人教版數(shù)學(xué)八年級上冊 11.1 與三角形有關(guān)的線段

第十一章三角形11.1與三角形有關(guān)的線段11.1.1三角形的邊——三角形的有關(guān)概念、分類及三邊關(guān)系一、新課導(dǎo)入1.導(dǎo)入課題：三角形是我們早已熟悉的圖形，你能列舉出日常生活中形如三角形的物體嗎？對于三角形，你了解了哪些方面的知識？你能畫一個三角形嗎？2.學(xué)習(xí)目標：（1）記住三角形的有關(guān)概念.（2）會用符號表示三角形，會對三角形進行分類.（3）能說出三角形的三邊關(guān)系，并能運用三角形三邊關(guān)系解決相關(guān)問題.3.學(xué)習(xí)重、難點：重點：三角形及其有關(guān)的概念；三角形的分類.難點：三角形三邊關(guān)系及應(yīng)用.二、分層學(xué)習(xí)1.自學(xué)指導(dǎo)：（1）自學(xué)內(nèi)容：教材第2頁到“思考”前的內(nèi)容.（2）自學(xué)時間：5分鐘.（3）自學(xué)要求：認真閱讀課本的內(nèi)容，劃出你認為是重點的語句.（4）自學(xué)參考提綱：①什么樣的圖形叫三角形？由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.②對照右邊的圖形，指出三角形的邊、角、頂點.線段AB、BC、CA是三角形的邊，點A、B、C是三角形的頂點，∠A,∠B,∠C是三角形的角.③三角形的邊有幾種表示方法？對照右邊的圖形寫出來.除了②中的表示方法，還可以用a，b，c表示.④用符號語言表述右圖的三角形記作：△ABC，讀作：三角形ABC.⑤什么是等腰三角形、等邊三角形？等腰三角形與等邊三角形之間有什么關(guān)系？有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形;三邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.⑥等邊三角形是特殊的等腰三角形，用圖示的方法表示它們之間的包容關(guān)系.2.自學(xué)：同學(xué)們可結(jié)合自學(xué)指導(dǎo)進行自學(xué).3.助學(xué)：（1）師助生：①明了學(xué)情：三角形的知識在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過，本節(jié)知識是對三角形知識的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，而本層次主要是學(xué)習(xí)三角形的相關(guān)概念及兩種特殊三角形的概念，學(xué)生能很快接受.②差異指導(dǎo)：a.引導(dǎo)學(xué)生理解三角形的概念中“首尾順次相接”的意思;b.讓學(xué)生認識到三角形的表示方法不是單一的.（2）生助生：學(xué)生圍繞各自的學(xué)習(xí)疑點進行互助交流.4.強化：（1）三角形的有關(guān)概念及等腰三角形的意義.（2）練習(xí)：如圖，共有6個三角形，其中以AC為邊的三角形是△ABC,△AEC,△ADC；以∠B為內(nèi)角的三角形有ABC,△DBC,△EBC.1.自學(xué)指導(dǎo)：（1）自學(xué)內(nèi)容：教材第2頁“思考”到第3頁“探究”之前的內(nèi)容.（2）自學(xué)時間：5分鐘.（3）自學(xué)方法：思考三角形的分類方法.（4）自學(xué)參考提綱：①想一想：研究三角形，我們應(yīng)該從哪些方面著手？可以從角和邊這兩個方面著手.②試一試：按角分，可以將三角形分為哪幾類？按邊分，可以將三角形分為哪幾類？按角分，可以分為三類：銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形；按邊分可以分為兩類：三邊都相等的三角形，等腰三角形，而等腰三角形又包括底邊和腰不相等的等腰三角形和等邊三角形.③議一議：你能用圖示的方法表示三角形按邊分的情況嗎？2.自學(xué)：同學(xué)們可結(jié)合自學(xué)指導(dǎo)進行自學(xué).3.助學(xué)：（1）師助生：①明了學(xué)情：按角分類學(xué)生比較容易理解，按邊分類部分學(xué)生理解等邊三角形為什么放在等腰三角形中時可能會存在一定困難.②差異指導(dǎo)：教師對個別學(xué)困生進行點撥指導(dǎo).（2）生助生：學(xué)生之間相互討論交流三角形的分類標準是什么.4.強化：三角形的分類標準，按邊的分類.1.自學(xué)指導(dǎo)：（1）自學(xué)內(nèi)容：探究三角形三邊之間的關(guān)系.（2）自學(xué)時間：5分鐘.（3）自學(xué)方法：任意畫出一個三角形ABC，思考：從B點到C點有哪幾條路徑？并比較各路徑的長度.（4）探究提綱：①如圖，假設(shè)一只小蟲從點B出發(fā)，沿三角形的邊爬到點C，有兩條路線，路線B→C最近.根據(jù)是：兩點之間線段最短.于是得出結(jié)論三角形兩邊的和大于第三邊.②在三角形ABC中，可以得出：AB+BC>AC，AC+BC>AB，AB+AC>BC.③由②還可以得出：AC－AB＜BC；AB－AC＜BC；BC－AB＜AC.由此又可得出三角形的三邊關(guān)系的另一個結(jié)論是：三角形兩邊的差小于第三邊.④下列長度的三條線段能否構(gòu)成三角形，為什么？a.3、4、8b.5、6、11c.5、6、10a.不能，因為3+4<8；b.不能，因為5+6=11；c.能，因為5+6>10.⑤動手完成例題，看看你的方法和書上的方法一樣嗎？誰的更好？⑥思考例題（2）中為什么要分情況討論？2.自學(xué)：同學(xué)們可結(jié)合自學(xué)指導(dǎo)進行自學(xué).3.助學(xué)：（1）師助生：①明了學(xué)情：這節(jié)課中探討三邊之間的不等關(guān)系.三邊關(guān)系中“兩邊之和大于第三邊”，學(xué)生通過觀察能直接得出結(jié)論；“兩邊之差小于第三邊”的結(jié)論部分學(xué)生很難推導(dǎo).其次，例題的解法比較多，但是學(xué)生還不習(xí)慣用方程的知識解決幾何問題，因此，教師要了解學(xué)生的認知困難在哪里.②差異指導(dǎo)：a.引導(dǎo)學(xué)生先用觀察或測量的方法，歸納三邊之間的不等關(guān)系，形成系統(tǒng)的知識體系，教師講解推導(dǎo)過程.b.引導(dǎo)學(xué)生自己動手完成例題，然后說說書上這樣做的好處，讓學(xué)生形成用代數(shù)方程解決幾何問題的意識.（2）生助生：學(xué)生之間相互交流幫助.4.強化：（1）三角形三邊不等關(guān)系.（2）歸納例題的解題要領(lǐng).（3）練習(xí)：①一個等腰三角形的周長為24cm，只知其中一邊的長為7cm，則這個等腰三角形的腰長為7或8.5cm.②下列長度的線段不能組成三角形的是（A）A.3，8，4B.4，9，6C.15，20，8D.9，15，8三、評價1.學(xué)生自我評價（圍繞三維目標）：學(xué)生總結(jié)交流自己的學(xué)習(xí)收獲及存在的困惑.2.教師對學(xué)生的評價：（1）表現(xiàn)性評價：對學(xué)生在學(xué)習(xí)過程的態(tài)度、方法、成果和不足進行點評.（2）紙筆評價：課堂評價檢測.3.教師自我評價（教學(xué)反思）:教學(xué)過程中，強調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，經(jīng)歷觀察、猜想、實驗、數(shù)據(jù)處理、歸納、類比等思維過程，從中獲得數(shù)學(xué)知識與技能，體驗教學(xué)活動的方法，同時升華學(xué)生的情感、態(tài)度和價值觀.一、基礎(chǔ)鞏固（每題10分，共50分）1.下列說法：①等邊三角形是等腰三角形；②三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形；③三角形的兩邊之差大于第三邊；④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.其中正確的有（B）A.1個B.2個C.3個D.4個2.如圖，下列不等關(guān)系成立的是(C)A.PA+PD>AMB.PN+PD>ADC.PN+PM>MND.PA+PM>MN3.下列長度的線段能組成三角形的是（D）A.3cm，12cm，8cmB.6cm，8cm，15cmC.2cm，3cm，5cmD.6.3cm，6.3cm，12cm4.如圖，為估計池塘岸邊A，B的距離，小方在池塘的一側(cè)選取一點O，測得OA＝15米，OB＝10米，A，B間的距離不可能是（D）A.20米B.15米C.10米D.5米5.已知三角形的一邊長為5cm,另一邊長為3cm.則第三邊的長x的取值范圍是2cm<x<8cm.二、綜合應(yīng)用（第6題20分，第7題10分，共30分）6.已知等腰三角形的一邊長等于4，另一邊長等于9，求這個三角形的周長.解：如果該等腰三角形的腰長為4，三角形的三邊長分別為4，4，9.因為4+4<9,此時不能構(gòu)成三角形.如果該等腰三角形的腰長為9，三角形的三邊長分別為4，9，9，所以這個等腰三角形的周長為4+9+9=22.7.如圖△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC,則圖中有3個等腰三角形.三、拓展延伸（每題10分，共20分）8.等腰三角形的周長為20厘米.(1)若已知腰長是底長的2倍，求各邊的長；(2)若已知一邊長為6厘米，求其它兩邊的長.解：（1）設(shè)底邊長為x厘米，則腰長為2x厘米.x+2x+2x=20解得x=4.所以三邊長分別為4cm,8cm,8cm.（2）如果6厘米長的邊為底邊，設(shè)腰長為x厘米，則6+2x=20，解得x=7；如果6厘米長的邊為腰，設(shè)底邊長為x厘米，則2×6+x=20，解得x=8.由以上討論可知，其他兩邊的長分別為7厘米，7厘米或6厘米，8厘米.9.觀察下列圖形，完成后面的問題.（1）第十個圖形中共有55個陰影三角形.（2）用正整數(shù)n表示第n個圖形中陰影三角形的個數(shù).解：(n2+n)11.1.2三角形的高、中線與角平分線一、新課導(dǎo)入1.導(dǎo)入課題：在與三角形有關(guān)的線段中，除了它的三邊外，還有它的高、中線和角平分線，這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)三角形的高，中線和角平分線的意義、作法和發(fā)現(xiàn)的規(guī)律性結(jié)論.2.學(xué)習(xí)目標：(1)了解三角形的高、中線和角平分線的意義.(2)會畫出三角形的高、中線和角平分線.(3)結(jié)合圖形寫出三種線段分別得到的相應(yīng)結(jié)論.3.學(xué)習(xí)重、難點：重點：三角形的高、中線和角平分線的意義和畫法.難點：結(jié)合三角形高、中線和角平分線的定義探索相應(yīng)的規(guī)律結(jié)論.二、分層學(xué)習(xí)1.自學(xué)指導(dǎo)：（1）自學(xué)內(nèi)容：教材第4頁《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》的第1自然段.（2）自學(xué)時間：6分鐘.（3）自學(xué)要求：認真閱讀課本的內(nèi)容，劃出你認為是重點的語句.（4）自學(xué)參考提綱：①表述出什么是三角形的高？從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，所得線段叫做三角形的高.②如圖1，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC于點D（或∠ADB=∠ADC=90°）.反之，∵AD⊥BC于點D（或∠ADB=∠ADC=90°），∴AD是△ABC中BC邊上的高.③請畫出下列三角形三邊上的高，并說說你有什么發(fā)現(xiàn)？發(fā)現(xiàn)：三角形的高可以在三角形內(nèi)，也可以在三角形邊上，還可以在三角形外.2.自學(xué)：同學(xué)們可結(jié)合自學(xué)指導(dǎo)進行自學(xué).3.助學(xué)：(1)師助生：①明了學(xué)情：三角形的高，這部分知識實際上是探討線與線之間的位置關(guān)系，學(xué)生會作銳角三角形的高，但直角三角形、鈍角三角形三邊上的高線，學(xué)生容易混淆，所以應(yīng)跟蹤學(xué)情點撥引導(dǎo).②差異指導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生找準要作哪條邊上的高，及掌握直角三角板的兩條直角邊的用法.（2）生助生：學(xué)生互助交流不同類別三角形的高的畫法.4.強化：（1）強調(diào)三角形的高線是一條線段.（2）作三角形高的方法.（3）練習(xí)：如圖，寫出以AE為高的三角形.解：△ABE，△ABD,△ABC,△AED,△AEC,△ADC.1.自學(xué)指導(dǎo)：（1）自學(xué)內(nèi)容：教材第4頁《11.1.2三角形的高、中線與角平分線》的第2自然段到第5頁的第1自然段.（2）自學(xué)時間：6分鐘.（3）自學(xué)要求：認真閱讀課本的內(nèi)容，結(jié)合圖形劃出你認為是重點的語句及存有疑點之處.（4）自學(xué)參考提綱：①連接三角形一個頂點和它對邊中點的線段，叫做三角形的中線.②結(jié)合右圖填空：∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD=BC.∴S△ABD=S△ADC=S△ABC.反之：∵BD=DC，∴AD是△ABC的中線.③畫出下列三角形三邊的中線，說說你的發(fā)現(xiàn).發(fā)現(xiàn)：它們的中線都在三角形內(nèi)部且相交于一點.④要找到一塊質(zhì)地均勻的三角形鋼板的平衡點，你應(yīng)怎樣做？作它的三條中線，交點即為平衡點（即重心）.2.自學(xué)：同學(xué)們可結(jié)合自學(xué)指導(dǎo)進行自學(xué).3.助學(xué)：（1）師助生：①明了學(xué)情：重點了解學(xué)生對畫中線的基本步驟，及三條中線交于一點即重心的掌握.②差異指導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生尋找畫中線的方法：a.先要找準邊的中點；b.連接該中點與這邊所對的頂點的線段.（2）生助生：學(xué)生相互討論交流學(xué)習(xí)疑難點.4.強化:（1）強調(diào)三角形的中線是一條線段.（2）三角形的中線的概念和中線的畫法.（3）練習(xí)：如圖所示，AM是△ABC的中線，若△ABM的面積是20平方厘米，求△ABC的面積.S△ABC=2S△ABM=40平方厘米1.自學(xué)指導(dǎo)：（1）自學(xué)內(nèi)容：教材第5頁圖11.1-5到“練習(xí)”前的內(nèi)容.（2）自學(xué)時間：6分鐘.（3）自學(xué)要求：認真閱讀課本的內(nèi)容，結(jié)合圖形完成參考提綱.劃出你認為重點的語句和學(xué)習(xí)疑點.（4）自學(xué)參考提綱：①定義：三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與對邊上的交點之間的線段，叫做三角形的角平分線.②結(jié)合右圖填空：∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1=∠2=∠BAC.反之，∵∠1=∠2，∴AD是△ABC的角平分線.③如右圖，△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于O，∠A=70°，則∠BOC=125°.④畫出下列三角形的三條角平分線，你有什么發(fā)現(xiàn)？發(fā)現(xiàn)：三角形的角平分線都在三角形內(nèi)部且相交于一點.⑤你怎樣來區(qū)別三角形的高線、中線、角平分線？三角形的高線垂直于三角形的邊;三角形的中線平分三角形的邊；三角形的角平分線平分三角形的角.2.自學(xué):同學(xué)們可結(jié)合自學(xué)指導(dǎo)進行自學(xué).3.助學(xué):（1）師助生：①明了學(xué)情：三角形的角平分線是探究角之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生已經(jīng)掌握了量角器的用法，能很快地畫出一個已知角的角平分線.②差異指導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生從概念、畫法等方面區(qū)別高線、中線、角平分線.（2）生助生：學(xué)生之間相互交流幫助解決學(xué)習(xí)中的疑惑.4.強化:(1)三角形的角平分線的概念及其畫法.(2)練習(xí)：a.如圖①，AD是△ABC的中線，AE是∠BAC的平分線，則BD＝DC＝BC,∠BAE＝∠CAE＝∠BAC.b.如圖②，BD是△ABC的角平分線，DE∥BC，∠DBC＝20°，求∠AED.解：∵BD是△ABC的角平分線，∴∠DBC=∠ABC.∵DE∥BC,∠DBC=20°,∴∠AED=∠ABC=2∠DBC=40°.三、評價1.學(xué)生自我評價（圍繞三維目標）：學(xué)生交流自己的學(xué)習(xí)收獲和存在的困惑.2.教師對學(xué)生的評價：(1)表現(xiàn)性評價：對學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)成果及存在的不足進行點評.(2)紙筆評價：課堂評價檢測.3.教師自我評價（教學(xué)反思）:本課時教學(xué)以“自主探究——合作交流”為主體形式，先給學(xué)生獨立思考的時間，提供學(xué)生創(chuàng)新的空間與可能，再給不同層次的學(xué)生提供一個交流合作的機會，培養(yǎng)學(xué)生獨立探究，合作學(xué)習(xí)的能力.一、基礎(chǔ)鞏固（每題10分，共50分）1.三角形的高、中線和角平分線都是（C）A.直線B.射線C.線段D.垂線2.如圖,在△ABC中，AD是角平分線，AE是中線，AF是高，則:(1)BE=EC=BC；(2)∠BAD=∠DAC=∠BAC；(3)∠AFB=∠AFC=90°；(4)△ABC的面積=BC·AF.3.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC且與BC相交于點D，∠B=40°，∠BAD=30°，則∠C的度數(shù)是80°.4.以下說法錯誤的是（A）A.三角形的三條高一定在三角形內(nèi)部交于一點B.三角形的三條中線一定在三角形內(nèi)部交于一點C.三角形的三條角平分線一定在三角形內(nèi)部交于一點D.一個三角形的三條高、中線、角平分線分別交于同一個點5.如圖所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點，連接BG并延長，交AC于點E，CF⊥AD于點H，交AB于點F.下列說法中，正確的有（A）①AD是△ABE的角平分線②BE是△ABD的邊AD上的中線③CH是△ACD的邊AD上的高.A.1個B.2個C.3個D.0個二、綜合應(yīng)用（每題10分，共20分）6.直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角為多少度？解：如圖，△ABC中，∠B=90°,AD、CE是△ABC的角平分線，則∠DAC+∠ECA=（∠BAC+∠BCA）=45°,∴∠AFC=180°-(∠ECA+∠DAC)=135°.所以直角三角形兩銳角的平分線所夾的鈍角為135°.7.如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知AB=5cm,AC=3cm.△ABD的面積為acm2,(1)S△ABC=2acm2；(2)△ABD與△ACD的周長之差為2cm.三、拓展延伸（每題15分，共30分）8.在△ABC中，AD是∠A的平分線，DE∥AC交AB于E，EF∥AD交BC于F，試問EF是△BED的角平分線嗎？說說你的理由.解：EF是△BED的角平分線，理由如下：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2.∴DE∥AC,∴∠5=∠2=∠1.∵EF∥AD,∴∠3=∠5,∠4=∠1,∴∠3=∠4,∴EF是△BED的角平分線.9.在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，AB=13,CD=6,BC=10，求AC的長.解：∵S△ABC=AB·CD=AC·BC，AB=13,CD=6,BC=10,∴AC===7.8.11.1.3三角形的穩(wěn)定性——三角形穩(wěn)定性探究與應(yīng)用一、導(dǎo)學(xué)1.導(dǎo)入課題：蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘一根木條（如右圖），為什么這樣做呢？2.學(xué)習(xí)目標：（1）知道三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性.（2）體驗穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中的廣泛應(yīng)用.3.學(xué)習(xí)重、難點：重點：三角形的穩(wěn)定性.難點：三角形的穩(wěn)定性的應(yīng)用.4.自學(xué)指導(dǎo)：（1）自學(xué)內(nèi)容：探究三角形木架、四邊形木架在外力作用下形狀是否發(fā)生改變.（2）自學(xué)時間：10分鐘.（3）自學(xué)方法：實驗操作，觀察歸納.（4）探究提綱：①自主探究：a.如圖（1），把三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后推拉它，它的形狀會改變嗎？不會改變b.如圖（2），把四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后推拉它，它的形狀會改變嗎？會改變c.如圖（3），在四邊形的木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來，然后推拉它，它的形狀會改變嗎？不會改變②議一議：從上面實驗過程中你能得出什么結(jié)論？與同伴交流.三角形木架形狀不會改變，四邊形木架形狀會改變，這就是說，三角形具有穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性.斜釘一根木條的四邊形木架的形狀不會改變，原因是四邊形變成了兩個三角形，這樣就利用了三角形的穩(wěn)定性.③看一看，想一想：三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性在生活中都有廣泛應(yīng)用.你知道課本圖11.1-8和圖11.1-9中的例子，哪些是利用三角形的穩(wěn)定性？哪些是利用四邊形的不穩(wěn)定性？你能再舉一些例子嗎？鋼架橋與起重機是利用三角形的穩(wěn)定性，活動掛架和伸縮門是利用四邊形的不穩(wěn)定性，還有相框的支架是利用三角形的穩(wěn)定性，紙箱是利用四邊形的不穩(wěn)定性.二、自學(xué)同學(xué)們可結(jié)合探究提綱進行自主探究.三、助學(xué)1.師助生：(1)明了學(xué)情：三角形的穩(wěn)定性在日常生活中有廣泛的應(yīng)用，學(xué)生接觸的比較多，所以掌握起來也比較快.(2)差異指導(dǎo)：引導(dǎo)學(xué)生把三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性結(jié)合在一起學(xué)，重點掌握三角形的穩(wěn)定性，理解四邊形的不穩(wěn)定性及如何穩(wěn)定一個多邊形.2.生助生：學(xué)生之間相互指導(dǎo)操作，然后交流討論.四、強化1.三角形的穩(wěn)定性及其應(yīng)用.2.練習(xí)：（1）有下列圖形：①正方形；②長方形；③直角三角形；④平行四邊形.其中具有穩(wěn)定性的是③.(填序號)（2）鐵柵門和多功能掛衣架能夠伸縮自如，是利用四邊形的不穩(wěn)定性.（3）要使五邊形木架(用5根木條釘成)不變形，至少要釘上2根木條.五、評價1.學(xué)生的自我評價（圍繞三維目標）：學(xué)生交流自己的學(xué)習(xí)收獲和存在的不足.2.教師對學(xué)生的評價：(1)表現(xiàn)性評價：對學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)成果和存在的問題進行