誤差的基本性質-隨機誤差

(一)隨機誤差教學目的和要求：

正確求解極限誤差。了解隨機誤差的分布；掌握隨機誤差特征值的確定方法；掌握隨機誤差的產(chǎn)生原因、特點，服從正態(tài)分布隨機誤差的特征；1、隨機誤差的產(chǎn)生原因、特點，隨機誤差處理的基本原則；3、算術平均值原理：算術平均值原理、殘余誤差。

2、隨機誤差的分布：正態(tài)分布、非正態(tài)分布。

主要內容：4、測量的標準偏差：單次測量的標準偏差、貝塞爾公式、算術平均值的標準偏差、標準差的其它估計方法。5、極限誤差：極限誤差的定義、單次測量的極限誤差、算術平均值的極限誤差。一、隨機誤差產(chǎn)生的原因隨機誤差是由人們不能掌握，不能控制，不能調節(jié)，更不能消除的微小因素造成。這些因素中，有的是尚未掌握其影響測量準確的規(guī)律；有的是在測量過程中對其難以完全控制的微小變化，而這些微小變化又給測量帶來誤差。第一節(jié)隨機誤差概述例題結論：對具體測量問題具體分析，從所用的設備、人員、測量方法等資源以及環(huán)境等要素中去分析尋找主要的隨機誤差來源。舉例：某臺激光數(shù)字波面干涉儀，對其進行準確度考核，在相同測量條件下對某標準平晶的表面面形進行150次重復測量獲得面形峰谷值數(shù)據(jù)。通過實驗分析，查詢有關的技術資料和其他信息，可知隨機誤差來源。150次的面形峰谷值數(shù)據(jù)0.1240.1200.1180.1190.1210.1250.1210.1230.1200.1180.1190.1170.1180.1210.1190.1180.1190.1190.1150.1200.1190.1190.1190.1160.1160.1180.1210.1200.1220.1220.1190.1210.1210.1240.1210.1180.1180.1190.1200.1180.1190.1220.1180.1190.1190.1170.1180.1180.1180.1200.1190.1180.1200.1240.1200.1180.1180.1190.1210.1230.1240.1230.1180.1190.1190.1200.1200.1190.1190.1180.1230.1210.1190.1180.1200.1200.1200.1190.1200.1230.1180.1210.1190.1210.1200.1230.1230.1210.1180.1190.1200.1210.1220.1190.1210.1220.1190.1200.1170.1250.1190.1270.1200.1240.1230.1230.1180.1190.1240.1220.1230.1240.1210.1230.1230.1210.1200.1210.1230.1270.1250.1210.1200.1240.1230.1230.1240.1230.1190.1210.1230.1290.1210.1200.1210.1240.1230.1210.1250.1190.1220.1270.1210.1200.1220.1210.1220.1230.1240.121數(shù)據(jù)特點但就數(shù)據(jù)整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計規(guī)律，這個規(guī)律可以用統(tǒng)計直方圖來表示。數(shù)據(jù)列表明，各次測值不盡相同，這說明各次測量中含有隨機誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預測下一個數(shù)據(jù)的大小。0.114

0.116

0.118

0.12

0.122

0.124

0.126

0.128

0

10

20

30

40

50

統(tǒng)計直方圖對于測量狀態(tài)比較完好的光電類測量儀器，其隨機誤差的分布往往較好的呈現(xiàn)正態(tài)分布的特征。統(tǒng)計直方圖在對稱性方面有一些偏離理想正態(tài)分布的情形。對于測量狀態(tài)不完好的光電類測量儀器，特別是對傳動機械部件磨損較嚴重而規(guī)律尚未掌握的儀器，其測量隨機誤差可能就呈現(xiàn)其他分布的特征。激光數(shù)字波面干涉儀的隨機誤差主要來源測量裝置方面的因素

氦氖激光源輻射激光束的頻率不夠穩(wěn)定造成激光波長的漂移

CCD光電探測器采集信號及其電信號處理電路造成干涉圖像信號的隨機噪聲

離散化采樣誤差、各次裝夾定位不一致

測量環(huán)境方面的因素

放置測量主機和被測試樣的隔震臺不能很好消除外界的低頻震動

儀器所在實驗室氣流和溫度的波動

空氣塵埃的漂浮、穩(wěn)壓電源供電電壓的微小波動

操作人員方面的因素

操作人員的裝夾調整不當引起被采集的測量干涉圖像質量低、條紋疏密不當

采集干涉圖像的攝像頭變焦倍數(shù)過小造成較大的離散化采樣誤差

減小隨機誤差的技術途徑

(1)測量前，找出并消除或減小其隨機誤差的物理源;(2)測量中，采用適當?shù)募夹g措施，抑制和減小隨機誤差;(3)測量后，對采集的測量數(shù)據(jù)進行適當處理，抑制和減小隨機誤差。對防震臺充氣減震、關空調減少氣流、開機對激光器預熱等。

戴工作手套裝夾工件，調整光路要盡量減少離焦、傾斜，并使干涉條紋疏密適當，人員盡量遠離測量光路；必要的話，適當增加重復測量次數(shù)取算術平均值等

視需要，有針對性地對采集的測量干涉圖進行預處理，如用低通濾波、平滑濾波等方法來消除中高頻隨機噪聲，用高通濾波法則可以有效消除低頻隨機噪聲。

二、隨機誤差的本質特征

與測量次數(shù)有關系：增加測量次數(shù)可以減小隨機誤差對測量結果的影響。產(chǎn)生在測量過程之中：影響隨機誤差的因素在測量開始之后體現(xiàn)出來。具有隨機性：測量過程中誤差的大小和符號以不可預知形式的形式出現(xiàn)。服從正態(tài)分布隨機誤差的特征2、對稱性在一定測量條件下的有限次測量結果，其絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。1、有界性隨機誤差總是有界限的，不可能出現(xiàn)無限大的隨機誤差。在一定測量條件下的有限次測量結果中，隨機誤差的絕對值不會超過某一界限。4、單峰性即絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多于絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)。3、抵償性由隨機誤差的對稱性知，在有限次測量中，絕對值相同的正負誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相同。因此，取這些誤差的算術平均值時，絕對值相同的正負誤差產(chǎn)生相互抵消現(xiàn)象，從而導致了隨機誤差的第三個特性——抵償性。第二節(jié)

隨機誤差的分布隨機誤差概率分布密度函數(shù)表達式為：

數(shù)學期望：E（δ）＝0方差：D（δ）＝σ2

標準偏差：一、正態(tài)分布均勻分布又稱等概率分布，其概率密度函數(shù)為：它的數(shù)學期望為：E（δ）＝0二、均勻分布它的方差為：

它的標準偏差為：三角分布的概率密度函數(shù)為：

數(shù)學期望：E（δ）＝0

它的方差為：

三、三角分布它的標準偏差為：四、反正弦分布它的方差為：

它的標準偏差為：數(shù)學期望：E（δ）＝0

反正弦分布的概率密度函數(shù)為：

設隨機變量X1，X2，…，Xυ相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布N（0，1），則隨機變量：其概率密度函數(shù)為：五、χ2

分布六、t

分布

設隨機變量X與Y相互獨立，X服從標準正態(tài)分布N（0，1），Y服從自由度為υ的χ2分布，則隨機變量其概率密度函數(shù)為：第三節(jié)

算術平均值作為測量結果的最佳估計。在等權測量條件下，對某被測量進行多次重復測量，得到一系列測量值,常取算術平均值一、算術平均值的意義無限多次測量算術平均值作為真值的理論依據(jù)

若測量次數(shù)無限增多，且無系統(tǒng)誤差下，由概率論的大數(shù)定律知，算術平均值以概率為1趨近于真值x0。根據(jù)隨機誤差的抵償性，當n充分大時，有最佳估計的意義若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計知，算術平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量，即滿足無偏性、有效性、一致性。滿足最小二乘原理：在正態(tài)分布條件下，滿足最大似然原理：該所有測量值對其算術平均值之差的平方和達到最小該測量事件發(fā)生的概率最大

由算術平均值原理可知，算術平均值是真值的最佳估計值，用算術平均值代替真值計算得到的誤差稱為殘余誤差。

在規(guī)定測量條件下，同一被測量的測量列x1，x2，…，xn有算術平均值：則稱：為殘余誤差。二、殘余誤差

殘余誤差具有兩個重要特性。（一）殘余誤差具有低償性——殘余誤差代數(shù)和等于零；（二）殘余誤差平方和為最小

。第四節(jié)測量的標準偏差標準差（方均根誤差）σ越小，各單次測量值分散度小，可靠性高，測量越精密。一、單次測量的標準偏差等精度測量中，單次測量的標準差(總體標準差)為：貝塞爾公式極差法最大誤差法

如果這組數(shù)據(jù)是來自于某測量總體的一個樣本，則該組數(shù)據(jù)的標準差是對該測量總體標準差的一個估計，稱其為樣本標準差，又稱為實驗標準差。

對于一組測量數(shù)據(jù)，用其標準差來表述這組數(shù)據(jù)的分散性。定理：對同一被測量，在相同測量條件下，進行有限次測量得測量列xi（i＝1，2，…，n），則單次測量標準偏差σ的估計值s為：

二、標準偏差的基本估計——貝塞爾公式值隨n減少明顯偏離系數(shù)1；在樣本數(shù)較小的情形（如n≤6），為了提高對s估計的相對誤差，最好用無偏修正的貝塞爾公式。２34567891015201.251.131.091.061.051.041.041.031.031.021.01貝塞爾公式的修正因子修正貝塞爾公式用某儀器測某物水份含量，測得50個數(shù)據(jù)如下（單位：水份百分比％）3.4,2.9,4.6,3.9,3.5,2.8,3.4,4.0,3.1,3.7,3.5,3.1,2.5,4.4,3.7,3.2,3.8,3.2,3.7,3.2,3.6,3.0,3.3,4.0,3.4,3.0,4.3,3.8,3.8,3.6,3.4,2.7,3.5,3.6,3.6,3.3,3.7,3.5,4.1,3.1,3.7,3.2,3.9,4.2,3.5,2.9,3.9,3.6,3.4,3.3試求其算術平均值及其標準差。【例2-1】【解】分別計算故該儀器的標準差（測量重復性）為0.44

。三、算術平均值的標準差

如果在相同條件下對同一量值作多組重復的系列測量，每一系列測量都有一個算術平均值，由于誤差的存在，各個測量列的算術平均值也不相同，它們圍繞著被測量的真值有一定的分散，此分散說明了算術平均值的不可靠性，而算術平均值的標準差則是表征同一被測量的各個獨立測量列算術平均值分散性的參數(shù)，可作為算術平均值不可靠性的評定標準。

10次算術平均值與單次測量的分布關系

兩者的分布類型和峰值位置未發(fā)生變化，只是分散性不同。增加測量次數(shù)，可以提高測量精度，但是測量精度是與測量次數(shù)的平方根成反比，因此，要顯著地提高測量精度，必須付出較大的勞動。由圖可知，s一定時，當n＞10以后，已減少得非常緩慢。由于測量次數(shù)愈大，也愈難保證測量條件的恒定，從而帶來新的誤差，因此一般情況下取n＝10以內較為適宜。總之，要提高測量精度，應采用適當精度的儀器，選取適當?shù)臏y量次數(shù)。最佳測量次數(shù)確定【例2-2】例2－14已知測量的單次測量標準偏差s＝0.12（略去單位）。問在不改變測量條件的情況下，使被測量估計值的標準偏差達到0.04，需測量多少次？解：以算術平均值作為被測量的估計值，適當增加測量次數(shù)，以滿足測量精密度的需要。即測量次數(shù)：即對被測量進行9次以上重復測量，它們的算術平均值的精密度便可達到要求。標準差的其他估計方法一、別捷爾斯法(Peters)二、極差法對多次獨立測得的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，為最大值，為最小值，兩者之間的極差為：２1.130.7692.970.27163.5331.690.52103.080.26173.590.2142.060.43113.170.25183.640.2052.330.37123.260.24193.690.2062.530.34133.310.23203.7472.700.31143.410.2282.850.29153.470.22極差法系數(shù)三、最大誤差法在只進行一次性實驗中，是唯一可用的方法。

在一般情況下，被測量的真值難以知道，無法應用最大誤差法估計標準差，而是最大殘余誤差估計標準差。四、最大殘差法0.880.511.77４1230.750.451.020.680.400.83５0.640.360.74６0.610.330.68７0.580.310.64８0.560.290.61100.530.270.57200.460.230.251.250.75最大誤差法系數(shù)【例2-3】【解】(1)用貝塞爾公式估算對某量測得數(shù)據(jù)7.7,7.7,7.5,7.7,7.7,7.7,7.9,7.6,7.7,7.8,7.9，試分別用貝塞爾公式、修正貝塞爾公式、別捷爾斯法、極差法、最大誤差法估計其測量標準差。(2)用修正貝塞爾公式估算(3)用別捷爾斯法估算(4)用極差法估算故：（5）用最大誤差法估算故：幾種估計標準差的相對誤差貝塞爾公式0.80修正貝塞爾公式0.60極差法0.76最大誤差法0.750.51４1230.570.460.520.450.470.390.430.40５0.400.340.370.36６0.360.310.340.33７0.320.280.310.31８0.300.260.290.2990.280.250.270.28100.260.230.260.27200.170.160.200.23當樣本數(shù)較小的情形（如n≤6），用貝塞爾公式估計的信賴程度已經(jīng)開始低于極差法和最大誤差法，應當改用修正的貝塞爾公式來估計標準差。第五節(jié)極限誤差極限誤差是指極端誤差，是誤差不應超過的界限，此時對被測量的測量結果（單次測量或測量列的算術平均值）的誤差，不超過極端誤差的置信概率為p，并使差值1－p＝α可以忽略。此極端誤差稱為測量的極限誤差，并以δ表示。極限誤差δ的值可依據(jù)測量標準差、誤差分布及要求的置信概率確定：t稱為置信系數(shù)，是誤差分布、自由度和置信概率的函數(shù)，通常有表可查。2.03.02.580.990.010.9540.0461.960.950.051.6450.900.101.00.6830.3170.67450.50.50.99730.00273.300