專題2-2十三種高考補(bǔ)充函數(shù)歸類（講練）

專題2-2十三種高考補(bǔ)充函數(shù)歸類一、知識(shí)梳理與二級(jí)結(jié)論二、熱考題型歸納【題型一】放大鏡函數(shù)【題型二】高斯函數(shù)（取整函數(shù)）【題型三】保值函數(shù)【題型四】一元三次函數(shù)【題型五】分式型反比例函數(shù)【題型六】對(duì)數(shù)型反比例函數(shù)【題型七】對(duì)數(shù)型無(wú)理函數(shù)【題型八】對(duì)數(shù)型絕對(duì)值函數(shù)【題型九】對(duì)勾函數(shù)【題型十】指數(shù)型對(duì)勾函數(shù)【題型十一】指數(shù)型雙刀函數(shù)【題型十二】指數(shù)型“反比例函數(shù)”【題型十三】抽象函數(shù)賦值型三、高考真題對(duì)點(diǎn)練四、最新模考題組練知識(shí)梳理與二級(jí)結(jié)論一、抽象公式應(yīng)用思維：如：正用：逆用:變用：抽象函數(shù)賦值經(jīng)驗(yàn)：字母取0，1，-1，x，-x，-1×x奇偶性賦值：x，-x方向或者目標(biāo)：；三、對(duì)數(shù)公式積累應(yīng)用（3）.重要的，用于不等式計(jì)算：無(wú)中生有思想技巧四、圖像變換：奇函數(shù)變換，又叫原點(diǎn)變換：偶函數(shù)變換，又叫y軸變換：軸變換，又叫直線鏡面變換：（1）、（2）、（3）、若是一般直線（斜率不是正負(fù)1）對(duì)稱，就需要用解析幾何斜率等知識(shí)常規(guī)求解了五、“反比例”函數(shù)圖像特征及其重要技巧：“分離常熟”形如，必有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心為，可通過(guò)如下計(jì)算求得熱點(diǎn)考題歸納【題型一】放大鏡函數(shù)【典例分析】1.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得當(dāng)時(shí)，，其中，結(jié)合函數(shù)在上的解析式和函數(shù)在的圖象可求的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，，，同理，當(dāng)時(shí)，，依次類推，可得當(dāng)時(shí)，，其中.所以當(dāng)時(shí)，必有.如圖所示，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的取值范圍為，故若對(duì)任意，都有，則，令，或，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，故選：D.2.（2020屆北京市順義牛欄山第一中學(xué)西校區(qū)高三下學(xué)期4月月考試卷數(shù)學(xué)試題）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對(duì)任何，都有，且當(dāng)時(shí)，．在下列結(jié)論：（1）對(duì)任何，都有；（2）任意，都有；（3）函數(shù)的值域是；（4）“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在，使得”．其中正確命題是（）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合函數(shù)的周期性和單調(diào)性，合理賦值，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于（1）中，對(duì)任何，都有，且當(dāng)時(shí)，，所以，所以是正確的；對(duì)于（2）中，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，可得，解得，即當(dāng)時(shí)，，所以不正確；對(duì)于（3）中，取，則，可得，從而函數(shù)的值域?yàn)?，所以是正確的；對(duì)于（4）中，令，則，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，而必要性顯然成立，所以是正確的，所以正確的命題為（1）（3）（4）.故選：C.【提分秘籍】滿足形式，一般情況下，b多是0或者1.俗稱為“放大鏡函數(shù)”。（1）如果函數(shù)在上滿足，則此類函數(shù)在局部范圍上具有與周期函數(shù)相類似的性質(zhì)．（2）復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù)圖像的交點(diǎn)來(lái)處理．【變式演練】1.（安徽省黃山市屯溪第一中學(xué)2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)試題）定義在上函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則使得在上恒成立的的最小值是______________.【答案】【分析】由題設(shè)遞推關(guān)系及已知區(qū)間解析式，分析可得分段函數(shù)：在上有，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法求參數(shù)m的最小值.【詳解】由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，，故，同理：在上，，∴當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的圖象，如下圖示.在上，，得或.由圖象知：當(dāng)時(shí)，.故答案為：.2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出圖示，求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式，求出成立的x的值，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可得選項(xiàng)．【詳解】解：時(shí)，，，，即右移1個(gè)單位，圖像變?yōu)樵瓉?lái)的2倍．如圖所示：當(dāng)時(shí)，，令，解得，所以要使對(duì)任意，都有，則，，故選：B．3.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)得到且，，注意判斷函數(shù)值的變化趨勢(shì)，再求得的最大k值，此時(shí)結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定上對(duì)應(yīng)x值，即可得m的范圍.【詳解】令，則，故，而，所以且，令，則，故，而，所以且，結(jié)合已知：且時(shí)，而，對(duì)且，，即隨增大依次變小，要使對(duì)任意都有，令，則且，則上，且上，當(dāng)時(shí)，令，則，解得或，綜上，要使對(duì)任意都有，只需.故選：C【題型三】保值函數(shù)【典例分析】1..對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則稱為倍值函數(shù)．若是倍值函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意有方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，令，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可求出結(jié)論．解：∵，定義域?yàn)?，函?shù)在上為增函數(shù)，∴由題意有，，，即方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴，令，則，由得，由得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在處取得極大值，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)方程有兩個(gè)不同的解，∴的取值范圍為，故選：C．2.函數(shù)y＝sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)?，則b－a的最大值是________．【答案】【分析】由于正弦函數(shù)的周期性，可以在一個(gè)周期區(qū)間內(nèi)確定函數(shù)值為和的值，結(jié)合周期性性可得結(jié)論．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx，x∈[a，b]的最小值和最大值分別為－1和.不妨在一個(gè)區(qū)間[0，2π]內(nèi)研究，可知，，由正弦函數(shù)的周期性可知(b－a)min＝，(b－a)max＝.故答案為：．【提分秘籍】一般地，若的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑒t稱為的“倍跟隨區(qū)間”；特別地，若的定義域?yàn)椋涤蛞矠?，則稱為的“跟隨區(qū)間”，把函數(shù)存在區(qū)間，使得函數(shù)為上的倍域函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為是解答的關(guān)鍵.【變式演練】1.（四川省內(nèi)江市高中零模2022屆高二期末考試數(shù)學(xué)試題對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則稱為倍值函數(shù).若是倍值函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】可看出在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得出是方程的兩個(gè)不同根，從而得出，通過(guò)求導(dǎo)，求出的值域，進(jìn)而可得到的范圍．解：在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，即，即是方程的兩個(gè)不同根，

∴，設(shè)，∴當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,不存在兩個(gè)根的問(wèn)題,時(shí)，；時(shí)，，∴是的極小值點(diǎn)，的極小值為：，

又趨向0時(shí)，趨向；趨向時(shí)，趨向，

時(shí)，和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，方程有兩個(gè)解，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選:C．2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿足條件：存在，使在上的值域是，則稱為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“倍縮函數(shù)”的定義，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為“倍縮函數(shù)”，且滿足存在，使在上的值域是，所以在上是增函數(shù)；所以，即，所以是方程的兩個(gè)根，設(shè)，則，此時(shí)方程為即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，且兩根都大于；所以，解得：，所以滿足條件的取值范圍是，故選：A3.（河南省2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)（五）數(shù)學(xué)試題設(shè)函數(shù)，若存在，使得在上的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【分析】求導(dǎo)函數(shù)，判斷出函數(shù)單調(diào)遞增，從而可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不同解，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出端點(diǎn)值與極值即可求解.【詳解】在上單調(diào)遞增又在上的值域?yàn)閯t在上有兩個(gè)不同解令則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又.故選：A【題型二】高斯函數(shù)（取整函數(shù)）【典例分析】1.（山西省2022屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題）高斯函數(shù)也稱取整函數(shù)，記作，是指不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如，該函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域．下列關(guān)于高斯函數(shù)的性質(zhì)敘述錯(cuò)誤的是（）A．值域?yàn)閆 B．不是奇函數(shù)C．為周期函數(shù) D．在R上單調(diào)遞增【答案】D【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，結(jié)合值域、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由高斯函數(shù)的定義可知其值域?yàn)閆，故A正確；不是奇函數(shù)，故B正確；易知，所以是一個(gè)周期為1的周期函數(shù)，故C正確；當(dāng)時(shí)，，所以在R上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤．故選：D2.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知函數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（）A．是周期函數(shù) B．的值域是C．在上是減函數(shù) D．，【答案】AC【分析】根據(jù)定義將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，再畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象判斷函數(shù)的性質(zhì).【詳解】由題意可知，，可畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖：可得到函數(shù)是周期為1的函數(shù)，且值域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)AC正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于D，取，則，故D錯(cuò)誤.故選：AC．【提分秘籍】取整函數(shù)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，又叫做“高斯函數(shù)”，【變式演練】1.高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，.已知函數(shù)，函數(shù)，則（）A．函數(shù)的值域是 B．函數(shù)是周期函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱 D．方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根江蘇省南通市2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期初數(shù)學(xué)試題【答案】AD【分析】先研究函數(shù)的奇偶性，作出函數(shù)的圖象，作出函數(shù)的圖象判斷選項(xiàng)ABC的正確性，再分類討論判斷方程的根的個(gè)數(shù)得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)的圖象如圖所示，所以函數(shù)的圖象如圖所示，所以函數(shù)的值域是，故選項(xiàng)A正確；由函數(shù)的圖象得到不是周期函數(shù)，故選項(xiàng)B不正確；由函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于方程，當(dāng)時(shí)，，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；故方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故選項(xiàng)D正確.故選：AD2.（江蘇省無(wú)錫市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期10月階段性質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．的值域是【答案】BC【分析】計(jì)算得出判斷選項(xiàng)A不正確；用函數(shù)的奇偶性定義，可證是奇函數(shù)，選項(xiàng)B正確；通過(guò)分離常數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得出在R上是增函數(shù)，判斷選項(xiàng)C正確；由的范圍，利用不等式的關(guān)系，可求出，選項(xiàng)D不正確，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意知，.∵，，，∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；，∴是奇函數(shù)，B正確；在R上是增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在R上是增函數(shù)，C正確；，，，，，D錯(cuò)誤.故選：BC.3.(上海市行知中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題)對(duì)于正整數(shù),設(shè)函數(shù)，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，設(shè)，則的值域?yàn)開(kāi)________.【答案】【分析】先由題中條件，得到，討論，，，四種情況，再判斷的周期性，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；又，所以是以為周期的函數(shù)，因此的值域?yàn)?故答案為：【題型四】一元三次函數(shù)【典例分析】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于三次函數(shù)，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，而且三次函數(shù)的拐點(diǎn)（使二階導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)）正好是它的圖像的對(duì)稱中心．若，則．（且）【答案】【分析】由拐點(diǎn)的定義可得的對(duì)稱中心是點(diǎn)，分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性即可得出答案.【詳解】，，由，得，且，∴的對(duì)稱中心是點(diǎn)，因此．故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，．綜上所述，．故答案為：.2.（重慶市江津中學(xué)校2021-2022學(xué)年高三第二次階段考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)是上的增函數(shù).當(dāng)實(shí)數(shù)取最大值時(shí)，若存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的直線與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出m的最大值，結(jié)合過(guò)點(diǎn)Q的直線與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等，判斷函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.詳解：由得，是上的增函數(shù)，在上恒成立，即：在上恒成立.設(shè)，，，設(shè)，，，函數(shù)在單調(diào)遞增，.即，，又，.m的最大值為3.故得.將函數(shù)的圖象向上平移3個(gè)長(zhǎng)度單位，所得圖象相應(yīng)的函數(shù)解析式為.由于，為奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由此即得函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱.這表明存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)的直線與曲線圍成兩個(gè)封閉圖形，且這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等.故選：C.【提分秘籍】所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心，設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．【變式演練】1.對(duì)于三次函數(shù)，定義：設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心；且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱中心.”請(qǐng)你將這一發(fā)現(xiàn)視為條件，已知函數(shù)，則它的對(duì)稱中心為_(kāi)__________；___________.【答案】

【分析】對(duì)兩次求導(dǎo)，根據(jù)題意求出的對(duì)稱中心為，可得，再利用倒序相加法即可求和.【詳解】由可得，，令可得：，且，所以點(diǎn)為的對(duì)稱中心，所以，令兩式相加可得，所以，即，故答案為：，.2.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都只有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)圖象的對(duì)稱點(diǎn)為，且不等式對(duì)任意恒成立，則（

）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是【答案】ABC【解析】求導(dǎo)得，故由題意得，，即，故.進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，由于，故，進(jìn)而得，即，進(jìn)而得ABC滿足條件.【詳解】由題意可得，因?yàn)椋?，所以，解得，?因?yàn)椋缘葍r(jià)于.設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），從而，故.故選：ABC.【題型五】分式型反比例函數(shù)【典例分析】1..（2022秋·甘肅蘭州·高三蘭州五十一中?？计谥校┮阎瘮?shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為，，…，，則（

）A．m B．4m C．6m D．7m【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的中心對(duì)稱相關(guān)性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以所以關(guān)于中心對(duì)稱，所以關(guān)于中心對(duì)稱所以故選：D2.（2023秋·四川眉山·高一?？计谀┮阎瘮?shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，函數(shù)的圖像與的圖像有2022個(gè)交點(diǎn)，則這些交點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)之和等于（

）A． B． C．10110 D．5050【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)分離常數(shù)可得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，然后利用對(duì)稱性求解即可．【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，又函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，函數(shù)的圖象與的圖象有2022個(gè)交點(diǎn)，則這些交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以每?jī)蓚€(gè)對(duì)稱點(diǎn)縱坐標(biāo)之和為，2022個(gè)交點(diǎn)有1011組對(duì)稱點(diǎn)，所以這2022交點(diǎn)得縱坐標(biāo)之和為，所以每?jī)蓚€(gè)對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為，2022個(gè)交點(diǎn)有1011組對(duì)稱點(diǎn)，所以這2022交點(diǎn)得橫坐標(biāo)之和為，故這些交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和為．故選：A．【提分秘籍】形如：。對(duì)稱中為P，其中【變式演練】1.（2023春·上海嘉定·高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】【分析】先對(duì)函數(shù)解析式變形，結(jié)合反比例函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】，因?yàn)樵趨^(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即.故答案為：.2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，則【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求出，進(jìn)而可得，由此可得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以故答案為?.（2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．【答案】【分析】先由題意確定，分類討論與兩種情況，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，再利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意恒成立，且，所以，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于，即對(duì)于任意恒成立，即，令，，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易得在時(shí)，單調(diào)遞增，故，則，與矛盾，故此時(shí)k不存在；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于對(duì)于任意恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于對(duì)于任意恒成立，即，令，，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易得在時(shí)，單調(diào)遞減，故，則，故；綜上：，即．故答案為：.【題型六】對(duì)數(shù)反比例函數(shù)【典例分析】1.（2023春·云南紅河·高三模擬）若為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)．【答案】3【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義求解即可.【詳解】若為偶函數(shù)，則，即，∴，∴，∴，∴，∴，即，當(dāng)時(shí)，，定義域，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，不符合，舍去，當(dāng)時(shí)，，定義域或，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合，綜上，.故答案為：3.2.（2023春·四川綿陽(yáng)·高三期末）若為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可求得的值，由奇函數(shù)的性質(zhì)得出可求得的值，然后利用函數(shù)奇偶性的定義驗(yàn)證函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，則，則函數(shù)的定義域?yàn)?，此時(shí)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不合乎題意，所以，，由可得且，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，，解得，則，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解得，此時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，即函?shù)為奇函數(shù)，合乎題意，故.故答案為：.【提分秘籍】【變式演練】1.（2023·河北·校聯(lián)考一模）若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)，即可求解.【詳解】依題意，，即,所以，解得，當(dāng)時(shí)，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故舍去，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，符合要求，故，故答案為?.（2023·云南·校聯(lián)考二模），其最大值和最小值的和為．【答案】0【分析】證明函數(shù)是奇函數(shù)即得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以是奇函數(shù)，故其最大值和最小值的和為0．故答案為：03.（2023秋·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，解得或，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，即，解得.故答案為：.【題型七】對(duì)數(shù)無(wú)理函數(shù)型【典例分析】1.（2023秋·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若不等式對(duì)任意均成立，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)且為增函數(shù)得，則有，求出右邊最小值即可.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以函?shù)是奇函數(shù)，由，所以函數(shù)為上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以不等式對(duì)任意均成立等價(jià)于，即，即對(duì)任意均成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的取值范圍為.故答案為:2.（2022秋·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，，，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，又由，變形可得，由此可得答案．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)?，，，所以，所?故答案為：．【提分秘籍】【變式演練】1.（2023春·貴州黔南·高三模擬）若函數(shù)是奇函數(shù)，則a的值為．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以，即，所以，即a的值為.故答案為：2.（2023春·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）已知為奇函數(shù)，則的值可以為．（寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的即可）【答案】1（答案不唯一）【分析】由恒成立，由和分析函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，化簡(jiǎn)，結(jié)合為正奇數(shù)、為0或正偶數(shù)分析即可求解.【詳解】因?yàn)楹愠闪?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以?duì)于，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為0或正偶數(shù)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意.綜上所述，當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以的值可以為1（答案不唯一）.故答案為：1（答案不唯一）.3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】16【分析】根據(jù)題意設(shè)，利用函數(shù)奇偶性可以得到設(shè)，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】由函數(shù)，設(shè)，則的定義域?yàn)椋?，則，所以是奇函數(shù)，則，又因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào).故答案為：16.【題型八】對(duì)數(shù)絕對(duì)值型函數(shù)【典例分析】1.（2020秋·黑龍江哈爾濱·高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)互不相等，且，則的取值范圍為．【答案】【分析】畫(huà)出的圖象，結(jié)合圖象得的取值范圍，再由，，用表示，結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)可求出的取值范圍.【詳解】解：令，解得，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象如圖，當(dāng)時(shí)，或，因?yàn)?，所以，，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，所以，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，由，所以取值范圍為，故答案為:.2.（2020·云南·模擬預(yù)測(cè)）已知，函數(shù)，．若關(guān)于的方程有個(gè)解，則的取值范圍為．【答案】.【詳解】令g（x）=t，則方程f（t）=λ的解有4個(gè)，根據(jù)圖象可知，0＜λ＜1．且4個(gè)解分別為t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，

則x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，x2﹣4x+1+4λ=均有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，當(dāng)0＜λ＜時(shí)，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，同理也恒成立；故λ的取值范圍為（0，）．故答案為（0，）．【提分秘籍】對(duì)數(shù)絕對(duì)值對(duì)于，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則滿足1.2.3.要注意上述結(jié)論在對(duì)稱軸作用下的“變與不變”【變式演練】1.（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)若方程有四個(gè)解，且，則的取值范圍為.【分析】即與的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn).作出兩個(gè)函數(shù)的圖象得到，，化簡(jiǎn)得到，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的取值范圍得解.【詳解】由題知方程有4個(gè)解，即與的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn).作出2個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，易知當(dāng)時(shí)，有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則，即，，所以，可看作關(guān)于的函數(shù)，記為，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的定義域?yàn)?由題得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以時(shí)，，即的取值范圍是.故答案為：2.（2023春·江西新余·高三模擬）設(shè)函數(shù)，有四個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式研究的性質(zhì)，并畫(huà)出函數(shù)圖象草圖，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及題設(shè)條件可得、、，進(jìn)而將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化并令，構(gòu)造，則只需研究在上的范圍即可.【詳解】由分段函數(shù)知：時(shí)且遞減；時(shí)且遞增；時(shí)，且遞減；時(shí)，且遞增；∴的圖象如下：有四個(gè)實(shí)數(shù)根，，，且，由圖知：時(shí)有四個(gè)實(shí)數(shù)根，且，又，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：，可得，∴令，且，由在上單增，可知，所以3.（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)），若存在互不相等的實(shí)數(shù)，，，使得，則下列結(jié)論中正確的為（

）①；②，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)；③函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn).A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】①將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖像有4個(gè)交點(diǎn)，觀察圖像可得答案；②設(shè)，則可得，，根據(jù)關(guān)系代入求值域即可；③函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)與的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，關(guān)注和時(shí)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得答案根據(jù)圖像可得答案.【詳解】解：函數(shù)的圖像如圖：，即直線與函數(shù)圖像有4個(gè)交點(diǎn)，故，①正確；，不妨設(shè)，則必有，，，則，且，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，②正確；函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)與的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如圖當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，研究與是否相切即可，，令，則，則切點(diǎn)為，此時(shí)切線方程為，即，所以與圖像相切，此時(shí)函數(shù)與的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，故函?shù)與的圖像恒有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，③正確.故選：D.【題型九】對(duì)勾函數(shù)【典例分析】1..（2020秋·廣東深圳·高三?？计谥校┮阎x在（0，3]上的函數(shù)的值域?yàn)閇4，5]，若，則a+b的值為.【答案】7【解析】將函數(shù)變形為，令，，由，利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)?，令，所以，因?yàn)椋?，所以在上遞減，在遞增，所以①，又，所以②，所以，由①②得或，因?yàn)?，所以所以a+b=7故答案為：72.．（2021秋·高三單元測(cè)試）已知函數(shù)，若存在，使得，則正整數(shù)的最大值為.【答案】4【分析】根據(jù)單調(diào)性得到，要使正整數(shù)盡可能大，則可以是，得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，要使正整數(shù)盡可能大，則可以是，故的最大值為4.故答案為：4.【提分秘籍】形如稱為對(duì)勾函數(shù)1.有“漸近線”：y=ax2.“拐點(diǎn)”：解方程（即第一象限均值不等式取等處）【變式演練】1.（2022·全國(guó)·高三模擬練習(xí)）已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】由得使得不等式一邊是參數(shù)，另一邊是不含關(guān)于的式子，分離參數(shù).【詳解】由為奇函數(shù)，可得其圖像關(guān)于對(duì)稱，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，由題目可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，對(duì)任意的，恒成立恒成立，即在恒成立，所以，令，由，可得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的取值范圍是.故答案為：.2.（2021秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，若，使成立的最大正整數(shù)為，則取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意，極端考慮即，解不等式即可得到答案；【詳解】根據(jù)題意，即，在上遞減，在上遞增，所以，，故，解得，故填：．3..（2022秋·安徽合肥·高三考開(kāi)學(xué)考試）已知，函數(shù)，使得，則a的取值范圍.【答案】【解析】由已知得出函數(shù)的單調(diào)性，再得出時(shí)，a的值，從而分兩種情況，分別由解得可得a的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，解得（舍去），（1）當(dāng)，解得；（2）當(dāng)，不符題意.故答案為：.【題型十】指數(shù)對(duì)勾型【典例分析】1.（2023·浙江衢州·高三模擬）已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則．【答案】2【分析】先判斷函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，從而可得函數(shù)的零點(diǎn)只能為，從而可求得，再利用定義法得出在上的單調(diào)性，從而可得出結(jié)論.【詳解】，因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱，要使函數(shù)有唯一零點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)只能為，，所以，此時(shí)，令，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，所以，即，所以函數(shù)在上遞增，又在上遞增，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，又，故可知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，符合題意，所以.故答案為：.2.（2022秋·河南南陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）若，則的解集是.【答案】【分析】根據(jù)題意求得為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，結(jié)合，把不等式轉(zhuǎn)化為，得到，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，所以不等式等價(jià)于，則滿足，解得，即不等式的解集為.故答案為：.【提分秘籍】指數(shù)對(duì)勾型：【變式演練】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為．【答案】【分析】首先證明，則，解得，再代回原函數(shù)證明函數(shù)只有唯一零點(diǎn)即可.【詳解】，，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則只能是，即，解得，此時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),當(dāng)時(shí),，又，，當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).故答案為：.2.（2023春·江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是.【答案】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以函?shù)的定義域?yàn)榍?，又，∴為偶函?shù).當(dāng)時(shí)，令，∵，∴在上是增函數(shù)，易知函數(shù)在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù).又為偶函數(shù)，∴，∴由，得，解得，故答案為：.3.（2019秋·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集是.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)解析式的特征可得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由上述兩個(gè)性質(zhì)可去掉對(duì)應(yīng)法則得到關(guān)于的不等式，解這個(gè)不等式可得所求的解集.【詳解】，令，則，所以即為上的增函數(shù)，而，所以當(dāng)時(shí)，，故為上的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故為上的增函數(shù)；又，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.因?yàn)椋?，解?故答案為：.【題型十一】指數(shù)雙刀函數(shù)型【典例分析】1.（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】首先判斷的奇偶性，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，即可得到的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)椋x域?yàn)?，由，可知函?shù)為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，又由，令，由可知函數(shù)為奇函數(shù)，又由，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），可得函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，由一次函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增且函數(shù)值恒為正，可知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，又由函數(shù)為偶函數(shù)，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，不等式可化為，必有，平方后整理為，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：2.（2022北京·高三強(qiáng)基計(jì)劃）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)m滿足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】，故為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，均為增函數(shù)，且函數(shù)值非負(fù)，故在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，從而題中不等式等價(jià)于故答案為：提分秘籍】指數(shù)雙刀函數(shù)：圖像如圖：a>10<a<1【變式演練】1.（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可構(gòu)造方程求得的值，求導(dǎo)后，代入即可求得結(jié)果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù)，，即，恒成立，，解得，，，.故答案為：.2.（2023春·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為．【答案】【分析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)是奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，利用函數(shù)單調(diào)性可知等價(jià)于，解出不等式即可求得實(shí)數(shù)t的取值范圍.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)．又恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；不等式等價(jià)于，所以，即，解得．所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為．故答案為：3..（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是．【答案】.【分析】令得，令并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、奇偶性定義判斷奇偶性，再將題設(shè)不等式化為，結(jié)合單調(diào)性、奇偶性求參數(shù)范圍即可.【詳解】令，則，若，所以，則，所以在R上單調(diào)遞增，又，故為奇函數(shù)，而等價(jià)于，所以，故，可得.故答案為：【題型十二】指數(shù)型“反比例函數(shù)”【典例分析】1.（2022秋·浙江溫州·高三校聯(lián)考）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值【答案】A【分析】先求出函數(shù)并得到在R上遞增，再結(jié)合的性質(zhì)求解．【詳解】解：為奇函數(shù)，，，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增．為了解決問(wèn)題我們先研究對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，，令且，，∴在上單調(diào)遞增．若恒成立，則等價(jià)成，即①，令，①化為，令，由上面的討論知，在上單調(diào)遞增，，，∴，∴a的最大值為．故選：A．2..（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡梅溪湖中學(xué)?？迹┤簟昂瘮?shù)是奇函數(shù)”是真命題，則a的值是.【答案】【分析】由已知求出函數(shù)的定義域，.然后根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)系式，即可得出答案.【詳解】由已知可得，的定義域?yàn)镽，且.因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以有成立，即，即.因?yàn)?，所以有，所?故答案為：.【提分秘籍】【變式演練】1.（2023·遼寧大連·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，在時(shí)恒成立，則θ的取值范圍是．【答案】【分析】先利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷是單調(diào)遞減函數(shù)且，則題意可轉(zhuǎn)化成，在時(shí)恒成立，設(shè)，對(duì)稱軸為，分兩種情況即可求解.【詳解】因?yàn)椋驗(yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，且，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)可得是單調(diào)遞減函數(shù)，而，所以，在時(shí)恒成立可轉(zhuǎn)化成，在時(shí)恒成立，可整理得，在時(shí)恒成立，設(shè)當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，此時(shí)，當(dāng)t>0，恒成立，滿足題意，所以由可得，所以，，解得，，因?yàn)?，所以；?dāng)，的對(duì)稱軸為，則，解得，所以或，，所以或，，因?yàn)椋曰?，綜上所述，θ的取值范圍是.故答案為：2.（2023春·江蘇常州·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，則不等式的解集為.【答案】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，判斷其奇偶性，并求導(dǎo)判斷單調(diào)性，代入可求解集.【詳解】為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，，，，，則.故答案為：.3.（2020·江蘇宿遷·江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)，對(duì)于，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】需先求函數(shù)的值域，再分兩步對(duì)所要求的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．要使對(duì)于，時(shí)成立，只要，而且，以及對(duì)任意恒成立.【詳解】，由，得，，即的值域是，．①對(duì)于，，使得，轉(zhuǎn)化為只要，，；對(duì)于，，，轉(zhuǎn)化為只要，，解不等式組，得或；②由對(duì)于恒成立，，，，解得：或；故的取值范圍是.故答案為：.【題型十三】抽象函數(shù)賦值型【典例分析】1.（福建省福州市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）若對(duì)，有，函數(shù)在區(qū)間上存在最大值和最小值，則其最大值與最小值的和為（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】利用已知條件可得，則為奇函數(shù)，構(gòu)造即可知為奇函數(shù)，又由上存在最大、最小值，易知最小、最大值的和為0，即可求最大、最小值的和.【詳解】由題設(shè)，且，∴，則，∴為奇函數(shù)，令，∴，即是奇函數(shù)，∴在上的最小、最大值的和為0，即，∴.故選：B2.（2023春·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級(jí)中學(xué)校）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【分析】依題意令得到，再以代換，即可得到，從而得到，即可得到，從而求出函數(shù)的周期，再求出、、、、的值，根據(jù)周期性計(jì)算可得.【詳解】解：由，令得①，以代換得②，由①②可得，，即，所以，故是的一個(gè)周期，令，得，，令，得，，，，，，，，.故選：A．【提分秘籍】抽象函數(shù)的性質(zhì)研究：①賦值法求特定元素的函數(shù)值；②利用已知抽象函數(shù)的等式性質(zhì)，證明函數(shù)的單調(diào)性；③利用單調(diào)性解不等式式.【變式演練】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足：，則.【答案】【分析】由已知等式聯(lián)想到三角公式，構(gòu)造函數(shù)求解.【詳解】由已知等式聯(lián)想到三角公式，注意它們結(jié)構(gòu)相似，通過(guò)嘗試和調(diào)整，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)滿足題意，而函數(shù)是周期的函數(shù)，.故答案為：.2.（2023春·河北石家莊·高三石家莊一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，都有．若當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為．【答案】【分析】由題知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，且，，，，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為解即可得答案.【詳解】解：設(shè)，且，則因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)閷?duì)任意，都有．所以，，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椴坏仁降葍r(jià)于不等式，即，因?yàn)閷?duì)任意，都有，，所以，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得所以，所以，，，，，所以，當(dāng)時(shí)，的解集為，當(dāng)時(shí)，的解集為，所以，的解集為，所以，不等式的解集為故答案為：3.（2022秋·湖北武漢·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，恒有，且，則不等式的解集是.【答案】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用賦值法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】，，，則不等式等價(jià)為，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，不等式等價(jià)為，即，解得，不等式的解集為，故答案為：.高考真題對(duì)點(diǎn)練一、單選題1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)?，而，所以，即由二次函?shù)性質(zhì)知，因?yàn)?，而，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.2．（山東·高考真題）函數(shù)的反函數(shù)圖象大致是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】先求已知函數(shù)的反函數(shù)，再結(jié)合反比例函數(shù)的圖象及圖象變換性質(zhì)判斷其圖象.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以函?shù)的反函數(shù)為，函數(shù)的圖象可由反比例函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得到，從選項(xiàng)得知B滿足，故選：B.3．（遼寧·高考真題）將函數(shù)的圖像按向量平移得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題由函數(shù)的圖像得到函數(shù)的圖像，需將函數(shù)的圖像向左平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；故．【詳解】設(shè)，則函數(shù)的圖像按向量平移后所得圖像的解析式為，，故選：A．4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的圖像為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，函?shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D.5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問(wèn)題具體化，簡(jiǎn)化推理過(guò)程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.6．（·浙江·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先計(jì)算，再計(jì)算可得．【詳解】由得.由得.故選：B．7．（全國(guó)·高考真題），若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由奇偶性定義確定函數(shù)的奇偶性，然后由奇偶性求值．【詳解】函數(shù)定義域是，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以．故選：B．8．（江蘇·高考真題）設(shè)是奇函數(shù)，則使f(x)<0的x的取值范圍是()．A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)【答案】A【詳解】試題分析：由為奇函數(shù)，則，可得，即，又，即，可變?yōu)椋獾茫键c(diǎn)：函數(shù)的奇偶性，對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，分式不等式．9．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù),則（

）A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域?yàn)?，利用定義可得出函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋潢P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而，所以函數(shù)為奇函數(shù)．又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.【詳解】由得定義域?yàn)椋P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.二、填空題11．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)．①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù)．【答案】（答案不唯一，均滿足）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取，則，滿足①，，時(shí)有，滿足②，的定義域?yàn)?，又，故是奇函?shù)，滿足③.故答案為：（答案不唯一，均滿足）12．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則.【答案】1【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，時(shí)，整理得到，故，故答案為：1最新?？颊骖}一、單選題1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）記，若（且），則稱是的n次迭代函數(shù)．若，則（

）A． B． C．2022 D．2023【答案】B【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式迭代可得，由此可得，進(jìn)而可得，將代入計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，，即，則，，，故有，所以，故.故選：B．【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確理解題干給出的“n次迭代函數(shù)”的概念并正確應(yīng)用，是解決本題的關(guān)鍵.2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)是偶函數(shù)D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】D【分析】根據(jù)題意，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性性質(zhì)判斷A，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合零點(diǎn)定義判斷B，舉反例判斷C，證明，由此可得函數(shù)的對(duì)稱性，判斷D，綜合可得答案．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于A，函數(shù)，函數(shù)在R上為增函數(shù)，易得在R上為增函數(shù)，則有，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，有，則有，所以沒(méi)有零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以，不是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以所以，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，D正確；故選：D．3．（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)滿足、，都有，且，則（

）A． B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞減C． D．【答案】BCD【分析】令，推導(dǎo)出，令可判斷A選項(xiàng)；分析可知數(shù)列為等比數(shù)列，求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷B選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷C選項(xiàng)；利用錯(cuò)位相減法可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)滿足、，都有，令，則，即，則，所以，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，令，，可得，所以，，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，所以，，即，故數(shù)列單調(diào)遞減，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意的，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，令，①則，②①②可得，因此，，D對(duì).故選：BCD.4．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．4 D．1【答案】A【分析】由函數(shù)解析式推導(dǎo)出函數(shù)的對(duì)稱性，然后結(jié)合只有唯一的零點(diǎn)求出參數(shù)的值.【詳解】由，得，即函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，要使函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，則，即，得．故選：A．5．（2023·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，這是函數(shù)的部分圖象，則它的解析式可能是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】觀察函數(shù)的圖象可得函數(shù)是奇函數(shù)，由此排除AB；再由函數(shù)單調(diào)性定義推理并排除C作答.【詳解】觀察函數(shù)的圖象知，函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，而函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，則與是非奇非偶函數(shù)，AB不可能；對(duì)于C，是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)與都是增函數(shù)，任取，，因此，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，C不可能；對(duì)于D，是奇函數(shù)，當(dāng)且無(wú)限增大時(shí)，的值無(wú)限趨近于，且趨近于無(wú)窮大，的值無(wú)限趨近于無(wú)窮大，但增大的速度遠(yuǎn)大于增大的速度，則無(wú)限趨近于0，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)D符合.故選：D6．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，由可得，利用恒成立，得，再根據(jù)可得.【詳解】的定義域?yàn)椋?，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，即，所以，綜上所述：.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：推出恒成立，得是解題關(guān)鍵.7．（2023·四川綿陽(yáng)·綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋叶加?，則下列說(shuō)法正確的命題是（

）①；②；③關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】利用特殊值法，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性進(jìn)行求解即可.【詳解】對(duì)于①，由于都有，所以令，則，即，因?yàn)椋?，所以①正確，對(duì)于②，令，則，所以，即，所以，所以②錯(cuò)誤，對(duì)于③，令，則，所以，即，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以③正確，對(duì)于④，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的周期?，在中，令，則，因?yàn)椋?，，所以，所以，所以④正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，利用函數(shù)的周期性是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.8．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)為，（其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)），則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)（

）①是非奇非偶函數(shù)函數(shù)；②；③；④.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】對(duì)于①,利用特殊值驗(yàn)證，可判斷；對(duì)于②，根據(jù)的含義，明確函數(shù)的解析式，進(jìn)而作出圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷；對(duì)于③，確定，求和，即可判斷；對(duì)于④，根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可判斷，由此可得答案.【詳解】對(duì)于①，函數(shù)，則，故且，即是非奇非偶函數(shù)函數(shù)，①正確；對(duì)于②，函數(shù)定義域?yàn)?，滿足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，，故當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，

由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，因?yàn)椋譂M足的整數(shù)有2024個(gè)，即，②正確；對(duì)于③，，所以，③正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，④正確，故選：D二、多選題9．（2023·湖南郴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由求得，即可判斷