拋物線內(nèi)接和外切三角形的一組命題之間的聯(lián)系 論文

拋物線內(nèi)接和外切三角形的一組命題之間的聯(lián)系拋物線中內(nèi)接和外切三角形蘊藏著諸多命題，本文以向量共線為工具，探討先后由多位老師提出的一組關(guān)聯(lián)命題之間的關(guān)系，首先觀察邵明志和陳克勤兩位老師在文[1]中提出的一個命題，即：命題1阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的對稱軸.圖1注釋1圓錐曲線弦的弦的兩個端點和在這端點處的切線的交點所構(gòu)成的三角形叫做阿基米德三角形注釋2向量

1(PA+PC)與對稱軸平行.2命題1在拋物線的內(nèi)接和外切三角形的探究中起的是基本性的作用，為了檢驗這一判斷，考察先后由多位老師提出的關(guān)于拋物線內(nèi)接和外切三角形的命題，龔新平老師在文[2]中為了解釋盧偉峰老師在文[3]所提出的一個關(guān)于拋物線內(nèi)接三角形和外切三角形面積關(guān)系的命題，提出如下結(jié)論，即：命題2已知拋物線G上不同的三點A、B、C處的切線兩兩相交于點P、M、N，NB CN那么 = = .NP圖2龔新平老師指出盧偉峰老師所提的面積關(guān)系實際上是這一命題2的推論，本文在這一判斷基礎(chǔ)之上，進一步指出：命題2本質(zhì)上是命題1的推論.為了詳細說明這一點，給出命題2另外一個證明，證明的過程也是揭示命題2和命題1因果關(guān)系的過程.證明根據(jù)命題

1(PA+PC)，2

1(MA，2

1(NB+NC)2PA，MA，NB共線；設(shè)PMPA，PN，NBNMPBPMt)PN量運算法則，可知MAl)PA，MB-PM(t-1)PA；所以MA(t-l))PA；又因為NC，NB-PNPA-，所以NBPA；ìl(t-l)t)mí?tll，t=NB CN== .NP通過這一證明，可以看到命題2的確是命題1的推論.龔新平老師是為了解釋盧偉峰老的面積是面積的22.反思本文證明命題2呢？答案是肯定的.觀察盧偉峰老師在文[3]中提出的命題，即：命題3已知拋物線G上不同的三點A、B、C處的切線兩兩相交于點P、M、N，那么的面積是面積的2倍.圖3證明設(shè)直線PB交直線AC于點D，BDPD，根據(jù)命題2的證明過程可以發(fā)現(xiàn)1PB2PAPC，所以PD=l2PB=PA+PC，又因為又A、D、C1-n

1-n

1-n三點共線，所以l2n，結(jié)合l，所以n2，即PBgPABD；= glm PNPM= gDDD且=

SMNMNAC

SAM，所以AMg g .圖4再次考察林廣軍老師在文[4]探討拋物線內(nèi)接三角形和外切三角形的性質(zhì)時，提出的一個命題，即：命題5如圖G上不同的三點A、B、C處的切線兩兩相交于點P、M、N，分別過M、N作PM、PN的平行線，交于點H，那么點H、B的縱坐標相同，且點H必在直線AC上.圖5證明根據(jù)命題2的證明過程PHPAl點H必在直線AC上.且BH-PB

-l2)PA)PC，其中l(wèi)

-l2，所以可以推出BH與PA1可知直線BHH、B的縱坐標相同.的重心和的重心連線和對稱軸位置關(guān)系時，得到的一個結(jié)論，也可以用命題2的證明過程給出統(tǒng)一解釋，首先給出文[5]所提命題，即：命題6如圖G上不同的三點A、B、C處的切線兩兩相交于點P、M、N，的重心和的重心連線平行于拋物線的對稱軸.證明根據(jù)命題2證明的共線向量之間的數(shù)乘關(guān)系，以PA、PC為基底，可以計算出1122

=(lPA，PG23

=3

)PA)PC)；=所以GG=

-PG

1((l2)PC)，其中l(wèi)2；12 2 1 3=因此GG=

12)(PA+PC)與對稱軸平行，所以直線GG

平行于拋物線的對稱12 3 12軸.圖6本文揭示了拋物線阿基米德三角形和拋物線內(nèi)接三角形、外切三角形之間的聯(lián)系，中學(xué)數(shù)學(xué)教師關(guān)于這兩個主題的探究活動，早些年異常豐富.為此199910期的編者曾對阿基米德三角形的研究情況作過說明.如果在圓錐曲線問題的研究中引入其它方法(如向量方法)，那么阿基米德三角形諸多性質(zhì)的應(yīng)用可能會得到極大改觀.最后，需要指出的是本文從拋物線阿基米德三角形對命題2給出的解釋并非是本質(zhì)的，這一命題本質(zhì)是高等幾何中，斯坦納定理的對偶命題的一個推論.其本質(zhì)是：拋物線與無窮遠直線相切.囿于中等數(shù)學(xué)知識所限，無法展開解釋說明.有興趣提高對圓錐曲線認識水平的讀者，可以以此為契機，深入學(xué)習(xí).[1]邵明志，陳克勤.高考試題中的阿基米德三角形，[J].數(shù)學(xué)通報，2008，47(9)：39-42，46.[2]盧偉峰.拋物線外切三角形與內(nèi)接三角形的一個性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007(6)：42.[3]龔新平.拋物線外切三角形與內(nèi)接三角形的又一性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2008(1)：17.[4]林廣軍.拋物線的外切三角形和內(nèi)接三角形的另外兩個性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月)，2015(12)：41.[5]張俊.拋物線的外切三角形和內(nèi)接三角形的兩個性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月)，2014(4)