上海市虹口區(qū)復(fù)興高中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

上海市虹口區(qū)復(fù)興高中2024屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一輛汽車做直線運(yùn)動(dòng)，位移與時(shí)間的關(guān)系為，若汽車在時(shí)的瞬時(shí)速度為12，則（）A. B.C.2 D.32．如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，圓錐PO的軸截面PAE是邊長為2的等邊三角形，是底面圓的內(nèi)接正三角形．則（）A. B.C. D.3．已知雙曲線C：-=1的焦距為10，點(diǎn)P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程為A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=14．連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至少2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面5．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則a的值為（）A.4 B.C. D.6．命題：“，”的否定形式為（）A.， B.，C.， D.，7．在棱長為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.1C. D.8．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念.在研究切線時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若，且對(duì)，，且總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.9．如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且，，則橢圓方程為（）A. B.C. D.10．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.511．《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問立夏日影長為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸12．雙曲線（，）的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（）A. B.C.2 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．2021年7月24日，在東京奧運(yùn)會(huì)女子10米氣步槍決賽中，中國選手楊倩以251.8環(huán)的總成績奪得金牌，為中國代表團(tuán)摘得本屆奧運(yùn)會(huì)首金．已知楊倩其中5次射擊命中的環(huán)數(shù)如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，則這組數(shù)據(jù)的方差為______14．已知數(shù)列滿足，則＝________.15．設(shè)、為正數(shù)，若，則的最小值是______，此時(shí)______.16．在一村莊正西方向處有一臺(tái)風(fēng)中心，它正向東北方向移動(dòng)，移動(dòng)速度的大小為，距臺(tái)風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)將受到影響，若臺(tái)風(fēng)中心的這種移動(dòng)趨勢(shì)不變，則村莊所在地大約有_______小時(shí)會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響．（參考數(shù)據(jù)：）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD=2AD=4，PD⊥CD，PD⊥AD，底面ABCD為正方形，M、N、Q分別為AD、PD、BC的中點(diǎn)（1）證明：面PAQ//面MNC；（2）求二面角M-NC-D的余弦值18．（12分）如圖，在長方體中，，，，M為上一點(diǎn)，且（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的余弦值19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，F(xiàn)，G分別是，的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小20．（12分）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán).新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級(jí)將來高考選考物理的情況，隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生，將他們某次物理測(cè)試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計(jì)這100名學(xué)生本次物理測(cè)試成績的中位數(shù).（2）根據(jù)調(diào)查，本次物理測(cè)試成績不低于60分的學(xué)生，高考將選考物理科目；成績低于60分的學(xué)生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測(cè)試成績?cè)?，的學(xué)生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.21．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，，平面平面，且（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值22．（10分）如圖，在四棱錐中，四邊形為平行四邊形，且，，三角形為等腰直角三角形，且，.（1）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，證明：平面平面；（2）若平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可解得；【詳解】解：因?yàn)?，所以又汽車在時(shí)的瞬時(shí)速度為12，即即，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】先求出，再利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積計(jì)算求解.【詳解】解：由題得,,故選：B3、A【解析】由題意得，雙曲線的焦距為，即，又雙曲線的漸近線方程為，點(diǎn)在的漸近線上，所以，聯(lián)立方程組可得，所以雙曲線的方程為考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)4、D【解析】根據(jù)對(duì)立事件的定義選擇【詳解】對(duì)立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對(duì)立事件為“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D5、C【解析】先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得其準(zhǔn)線方程，根據(jù)題意，列出方程，即可得答案.【詳解】由題意得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為，又準(zhǔn)線方程是，所以，所以.故選：C6、D【解析】根據(jù)含一個(gè)量詞的命題的否定方法直接得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題：“，”的否定形式為：，，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定，難度容易.含一個(gè)量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結(jié)論.7、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為故選：B8、D【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故A不正確；對(duì)，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查以數(shù)學(xué)文化為背景，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題型.9、C【解析】連結(jié)，設(shè)，則，，由可求出，進(jìn)而可求出，得出橢圓方程.【詳解】由題意設(shè)橢圓的方程：，設(shè)左焦點(diǎn)為，連結(jié)，由橢圓的對(duì)稱性易得四邊形為平行四邊形，由得，又，設(shè)，則，，又，解得，又由，，解得，，，則橢圓的方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解及橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，在求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，關(guān)鍵是求解基本量，，.10、C【解析】直線l過定點(diǎn)D(1，1)，當(dāng)時(shí)，弦長最短.【詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過定點(diǎn)，∵，故D在圓C內(nèi)部，直線l始終與圓相交，當(dāng)時(shí)，直線l被圓截得的弦長最短，，弦長＝.故選：C.11、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)冬至日影長，公差為，則，所以立夏日影長丈，即四尺五寸.故選：D12、C【解析】根據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程，得出，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，又其中一條漸近線的傾斜角為，所以，則，所以該雙曲線離心率為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、128【解析】先求均值，再由方差公式計(jì)算【詳解】由已知，所以，故答案為：14、4【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得，可得，即數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)可得值.【詳解】因?yàn)?，所以，即?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，熟練運(yùn)用相應(yīng)的公式即可，屬于基礎(chǔ)題.15、①.4②.【解析】巧用“1”改變目標(biāo)式子的結(jié)果，借助均值不等式求最值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立.故答案為，【點(diǎn)睛】本題考查最值的求法，注意運(yùn)用“1”的代換法和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題16、4【解析】結(jié)合勾股定理求得正確答案.【詳解】如圖，設(shè)村莊為A，開始臺(tái)風(fēng)中心的位置為B，臺(tái)風(fēng)路徑為直線，因?yàn)辄c(diǎn)A到直線的距離為，∴村莊所在地受到臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間約為：（小時(shí)）.故答案為：本卷包括必考題和選考題兩部分．第17題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22題～第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明過程見解析（2）【解析】（1）由線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解二面角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)镸，N是DA，PD的中點(diǎn)，所以MN//AP，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MN//平面PAQ因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，且Q為BC中點(diǎn)，所以MA//CQ，且MA=CQ，所以四邊形MAQC為平行四邊形，所以CM//AQ，因?yàn)槠矫鍼AQ，平面PAQ，所以MC//平面PAQ，因?yàn)?，所以面PAQ//面MNC【小問2詳解】因?yàn)镻D⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面NMC的法向量為，則，令得：，所以，平面NDC的法向量為，則，設(shè)二面角M-NC-D的大小為，顯然為銳角，則18、（1）（2）【解析】（1）以A為原點(diǎn)，以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，（2）求出和的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】以A為原點(diǎn)，以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由，，，，所以，，，因此，，，設(shè)平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，所以點(diǎn)到平面的距離【小問2詳解】由，，設(shè)平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，由（1）知平面的法向量為，記二面角的平面角為，則，由圖可知二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為19、（1）證明見解析（2）【解析】(1)取中點(diǎn)連接，連接，證得四邊形為平行四邊形，，再證面，即可得到證明結(jié)果；（2）建立空間坐標(biāo)系，求面和面的法向量，即可得到兩個(gè)面的二面角的余弦值，進(jìn)而得到二面角大小.【小問1詳解】如上圖，取中點(diǎn)連接，連接，均為線段中點(diǎn)，且，又G是的中點(diǎn)，且且四邊形為平行四邊形為等腰直角三角形，為斜邊中點(diǎn)，面，面面又面.【小問2詳解】建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)面的法向量為設(shè)面的法向量為兩個(gè)法向量的夾角余弦值為：，由圖知兩個(gè)面的二面角為鈍角，故夾角為.20、（1），中位數(shù)為；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)直方圖及中位數(shù)性質(zhì)求中位數(shù)即可.（2）首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數(shù)分布情況，再應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.【小問1詳解】由圖知：，解得.學(xué)生成績?cè)诘念l率為；學(xué)生成績?cè)诘念l率為.設(shè)這100名學(xué)生本次物理測(cè)試成績的中位數(shù)為，則，解得，故估計(jì)這100名學(xué)生本次物理測(cè)試成績的中位數(shù)為.【小問2詳解】由（1）知，學(xué)生成績?cè)诘念l數(shù)為，學(xué)生成績?cè)诘念l數(shù)為.按分層抽樣的方法從中選取5人，則成績?cè)诘膶W(xué)生被抽取人，分別記為，，成績?cè)诘膶W(xué)生被抽取人，分別記為，，.從中任意選取2人，有，，，，，，，，，這10種選法，其中至少有1人高考選考物理科目的選法有，，，，，，，，這9種，∴這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先利用正方形和梯形的性質(zhì)證明線面平行，然后再根據(jù)線面平行證明面面平行即可（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)的向量，然后分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，最后求出平面與平面夾角的余弦值【小問1詳解】四邊形是正方形，可得：又平面，平面則有：平面四邊形是梯形，可得：又平面，平面則有：平面又故平面平面【小問2詳解】依題意知兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則有：，，，可得：，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有：取，可得：設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有：取，可得：設(shè)平面與平面的夾角為，則故平面與平面夾角的余弦值為22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）先證明，，進(jìn)而證明平面，即