2023學年完整公開課版變化率問題

1.1.1變化率問題

高二數(shù)學選修2-2

第一章導數(shù)及其應用

創(chuàng)設情景為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學中四類問題的處理直接相關：一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體在任意時刻的速度與加速度等;

二、求曲線的切線;

三、求已知函數(shù)的最大值與最小值;

四、求長度、面積、體積和重心等。

導數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。

導數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度．引言：

觀察：某城市3月18日——4月20日的溫度T（℃）相對于時間t（天）的變化情況，用曲線圖表示為：

t(天)2030342102030A(1,3.5)B(32,18.6)0C(34,33.4)T(℃)210（注：3月18日為第一天）問題一溫度變化率問題你能從圖中觀察出各時間段的溫度變化情況嗎？思考溫度快慢的變化情況怎么刻畫？講授新課1.變化率

一個變量相對于另一個變量的變化而變化的快慢程度叫做變化率．講授新課

在吹氣球的過程中,可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來越慢.從數(shù)學的角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?問題二氣球膨脹率講授新課播放暫停停止問題三高臺跳水講授新課探究過程：如圖是函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，，所以，雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)．thO若設Δx=x2－x1,Δy=f(x2)－f(x1)

上述問題中的變化率可用式子表示我們稱之為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率2.平均變化率的定義這里Δx是x1的一個“增量”：x2＝x1+Δx;Δy是ｆ(x1)的一個“增量”:f(x2)=f(x1)+Δy.則平均變化率為講授新課PQoxyy=f(x)3.平均變化率的幾何意義是什么？表示什么？表示曲線上兩點連線的斜率例

(1)計算函數(shù)f(x)=2x+1在區(qū)間[–3,–1]上的平均變化率；(2)求函數(shù)f(x)=x2

+1的平均變化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4△x=-1-(-3)=2(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)2

1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+Δx,-2+Δy),則Δy/Δx=(

)A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx

D3.求y=x2在x=x0附近的平均變化率.

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