期末押題模擬卷01（測試范圍選擇性必修第一冊數(shù)列）（解析版）

期末押題模擬卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．測試范圍：選擇性必修第一冊、數(shù)列5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，直線，，的斜率分別為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令直線，，的傾斜角分別為，，，由圖像可得，所以，即．所以故選：A.2．如圖，在三棱錐中，點(diǎn)N為棱AP的中點(diǎn)，點(diǎn)M在棱BC上，且滿足，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)N為棱AP的中點(diǎn)，，所以.故選：C.3．在數(shù)列中，，（，），則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，，故選：A4．已知圓，直線，則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．都有可能【答案】C【解析】因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓心到直線的距離：，所以直線與圓相切，故選：.5．已知直線和直線，則拋物線上一動點(diǎn)到直線和直線的距離之和的最小值是（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】是拋物線的準(zhǔn)線，到的距離等于.過P作于Q，則到直線和直線的距離之和為拋物線的焦點(diǎn)過作于，和拋物線的交點(diǎn)就是，∴（當(dāng)且僅當(dāng)F、P、Q三點(diǎn)共線時等號成立）點(diǎn)到直線的距離和到直線的距離之和的最小值就是到直線距離，最小值．故選：C．6．已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，滿足，故選：D7．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為的正三角形，，頂點(diǎn)在底面的射影為底面正三角形的中心，P，Q分別是異面直線上的動點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】如圖，是底面正的中心，平面，平面，則，，則，又，，，直線交于點(diǎn)，，以直線為軸，為軸，過平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，設(shè)與和都垂直，則，取，則，，P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線與間的距離等于．故選：D．8．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為（），因?yàn)閮?nèi)、外層橢圓離心率相同，所以外層橢圓方程可設(shè)成（），設(shè)切線方程為，與聯(lián)立得，，由，則，設(shè)切線方程為，同理可求得，所以，，所以，因此.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則（

）A．是遞增數(shù)列 B．是等差數(shù)列C．當(dāng)時， D．當(dāng)或4時，取得最大值【答案】CD【解析】當(dāng)時，，當(dāng)時，，不滿足上式，所以，對于A，由于，，所以不是遞增數(shù)列，所以A錯誤，對于B，由于，，，所以，所以不是等差數(shù)列，所以B錯誤，對于C，由，得，所以當(dāng)時，，所以C正確，對于D，，因?yàn)?，所以?dāng)或4時，取得最大值，所以D正確，故選：CD.10．已知,.則下列說法中,正確的有（

）A．若在內(nèi),則B．當(dāng)時,與共有兩條公切線C．若與存在公共弦,則公共弦所在直線過定點(diǎn)D．,使得與公共弦的斜率為【答案】BC【解析】解:由題知,,關(guān)于選項(xiàng)A,將代入可知,故選項(xiàng)A錯誤;關(guān)于選項(xiàng)B,當(dāng)時,,,,與相交,,故與共有兩條公切線,故選項(xiàng)B正確;關(guān)于選項(xiàng)C,將兩圓的一般方程相減即可得公共弦所在直線方程:,將代入直線有:成立,故選項(xiàng)C正確;關(guān)于選項(xiàng)D,由選項(xiàng)C知,公共弦所在直線方程為,若直線方程的斜率為,則斜率存在,則有,解得,故不存在m使其斜率等于,故選項(xiàng)D錯誤.故選:BC11．如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（

）A．三棱錐的體積為1 B．平面EFGC．平面EFG D．平面EGF與平面ABCD夾角的余弦值為【答案】AB【解析】A選項(xiàng)，，所以，A選項(xiàng)正確.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，,，所以，由于平面，所以平面，B選項(xiàng)正確.平面的一個法向量為，，所以與平面不平行，C選項(xiàng)錯誤.平面的法向量為，設(shè)平面于平面的夾角為，則，D選項(xiàng)錯誤.故選：AB12．如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且軸，直線與軸分別交于點(diǎn).若（為雙曲線的離心率），則下列說法中正確的有（

）A．B．C．直線的斜率為D．直線的斜率為【答案】AC【解析】根據(jù)題意得，，，，根據(jù)，則，所以，由，可得，所以，根據(jù)，即，整理可得，即，即，因?yàn)?，解得，故A正確.又，故B錯誤；，故直線的斜率，故C正確；直線的斜率，故D不正確.故選：AC第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓與直線相交于A、B兩點(diǎn)，則______.【答案】2【解析】圓，即，圓心，半徑，圓心到直線的距離為，故.故答案為：214．若數(shù)列滿足，則_____．【答案】【解析】由題意，數(shù)列滿足，可得．故答案為：.15．如圖所示，在平行六面體中，，，，為棱的中點(diǎn)，則______．【答案】【解析】向量的拆分，，又，，由此可得，∴．故答案為：16．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后反射光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸入射光線經(jīng)拋物線反射后反射光線必經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線的焦點(diǎn)為，一平行于軸的光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)射出，則______．【答案】4【解析】已知拋物線，則，所以焦點(diǎn)，因?yàn)槠叫杏谳S的光線從點(diǎn)射出，所以，代入，則，直線AB的方程為，聯(lián)立，求得，所以，，則.故答案為：4四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。17．（10分）已知圓，點(diǎn)A是圓C1上一動點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直線l過點(diǎn)且與點(diǎn)C的軌跡交于M，N兩點(diǎn)，若，求直線l的方程．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，所以，即，因?yàn)辄c(diǎn)在圓C1上運(yùn)動，所以，所以，即，故點(diǎn)C的軌跡方程為．（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為，此時圓心到直線l的距離為，則，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，即，則圓心到直線l的距離，所以，解得，所以直線l的方程為，綜上：直線l的方程為或．18．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，.(1)證明：；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）因?yàn)槿庵侵比庵?，所以平面，平面，所?又，，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所?；（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以.因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.19．（12分）已知函數(shù)，數(shù)列滿足：，.(1)判斷數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列？并說明理由；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：因?yàn)椋?，所以，則，故，又，則，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）得，，所以.20．（12分）某有在校學(xué)生2000人，沒有患感冒的同學(xué)．由于天氣驟冷，在校學(xué)生患流行性感冒人數(shù)劇增，第一天新增患病同學(xué)10人，之后每天新增的患病同學(xué)人數(shù)均比前一天多9人．由于學(xué)生患病情況日益嚴(yán)重，號召同學(xué)接種流感疫苗以控制病情．從第8天起，新增病患的人數(shù)均比前一天減少50%，并且每天有10名患病同學(xué)康復(fù)．(1)求第n天新增病患的人數(shù)；(2)按有關(guān)方面規(guī)定，當(dāng)天患病同學(xué)達(dá)到全校人數(shù)的15%時必須停課，問該校有沒有停課的必要？請說明理由．【解析】（1）當(dāng)時，∵，公差為9，∴當(dāng)時，∵，公比為，∴∴（2）設(shè)為第n天患病總?cè)藬?shù)，則當(dāng)時，當(dāng)時，，令，.所以該不用面臨停課的危險．21．（12分）已知曲線上的任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為.直線交曲線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)..(1)求曲線的方程；(2)若不過點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，記線段的中點(diǎn)為.求證:直線的斜率與的斜率的乘積為定值；(3)若以線段為直徑的圓過點(diǎn)，求面積的取值范圍.【解析】（1）由題意知曲線是以原點(diǎn)為中心，長軸在軸上的橢圓，

設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為，則有，所以，∴.（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)則由

可得，即∴，∴，，，∴直線的斜率與的斜率的乘積=為定值（3）當(dāng)直線、分別與坐標(biāo)軸重合時，易知的面積，當(dāng)直線、的斜率均存在且不為零時，設(shè)直線、的方程為：，點(diǎn)，由

可得，∴，代入得，同理可得，∴

令，，則

由知，綜上可知，.22．（12分）設(shè)點(diǎn)為拋物線：（）的動點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)時，.(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)在第一象限且時，過作斜率為，的兩條直線，，分別交拋物線于點(diǎn)，，且，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)是否存在定圓：，使得過曲線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，與曲線交于另外兩點(diǎn)，時，總有直線也與圓相切？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【解析】（1）∵當(dāng)時，，∴，所以，即拋物線的方程為；（2）∵在第一象限且時，∴，