，重心下降的高度為，即右管高的液柱下降減少的重力勢能轉(zhuǎn)化為全部液體的動能，由機(jī)械能守恒定律得：＝，解得v＝，故A正確。（2022·浙江·月考）如圖所示，MN為光滑的水平面，NO是一長度S＝1.25m、傾角為θ＝37°的光滑斜面（斜面體固定不動），OP為一粗糙的水平面。MN、NO間及NO、OP間用一小段光滑圓弧軌道相連。一條質(zhì)量為m＝2kg，總長L＝0.8m的均勻柔軟鏈條開始時靜止的放在MNO面上，其AB段長度為L1＝0.4m，鏈條與OP面的動摩擦因數(shù)μ＝0.5，（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），現(xiàn)自由釋放鏈條，求：（1）鏈條的A端滑到O點(diǎn)時，鏈條的速率為多大？（2）鏈條在水平面OP停下時，其C端離O點(diǎn)的距離為多大？（1）鏈條的A端滑到O點(diǎn)的過程中，因?yàn)橹挥兄亓ψ龉Γ詸C(jī)械能守恒。設(shè)水平面為重力勢能的零點(diǎn)。鏈條開始運(yùn)動時的機(jī)械能為E1，AB段鏈條質(zhì)量為m1＝1.0kg，BC段鏈條質(zhì)量為m2＝1.0kg。E1＝m2gSsinθ＋m1g(Ssinθ?sinθ)因?yàn)镾＞L，鏈條的A端滑到O點(diǎn)時，C點(diǎn)已在斜面上，設(shè)此時的機(jī)械能為E2，E2＝mgsinθ＋mv2由機(jī)械能守恒定律E1＝E2，代入數(shù)據(jù)得：v＝3m/s（2）根據(jù)題意，鏈條開始進(jìn)入水平面階段，摩擦力是變力。但摩擦力隨距離均勻增大，可以用平均摩擦力求摩擦力做功，從鏈條的A端滑到O點(diǎn)到最終鏈條停下的過程，設(shè)鏈條在水平面OP停下時，其C端離O點(diǎn)的距離x，由動能定理得：mgsinθ?μmgL?μmgx＝0?mv2解得：x＝0.98m。1．應(yīng)用機(jī)械能守恒定律的注意事項(xiàng)：（1）應(yīng)用機(jī)械能守恒定律時，需要先對研究對象在所研究的過程中機(jī)械能是否守恒做出判斷。（2）列方程時，選取的角度不同，表達(dá)式也會不同，對參考平面的選取要求也不一定相同。（3）在處理單個物體機(jī)械能守恒問題時通常應(yīng)用守恒觀點(diǎn)和轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)，轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)不用選取零勢能面。2．非質(zhì)點(diǎn)模型機(jī)械能守恒的處理：（1）像“鏈條”“液柱”類的物體，其在運(yùn)動過程中往往將發(fā)生形變，其重心位置相對物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再看成質(zhì)點(diǎn)來處理。（2）即使不能看成質(zhì)點(diǎn)來處理，但若只有重力做功，則物體整體機(jī)械能守恒。一般情況下，可將物體分段處理，確定形狀規(guī)則、質(zhì)量分布均勻的物體各部分的重心位置，根據(jù)初、末狀態(tài)物體重力勢能的變化列式求解。一般情況下物體各部分速度大小相同，動能可以用表示。多物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒的應(yīng)用（2022·福建·月考）如圖所示，滑塊2套在光滑的豎直桿上并通過細(xì)繩繞過光滑定滑輪連接物塊1，物塊1又與一輕質(zhì)彈簧連接在一起，輕質(zhì)彈簧另一端固定在地面上。開始時用手托住滑塊2，使繩子剛好伸直處于水平位置但無張力，此時彈簧的壓縮量為d?，F(xiàn)將滑塊2從A處由靜止釋放，經(jīng)過B處的速度最大，到達(dá)C處的速度為零，此時物塊1還沒有到達(dá)滑輪位置。已知滑輪與桿的水平距離為3d，AC間距離為4d，不計(jì)滑輪質(zhì)量、大小及摩擦。下列說法中正確的是（）A．滑塊2下滑過程中，機(jī)械能先增大后減小B．滑塊2經(jīng)過B處時的加速度不等于零C．物塊1和滑塊2的質(zhì)量之比為2∶1D．若滑塊2質(zhì)量增加一倍，其它條件不變，仍讓滑塊2由A處從靜止滑到C處，滑塊2到達(dá)C處時，物塊1和滑塊2的速度之比為5∶4關(guān)鍵信息：光滑的豎直桿、不計(jì)滑輪質(zhì)量、大小及摩擦→整個系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒已知滑輪與桿的水平距離為3d，AC間距離為4d→確定物塊1上升的高度以及彈簧對物塊1和系統(tǒng)的做功情況滑塊2經(jīng)過B處的速度最大→加速度為零滑塊2套在光滑的豎直桿上并通過細(xì)繩繞過光滑定滑輪連接物塊1→存在速度關(guān)聯(lián)，物塊1與滑塊2沿繩子方向上的速度相等解題思路：根據(jù)功能關(guān)系對滑塊2進(jìn)行做功分析，確定滑塊2的機(jī)械能變化情況；再根據(jù)牛頓運(yùn)動定律分析滑塊2的受力情況，確定滑塊2的加速度變化情況；利用系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律處理物塊1、滑塊2以及彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)，確定物塊1和滑塊2的質(zhì)量關(guān)系；利用速度關(guān)聯(lián)問題中的速度關(guān)系，分析物塊1和滑塊2的速度關(guān)系。AB．對滑塊2下滑過程中進(jìn)行分析，繩子拉力一直對滑塊2做負(fù)功，所以滑塊2的機(jī)械能一直減小；滑塊2下滑過程中經(jīng)過B處時速度最大，根據(jù)牛頓第二定律可得加速度為0，所以A、B錯誤。C．對物塊1靜止時分析，彈簧壓縮量為x1＝d；當(dāng)2下滑到C點(diǎn)時，根據(jù)幾何關(guān)系，物塊1上升的高度為：?＝?3d＝2d，則當(dāng)物體2到達(dá)C時彈簧伸長的長度為d，此時彈簧的彈性勢能等于物體1靜止時的彈性勢能，對于物塊1、滑塊2及彈簧組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律應(yīng)有：m1g?2d＝m2g?4d，得m1∶m2＝2∶1，故C正確。D．設(shè)繩子與豎直桿之間的夾角為θ，根據(jù)物塊1和2沿繩子方向的分速度大小相等，則得v2cosθ＝v1，其中cosθ＝，則得滑塊2到達(dá)C處時，物塊1和滑塊2的速度之比v1∶v2＝4∶5，故D錯誤。故選：C。（2022·遼寧·月考）質(zhì)量不計(jì)的直角形支架兩端分別連接質(zhì)量為2m的小球A和質(zhì)量為3m的小球B。支架的兩直角邊長度分別為2L和L，支架可繞固定軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動，如圖所示。開始時OA邊處于水平位置，取此時OA所在水平面為零勢能面，現(xiàn)將小球A由靜止釋放，求：（1）小球A到達(dá)最低點(diǎn)時，整個系統(tǒng)的總機(jī)械能E；（2）小球A到達(dá)最低點(diǎn)時的速度大小vA；（3）當(dāng)OA直角邊與水平方向的夾角θ為多大時，小球A的速度達(dá)到最大？并求出小球A的最大速度v。（1）由題意得，小球A從靜止至到達(dá)最低點(diǎn)的過程中，兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則小球A到達(dá)最低點(diǎn)時，整個系統(tǒng)的總機(jī)械能為：E＝Ep初＝?3mgL（2）小球A從靜止至到達(dá)最低點(diǎn)的過程中，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒可得：?3mgL＝?2mg·2L＋＋由題意得兩球的角速度相同，由v＝ωr知A、B兩球的線速度之比為vA∶vB＝2L∶L＝2∶1聯(lián)立解得：vA＝（3）當(dāng)OA直角邊與水平方向的夾角為θ時，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒可得：?3mgL＝?2mg·2Lsinθ?3mg·Lcosθ＋＋結(jié)合vA∶vB＝2∶1解得：＝gL(4sinθ＋3cosθ)?gL＝gLsin(θ＋α)?gL其中tanα＝，α＝37°，根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)θ＝53°時，有最大值，解得小球A的速度最大值為：v＝1．輕繩連接：（1）分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。（2）用好兩物體的位移大小關(guān)系或豎直方向高度變化的關(guān)系。（3）對于單個物體，一般繩上的力要做功，機(jī)械能不守恒；但對于繩連接的系統(tǒng)，機(jī)械能則可能守恒。2．輕桿連接（1）用桿連接的兩個物體，其線速度大小一般有以下兩種情況：a．若兩物體繞某一固定點(diǎn)做圓周運(yùn)動，根據(jù)角速度ω相等確定線速度v的大小。b．“關(guān)聯(lián)速度法”：兩物體沿桿方向速度大小相等。（2）桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機(jī)械能不守恒。（3）對于桿和球組成的系統(tǒng)，忽略空氣阻