計(jì)算機(jī)控制技術(shù)(第3版)課件第2章 計(jì)算機(jī)控制理論基礎(chǔ)

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)屬于閉環(huán)離散控制系統(tǒng)，它的輸出量與輸入量之間的關(guān)系可用差分方程來(lái)描述，用Z變換解差分方程，用脈沖傳遞函數(shù)對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)分析。本章將應(yīng)用離散系統(tǒng)理論來(lái)討論計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立方法及其模型之間的相互轉(zhuǎn)換，為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)擬定控制算法奠定必要的理論基礎(chǔ)。計(jì)算機(jī)只能接受和處理數(shù)字信號(hào)，其輸出也是數(shù)字量。因此，一方面從現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)的模擬信號(hào)必須通過(guò)采樣并進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換等量化處理變換為數(shù)字信號(hào)，才能輸入到計(jì)算機(jī)進(jìn)行控制運(yùn)算或其它處理；另一方面，計(jì)算機(jī)輸出的離散的數(shù)字信號(hào)也必須經(jīng)過(guò)D/A轉(zhuǎn)換再經(jīng)過(guò)保持器后才能形成連續(xù)模擬信號(hào)作用到被控對(duì)象。2.1信號(hào)的采樣與恢復(fù)典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)r*(t)r(kT)r(t)y(t)u(t)u*(t)u(kT)e(kT)A/D轉(zhuǎn)換器數(shù)字控制器(計(jì)算機(jī))D/A轉(zhuǎn)換器保持器被控對(duì)象采樣器A/D轉(zhuǎn)換器采樣器y(kT)y*(t)其中：r(t)為參考輸入連續(xù)模擬信號(hào)；r*(t)為r(t)的離散模擬信號(hào)；r(kT)為r(t)的數(shù)字信號(hào)；e(kT)=r(kT)-y(kT)為誤差數(shù)字信號(hào)；u(kT)為數(shù)字控制器輸出的數(shù)字信號(hào)；u*(t)為數(shù)字控制器輸出的離散模擬信號(hào)；u(t)為數(shù)字控制器輸出的連續(xù)模擬信號(hào)；y(t)為被控對(duì)象輸出的連續(xù)模擬信號(hào)；y*(t)為y(t)的離散模擬信號(hào)；y(kT)為y(t)的數(shù)字信號(hào)。為了對(duì)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)進(jìn)行方便的分析，可等價(jià)地表示為：e(t)e(kT)e*(t)u(kT)r(t)y(t)u(t)u*(t)A/D轉(zhuǎn)換器數(shù)字控制器(計(jì)算機(jī))D/A轉(zhuǎn)換器保持器被控對(duì)象采樣器其中，r(t)為參考輸入連續(xù)模擬信號(hào)，e(t)=r(t)-y(t)為連續(xù)模擬誤差信號(hào)，e*(t)為e(t)的離散模擬信號(hào)，e(kT)為e(t)的數(shù)字信號(hào)，u(kT)為數(shù)字控制器輸出的數(shù)字信號(hào)，u*(t)為數(shù)字控制器輸出的離散模擬信號(hào)，u(t)為數(shù)字控制器輸出的連續(xù)模擬信號(hào)，y(t)為被控對(duì)象輸出連續(xù)模擬信號(hào)。為了便于數(shù)學(xué)上分析和綜合，在分析和設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)時(shí)，常常假定A/D、D/A轉(zhuǎn)換器的精度足夠高，使得量化誤差可以忽略，于是A/D、D/A只存在物理上意義而無(wú)數(shù)學(xué)上意義。即：數(shù)字信號(hào)與采樣信號(hào)e(kT)與e*(t)，u(kT)與u*(t)是等價(jià)的。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：y(t)u(t)u(kT)u*(t)e*(t)e(t)e(kT)r(t)數(shù)字控制器(計(jì)算機(jī))保持器被控對(duì)象采樣器2.1.1信號(hào)的采樣過(guò)程采樣是將連續(xù)模擬信號(hào)按一定時(shí)間間隔抽樣成離散模擬信號(hào)的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)采樣的裝置叫采樣開(kāi)關(guān)或采樣器。

理想采樣開(kāi)關(guān)，具有瞬時(shí)閉合并斷開(kāi)的特性，即從斷開(kāi)到閉合再到斷開(kāi)的時(shí)間間隔為零。采樣開(kāi)關(guān)平時(shí)處于斷開(kāi)狀態(tài)，其輸入為連續(xù)模擬信號(hào)f(t)，在采樣時(shí)刻，采樣開(kāi)關(guān)瞬時(shí)閉合并斷開(kāi)，這樣在采樣開(kāi)關(guān)的輸出端就得到采樣信號(hào)f*(t)，即離散模擬信號(hào)。k=1,2,3,…tf(t)0t1

t2

t3

t4

t5…tf*(t)0t1

t2

t3

t4

t5…f*(t)f(t)(a)采樣開(kāi)關(guān)(b)連續(xù)模擬信號(hào)(c)采樣信號(hào)根據(jù)采樣過(guò)程的特點(diǎn)，可以將采樣分為以下幾種類(lèi)型。⑴周期采樣：是指相鄰兩次采樣的時(shí)間間隔相等，這里，相鄰兩次采樣之間的時(shí)間間隔稱(chēng)為采樣周期，記為T(mén)。⑵同步采樣：是指系統(tǒng)中的所有采樣開(kāi)關(guān)的采樣周期相同且同時(shí)采樣。⑶非同步采樣：是指系統(tǒng)中的所有采樣開(kāi)關(guān)的采樣周期相同，但不同時(shí)進(jìn)行采樣。⑷多速采樣：是指系統(tǒng)中每個(gè)采樣開(kāi)關(guān)都是周期采樣的，但采樣周期不同。⑸隨機(jī)采樣：是指系統(tǒng)中采樣開(kāi)關(guān)相鄰兩次采樣的時(shí)間間隔不相等。在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，最常用的采樣方法是同步周期采樣。假定f(t)為被采樣的連續(xù)模擬信號(hào)，f*(t)是采樣信號(hào)，采樣開(kāi)關(guān)的采樣周期為T(mén)，則采樣信號(hào)f*(t)就是f(t)在開(kāi)關(guān)合上瞬時(shí)的值，即脈沖序列f(0)，f(T)，f(2T)，…，f(kT)，…。為了對(duì)采樣系統(tǒng)分析的方便，其采樣過(guò)程可以用

函數(shù)（單位脈沖函數(shù)）來(lái)描述，

函數(shù)具有如下性質(zhì)：

且根據(jù)

函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)任意的連續(xù)函數(shù)f(t)和采樣周期T以及任意整數(shù)k，則有:為了方便分析和應(yīng)用，可以把

函數(shù)表示為：對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0，故有采樣后的脈沖序列f*(t)可以表示成：2.1.2采樣定理在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，用離散信號(hào)序列來(lái)代表原來(lái)的連續(xù)信號(hào)來(lái)參與控制運(yùn)算，顯然，所用的離散信號(hào)序列是對(duì)原來(lái)的連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣得到的，這就要求離散信號(hào)序列能夠表達(dá)原來(lái)連續(xù)信號(hào)的基本特征，這種參與才是合理有效的。如何對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行采樣，使得采樣后的離散信號(hào)無(wú)失真地恢復(fù)原連續(xù)信號(hào)。例如：有兩個(gè)不同的連續(xù)信號(hào)f1(t)和f2(t)，假設(shè)選擇采樣周期都為T(mén)，得到的結(jié)果是f1(t)和f2(t)具有相同的采樣信號(hào)f*(t)，從圖中可以大致看出：f*(t)可以完全反映或近似地反映連續(xù)信號(hào)f1(t)，但未必能未必能完全反映或近似的反映連續(xù)信號(hào)f2(t)。f2(t)tf(t)f*(t)f1(t)0T2T3T4T…采樣是從連續(xù)信號(hào)抽取離散時(shí)間序列的過(guò)程，采樣時(shí)刻之間的信號(hào)被放棄，這些信號(hào)所攜帶的信息必然會(huì)有所丟失，這個(gè)問(wèn)題和采樣周期的選取是密切相關(guān)的。

若采樣周朝選擇過(guò)大，被放棄的信號(hào)相對(duì)較少多，損失的信息過(guò)多，則采樣信號(hào)含有的原來(lái)連續(xù)信號(hào)的信息量過(guò)少，采樣信號(hào)包含的信息量明顯地少于原信號(hào)信息量，故無(wú)法用采樣信號(hào)復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)；

若采樣周期選擇足夠小，被放棄的信號(hào)相對(duì)較少，丟失的信息也少，損失的信息量不會(huì)影響原信息的完整性，可以用采樣信號(hào)復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)。如何選擇采樣周期才能使離散信號(hào)f*(t)無(wú)失真地復(fù)現(xiàn)連續(xù)信號(hào)f(t)，采樣定理定量地描述了在什么條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)可由它的采樣信號(hào)唯一確定。采樣定理，又稱(chēng)香農(nóng)(Shannon)采樣定理或奈奎斯特(Nyquist)采樣定理。1．采樣定理一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t)，設(shè)其頻帶寬度是有限的，其最高頻率為ωmax(或fmax)，如果在等間隔點(diǎn)上對(duì)該信號(hào)f(t)進(jìn)行連續(xù)采樣，為了使采樣后的離散信號(hào)f*(t)能包含原信號(hào)f(t)的全部信息量。則采樣角頻率只有滿(mǎn)足下面的關(guān)系：ωs≥2ωmax采樣后的離散信號(hào)f*(t)才能夠無(wú)失真地復(fù)現(xiàn)f(t)，否則不能從f*(t)中恢復(fù)f(t)。其中，ωmax是最高角頻率，ωs是采樣角頻率。它與采樣頻率fs、采樣周期T的關(guān)系為：2．采樣周期T的選擇方法被控物理量采樣周期T備注流量1～5(s)優(yōu)先選用2s壓力3～10(s)優(yōu)先選用8s液面6～8(s)優(yōu)先選用7s溫度15～20(s)優(yōu)先選用純滯后時(shí)間成份15～20(s)優(yōu)先選用18s位置10～50(ms)優(yōu)先選用30ms常見(jiàn)被控對(duì)象采樣周期參考在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中的執(zhí)行機(jī)構(gòu)和控制對(duì)象的輸入信號(hào)一般為連續(xù)信號(hào)，這就必須將計(jì)算機(jī)輸出的數(shù)字信號(hào)序列還原成連續(xù)信號(hào)，這就是信號(hào)的恢復(fù)過(guò)程。由于采樣信號(hào)在兩個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)刻上才有值，而在兩個(gè)采樣點(diǎn)之間無(wú)值，為了使得兩個(gè)采樣點(diǎn)之間為連續(xù)信號(hào)過(guò)渡，以前一時(shí)刻的采樣值為參考基值作外推，使得兩個(gè)采樣點(diǎn)之間的值不為零值，這樣來(lái)近似連續(xù)信號(hào)。將數(shù)字信號(hào)序列恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)的裝置叫采樣保持器。2.1.3信息的恢復(fù)過(guò)程和零階保持器

已知某一采樣點(diǎn)的采樣值為f(kT)，將其連續(xù)信號(hào)f(t)在該點(diǎn)鄰域展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)為：外推的項(xiàng)數(shù)稱(chēng)為保持器的階數(shù)。取等式右端第一項(xiàng)近似，有f(t)≈f(kT)kT≤t＜(k+1)T稱(chēng)零階保持器，簡(jiǎn)稱(chēng)ZOH。在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，最廣泛采用的一類(lèi)保持器是零階保持器。零階保持器將前一個(gè)采樣時(shí)刻kT的采樣值f(kT)恒定地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻(k+1)T到來(lái)之前，也就是說(shuō)在區(qū)間[kT,(k+1)T]內(nèi)零價(jià)保持器的輸出為常數(shù)，0T2T3T4T5T…f*(t)tf(t)0T2T3T4T5T…f(t)t可以認(rèn)為零階保持器在

(t)作用下的脈沖響應(yīng)h(t)，而h(t)又可以看成單位階躍函數(shù)1(t)與1(t-T)的迭加：h(t)=1(t)-1(t-T)。1h(t)0

T

t取拉氏變換，得零階保持器的傳遞函數(shù)：2.2Z變換Z變換的思想來(lái)源于連續(xù)系統(tǒng)，線(xiàn)性連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)性能，可以用拉氏變換的方法進(jìn)行分析，與此相似，線(xiàn)性離散系統(tǒng)的性能可以采用Z變換的方法來(lái)獲得。Z變換是從拉氏變換直接引伸出來(lái)的一種變換方法，它實(shí)際上是采樣函數(shù)拉氏變換的變形。因此，Z變換又稱(chēng)采樣拉氏變換，是研究離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。2.2.1Z變換的定義已知連續(xù)信號(hào)f(t)經(jīng)過(guò)來(lái)樣周期為T(mén)的采樣開(kāi)關(guān)后，變成離散的脈沖序列函數(shù)f*(t)即采樣信號(hào)。對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，則根據(jù)廣義脈沖函數(shù)的性質(zhì)，可得：上式中，F(xiàn)*(s)是離散時(shí)間函數(shù)f*(t)的拉氏變換，因復(fù)變量s含在指數(shù)e-kTs中是超越函數(shù)不便于計(jì)算，故引一個(gè)新變量z=eTs，并將F*(s)記為F(z)則式中F(z)就稱(chēng)為離散函數(shù)f*(t)的Z變換。在Z變換的過(guò)程中，由于僅僅考慮的是f(t)在采樣瞬間的狀態(tài)，所以上式只能表征連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)在采樣時(shí)刻上的特性，而不能反映兩個(gè)采樣時(shí)刻之間的特性，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)與相應(yīng)的離散時(shí)間函數(shù)f*(t)具有相同的Z變換。即求取離散時(shí)間函數(shù)的Z變換有多種方法，常用的有兩種。1．級(jí)數(shù)求和法將離散時(shí)間函數(shù)寫(xiě)成展開(kāi)式的形式對(duì)上式取拉氏變換，得顯然，只要知道

在各個(gè)采樣時(shí)刻kT上的采樣值

，就可以得出的Z變換級(jí)數(shù)展開(kāi)式。例2.1求函數(shù)（a為常數(shù)）的Z變換。解：根據(jù)Z變換定義有2．部分分式法

在實(shí)際應(yīng)用中，常常會(huì)遇到由已知連續(xù)信號(hào)的拉氏變換求對(duì)應(yīng)離散信號(hào)的Z變換的情況，部分分式法是解決這類(lèi)問(wèn)題的方法之一。設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)為有理函數(shù)，將F(s)展開(kāi)成部分分式的形式為式中，si、ai為常數(shù)。因此，連續(xù)函數(shù)f(t)的Z變換可以由有理函數(shù)F(s)求出例2.2已知（a為常數(shù)），求F(z)。解：將F(s)寫(xiě)成部分分式之和的形式得到，則3．留數(shù)計(jì)算法用留數(shù)法求取Z變換，對(duì)有理函數(shù)和無(wú)理函數(shù)都有效。已知連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換F(s)以及全部極點(diǎn)si（i=1,2,3,…,n），則f(t)的Z變換為當(dāng)si是F(s)的單極點(diǎn)時(shí)，則當(dāng)si是F(s)的m階重極點(diǎn)時(shí)，則例2.3已知，用留數(shù)法求F(z)。解：由已知得到s1=-1，s2=-2，n=2，m=2，則1．單位脈沖信號(hào)2．單位階躍信號(hào)2.2.2常用信號(hào)的Z變換3．單位速度信號(hào)f(t)=t4．正弦信號(hào)f(t)=sinωt這里5．指數(shù)信號(hào)f(t)=e-at2.2.3Z變換的基本定理1．線(xiàn)性定理

設(shè)a、a1、a2為任意常數(shù)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)、f1(t)和f2(t)的Z變換分別為F(z)、F1(z)及F2(z)，則有證明：2．滯后定理設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)在t<0時(shí)，f(t)=0，且f(t)的Z變換為F(z)，則有證明：

滯后定理表明，f(kT-nT)相對(duì)時(shí)間起點(diǎn)延遲了n個(gè)采樣周期，這就說(shuō)明F(z)經(jīng)過(guò)一個(gè)z-n的純滯后環(huán)節(jié)，相當(dāng)于其時(shí)間特性向后移動(dòng)n步。3．超前定理設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，則有證明：超前定理表明，f(kT+nT)相對(duì)時(shí)間起點(diǎn)超前了n個(gè)采樣周期出現(xiàn)，這就說(shuō)明F(z)經(jīng)過(guò)一個(gè)zn的純超前環(huán)節(jié)，相當(dāng)于其時(shí)間特性向前移動(dòng)n步。4．初值定理設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，且極限存在，則有證明：當(dāng)z→∞時(shí)有：5．終值定理設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，而(1-z-1)F(z)在Z平面的單位圓上或單位圓外沒(méi)有極點(diǎn)，則有證明：終值定理成立的條件是，F(xiàn)(z)全部極點(diǎn)均在Z平面的單位圓內(nèi)或最多有一個(gè)極點(diǎn)在z=1處，也就是說(shuō)(1-z-1)F(z)在Z平面的單位圓上或單位圓外沒(méi)有極點(diǎn)，否則求得的終值是錯(cuò)誤的。6．卷積定理設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)和g(t)在t＜0時(shí)，有f(t)=0和g(t)=0，且f(t)和g(t)的Z變換分別為F(z)和G(z)，則對(duì)于離散系統(tǒng)有證明：根據(jù)離散卷積的定義或?qū)τ趯?shí)際的離散系統(tǒng)，當(dāng)k<0時(shí)，有f(kT)=0和g(kT)=0，則有所以7．求和定理設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)和g(t)的Z變換分別為F(z)及G(z)，若有則證明：由于兩式相減得對(duì)于實(shí)際離散系統(tǒng)當(dāng)k<0時(shí)，有g(shù)(kT)=0，將上式兩邊取Z變換得因此8．位移定理設(shè)a為任意常數(shù)，連續(xù)函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，則有證明：9．微分定理設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的Z變換為F(z)，則有證明：由Z變換定義對(duì)上式兩邊求導(dǎo)可得因此2.2.4Z反變換

所謂Z反變換，是已知Z變換表達(dá)式F(z)，求相應(yīng)離散序列f(kT)或f*(t)的過(guò)程，表示為

Z變換只是建立了f*(t)或f(kT)與F(z)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由F(z)經(jīng)Z反變換所得到的f*(t)或f(kT)是惟一的。F(z)經(jīng)Z反變換所得到的f*(t)只是在采樣時(shí)刻kT與f(t)在該時(shí)刻的值f(kT)相等，除此以外，f(t)在其它時(shí)刻的值可以任意。不同的f(t)可以有相同的采樣函數(shù)f*(t)，從而可以有相同的Z變換F(z)。因此，F(xiàn)(z)不可能與f(t)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。1．長(zhǎng)除法設(shè)F(z)的表達(dá)式是關(guān)于z的有理分式式中，m≤n，ai(i=1,2,…,n)和bj(j=1,2,…,m)均為實(shí)常數(shù)用長(zhǎng)除法展開(kāi)得由Z變換定義：比較兩式得因此Z反變換主要有三種方法，即長(zhǎng)除法、部分分式法和留數(shù)計(jì)算法。

2．部分分式法又稱(chēng)查表法，設(shè)F(z)的表達(dá)式是關(guān)于z的有理分式式中，m≤n，ai(i=1,2,…,n)和bj(j=1,2,…,m)均為實(shí)常數(shù)。設(shè)F(z)的極點(diǎn)為z1，z1，…，zn，且無(wú)重極點(diǎn)，將F(z)展開(kāi)成如下分式之和：逐項(xiàng)查Z變換表，得到各個(gè)分項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列則F(z)對(duì)應(yīng)的采樣函數(shù)為：3．留數(shù)法

設(shè)已知Z變換函數(shù)F(z)，則可證明，F(xiàn)(z)的Z反變換f(kT)值，可由下式計(jì)算根據(jù)柯西留數(shù)定理，上式可以表示為n表示極點(diǎn)個(gè)數(shù)，pi表示第i個(gè)極點(diǎn)。即f(kT)等于F(z)zk-1的全部極點(diǎn)的留數(shù)之和。2.3線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的差分方程及其解對(duì)于單輸入、單輸出的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，設(shè)在某一采樣時(shí)刻的輸出為y(kT)，輸入為u(kT)，為了書(shū)寫(xiě)方便，用y(k)表示y(kT)，用u(k)表示u(kT)。

在某一采樣時(shí)刻的輸出值y(k)不但與該時(shí)刻的輸入u(k)及該時(shí)刻以前的輸入值u(k-1)，u(k-2)，…，u(k-m)有關(guān)，且與該時(shí)刻以前的輸出值y(k-1)，y(k-2)，…，y(k-n)有關(guān)，即：或上式稱(chēng)為n階線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的差分方程，其中ai、bi由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，它是描述計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式，對(duì)于實(shí)際的應(yīng)用系統(tǒng)，根據(jù)物理可實(shí)現(xiàn)條件，應(yīng)有k≥0。當(dāng)k＜0時(shí)，y(k)=u(k)=0。用Z變換解常系數(shù)線(xiàn)性差分方程和用拉氏變換解微分方程是類(lèi)似的。先將差分方程變換為以z為變量的代數(shù)方程，最后用查表法或其它方法，求出Z反變換。

若當(dāng)k＜0時(shí)，f(k)=0，設(shè)f(k)的Z變換為F(z)，根據(jù)滯后定理關(guān)系可推導(dǎo)出上式可表示為則取Z反變換得例

若某二階離散系統(tǒng)的差分方程為：設(shè)輸入為單位階躍序列，求y(k)。解：對(duì)差分方程求Z變換得取Z反變換得2.4Z傳遞函數(shù)設(shè)n階定常離散系統(tǒng)的差分方程為：在零初始條件下，取Z變換令則G(z)就稱(chēng)為線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)。即：在零初始條件下離散系統(tǒng)的輸出與輸入序列的Z變換之比。

如果已知U(z)和G(z)，則在零初始條件下離散系統(tǒng)的輸出采樣信號(hào)為

因此，求解y*(t)的問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為求系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)，這表明Z傳遞函數(shù)G(z)可以表征線(xiàn)性離散系統(tǒng)的性能。1．Z傳遞函數(shù)求法如果某一個(gè)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為已知時(shí)，那么該系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的Z傳遞函數(shù)可依據(jù)下列步驟求得：(1)用拉氏反變換求脈沖過(guò)渡函數(shù)g(t)=L-1[G(s)](2)將g(t)按采樣周期T離散化，得g(kT)(3)應(yīng)用定義求出Z傳遞函數(shù)，即為了討論方便，將上述過(guò)程簡(jiǎn)記為例：已知，求G(z)。解：式中e-Ts相當(dāng)于將采樣延遲了T時(shí)間。根據(jù)Z變換的線(xiàn)性定理和滯后定理，再通過(guò)查表，可得上式對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)為2．環(huán)節(jié)連接的等效變換（1）串聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)如果兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)存在，即串聯(lián)環(huán)節(jié)之間的信號(hào)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，如圖所示。U(s)T

U(z)Y1(s)G1(s)Y(s)Y(z)G2(s)G(z)兩個(gè)環(huán)節(jié)之間的信號(hào)傳遞是一個(gè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)，即

符號(hào)G1G2(z)是Z[G1(s)G2(s)]的縮寫(xiě)，它表示先將串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)G1(s)與G2(s)相乘后，再求Z變換的過(guò)程。上式對(duì)應(yīng)的Z傳遞函數(shù)為：如果兩個(gè)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開(kāi)關(guān)存在，如圖所示。Y(s)U(s)T

U(z)G1(s)T

Y1(z)G2(s)Y(z)G(z)可由Z傳遞函數(shù)約定義直接求出串聯(lián)環(huán)節(jié)總的Z傳遞函數(shù)為結(jié)論：

如果各串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開(kāi)關(guān)，總的Z傳遞函數(shù)等于各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之積，即

如果在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)，需要將這些串聯(lián)環(huán)節(jié)看成一個(gè)整體，先求出其傳遞函數(shù)G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)，然后再根據(jù)G(s)求G(z)。一般表示成（2）并聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)輸入采樣開(kāi)關(guān)設(shè)在總的輸入端，其效果相當(dāng)于在每一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入端分別設(shè)置一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，如圖所示。Y2(s)G1(s)Y(s)TU(s)Y1(s)Y(z)(b)采樣開(kāi)關(guān)在總輸入端G2(s)TG1(s)TU(s)Y1(s)(a)采樣開(kāi)關(guān)在各個(gè)環(huán)節(jié)輸入端G2(s)Y2(s)Y(s)Y(z)從圖中可知，總的Z傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之和，即上述關(guān)系可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)，在總的輸出端與輸入端分別設(shè)有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)的情況。總的Z傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之和，即3．閉環(huán)Z傳遞函數(shù)、閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)和開(kāi)環(huán)Z傳遞函數(shù)典型的離散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。R(z)B(z)TTu*(t)e*(t)y(t)r(t)e(t)U(z)E(z)D(z)ZOHG0(s)Y(z)G(s)H(s)

其中D(z)為數(shù)字控制器，H(s)為反饋部分的傳遞函數(shù)，ZOH為零階保持器，G0(s)為被控對(duì)象的傳遞函數(shù)，這里

設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號(hào)y(t)的Z變換為Y(z