不等式的易錯(cuò)點(diǎn)以及典型例題

-.z.不等式的易錯(cuò)點(diǎn)以及典型例題1.同向不等式能相減，相除嗎？2.不等式的解集的規(guī)書寫格式是什么？〔一般要寫成集合的表達(dá)式〕3.分式不等式的一般解題思路是什么？〔移項(xiàng)通分，分子分母分解因式，*的系數(shù)變?yōu)檎担娲┡蓟亍?.解指數(shù)對數(shù)不等式應(yīng)該注意什么問題？〔指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)的真數(shù)大于零.〕5.含有兩個(gè)絕對值的不等式如何去絕對值？(一般是根據(jù)定義分類討論)6.利用重要不等式以及變式等求函數(shù)的最值時(shí)，你是否注意到a，b〔或a，b非負(fù)〕，且“等號成立〞時(shí)的條件，積ab或和a＋b其中之一應(yīng)是定值？(一正二定三相等)7.(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號〕；a、b、cR，〔當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號〕；8.在解含有參數(shù)的不等式時(shí)，怎樣進(jìn)展討論？〔特別是指數(shù)和對數(shù)的底或〕討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的解集是……．9.解含參數(shù)的不等式的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為根底，分類討論是關(guān)鍵．〞10.對于不等式恒成立問題，常用的處理方式？〔轉(zhuǎn)化為最值問題〕11.在解決有關(guān)線性規(guī)劃應(yīng)用問題時(shí)，有以下幾個(gè)步驟：先找約束條件，作出可行域，明確目標(biāo)函數(shù)，其中關(guān)鍵就是要搞清目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，找可行域時(shí)要注意把直線方程中的y的系數(shù)變?yōu)檎?。如：?<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b的取值圍，但也可以不用線性規(guī)劃。不等式易錯(cuò)典型例題未等價(jià)轉(zhuǎn)化致錯(cuò)例題1：，則2a+3b的取值圍是ABCD錯(cuò)解：對條件“〞不是等價(jià)轉(zhuǎn)化，解出a,b的圍，再求2a+3b的圍，擴(kuò)大了圍。正解：用待定系數(shù)法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出結(jié)果為D?；蛴镁€性規(guī)劃法。含參函數(shù)未討論致錯(cuò)〔3〕是否取端點(diǎn)致錯(cuò)充分必要條件概念不清致錯(cuò)例題4-1：設(shè)成立的充分不必要條件是ABCD*<-1錯(cuò)解:選B,對充分不必要條件的概念理解不清,“或〞與“且〞概念不清。正確答案為D。〔5〕均值不等式應(yīng)用不當(dāng)致錯(cuò)：一正二定三相等①無視條件正數(shù)②無視條件定值③無視條件取等號例7-1假設(shè)實(shí)數(shù)m，n，*，y滿足m2+n2=a，*2+y2=b〔a≠b〕，則m*+ny的最大值為〔〕A、B、C、D、答案：B點(diǎn)評：易誤選A，忽略運(yùn)用根本不等式“=〞成立的條件。④屢次使用無視等號是否同時(shí)成立例題8-1：實(shí)數(shù)m,n,*,y滿足m2+n2=a2,*2+y2=b,則m*+ny的最大值是。A、B、C、D、答案：B錯(cuò)解：A錯(cuò)因：無視根本不等式使用的條件，而用得出錯(cuò)解。正解：三角函數(shù)換元法設(shè)m=.cosA,n=sinA;*=.cosB,y=sinB則m*+ny=〔.cosA〕〔.cosB〕+〔.cosB〕〔sinB〕=.[sin(A-B〕]因此m*+ny的最大值是.⑤用均值不等式時(shí)忽略實(shí)際情況例題9：數(shù)列{an}的通項(xiàng)式，則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是〔〕A、第9項(xiàng)B、第8項(xiàng)和第9項(xiàng)C、第10項(xiàng)D、第9項(xiàng)和第10項(xiàng)答案：D點(diǎn)評：易誤選A，運(yùn)用根本不等式，求，忽略定義域N*?！?〕綜合應(yīng)用中考慮不全致錯(cuò)例題10：如果則的取值圍是〔〕A、B、C、D、正確答案：B錯(cuò)因：利用真數(shù)大于零得*不等于60度，從而正弦值就不等于，于是就選了D.其實(shí)*等于120度時(shí)可取得該值。應(yīng)選B。不會應(yīng)用幾何意義致錯(cuò)例題11：*為實(shí)數(shù)，不等式|*－3|－|*－1|>m恒成立，則m的取值圍是〔〕A.m>2 B.m<2 C.m>－2 D.m<－2正確答案：D。錯(cuò)誤原因：容易無視絕對值的幾何意義，用常規(guī)解法又容易出錯(cuò)?！?〕數(shù)形結(jié)合應(yīng)用不當(dāng)致錯(cuò)例題12：f(*)=︱2—1｜，當(dāng)a＜b＜c時(shí)有f(a)＞f(c)＞f(b)則〔〕Aa＜0,b＜0,c＜0Ba＜0,b＞0,c＞0C2＜2D2＜2正確答案：D錯(cuò)因：學(xué)生不能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題?！?〕換元后的取值圍不對致錯(cuò)例13：，求的最大值和最小值。錯(cuò)解一：，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值1；錯(cuò)解二：，當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值；正解分析：解法二忽略了圍限制，應(yīng)由得：。12.線性規(guī)劃典型題型由條件寫出約束條件，并作出可行域，進(jìn)而通過平移直線在可行域求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是最常見的題型，除此之外，還有以下六類常見題型。求線性目標(biāo)函數(shù)的取值圍例1：〔一次函數(shù)型〕假設(shè)*、y滿足約束條件，則z=*+2y的取值圍是〔〕A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、〔3,5]**yO22*=2y=2*+y=2BA解：如圖，作出可行域，作直線l：*+2y＝0，將l向右上方平移，過點(diǎn)A〔2,0〕時(shí)，有最小值2，過點(diǎn)B〔2,2〕時(shí)，有最大值6，應(yīng)選A拓展：思考二次函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型、對數(shù)函數(shù)型等。2*+y–6=0=52*+y–6=0=5*＋y–3=0Oy*ABCMy=2〔2〕求可行域的面積例2：不等式組表示的平面區(qū)域的面積為〔〕A、4B、1C、5D、無窮大解：如圖，作出可行域，△ABC的面積即為所求，由梯形OMBC的面積減去梯形OMAC的面積即可，選B例3：在平面直角坐標(biāo)系中，集合，則集合表示的平面區(qū)域的面積為10例4：在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的區(qū)域?yàn)镸，表示的區(qū)域?yàn)镹，假設(shè)，則M與N公共局部面積的最大值為解：因?yàn)橄雀鶕?jù)題意中的條件畫出約束條件所表示的圖形，再結(jié)合圖形求公共局部的面積為f〔t〕即可，注意將公共局部的面積分解成兩個(gè)圖形面積之差，則可知公共局部的面積為，借助于二次函數(shù)得到最大值〔3〕求可行域中整點(diǎn)個(gè)數(shù)例5：滿足|*|＋|y|≤2的點(diǎn)〔*，y〕中整點(diǎn)〔橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)〕有〔〕A、9個(gè)B、10個(gè)C、13個(gè)D、14個(gè)*yO解：|*|＋|y|≤2等價(jià)于*yO作出可行域如右圖，是正方形部〔包括邊界〕，容易得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)為13個(gè)，選D〔4〕求線性目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值圍*+y=5*–y+5=0Oy**=3例6：*、y滿足以下約束條件，使z=*+ay(a>0)*+y=5*–y+5=0Oy**=3A、－3B、3C、－1D、1解：如圖，作出可行域，作直線l：*+ay＝0，要使目標(biāo)函數(shù)z=*+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則將l向右上方平移后與直線*+y＝5重合，故a=1，選D例7：如圖，目標(biāo)函數(shù)z＝a*－y的可行域?yàn)樗倪呅蜲ACB(含邊界)，假設(shè)是該目標(biāo)函數(shù)z＝a*－y的最優(yōu)解，則a的取值圍是(A)A．B．2*+y-2=0=5*–2y+4=03*–y–3=0Oy*A2*+y-2=0=5*–2y+4=03*–y–3=0Oy*A〔5〕距離平方型目標(biāo)函數(shù)的最值例8：*、y滿足以下約束條件，則z=*2+y2的最大值和最小值分別是〔〕A、13，1B、13，2C、13，D、，O2*–y=0y2*–y+3=0解：如圖，作出可行域,*2+y2是點(diǎn)〔*，y〕到原點(diǎn)的距離的平方，故最大值為點(diǎn)A〔2,3〕到原點(diǎn)的距離的平方，即|AO|2=13，最小值為原點(diǎn)到直線2*＋y－2=0的距離的平方，即為O2*–y=0y2*–y+3=0〔6〕求約束條件中參數(shù)的取值圍例9：|2*－y＋m|＜3表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)〔0,0〕和〔－1,1〕，則m的取值圍是〔〕A、〔-3,6〕B、〔0,6〕C、〔0,3〕D、〔-3,3〕解：|2*－y＋m|＜3等價(jià)于由右圖可知,故0＜m＜3，選C〔7〕比值問題〔斜率型〕當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如時(shí),可把z看作是動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。例10：變量*，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\al(*－y＋2≤0，,*≥1，,*＋y－7≤0，))則eq\f(y,*)的取值圍是〔〕.〔A〕[eq\f(9,5)，6]〔B〕〔－∞，eq\f(9,5)]∪[6，＋∞〕〔C〕〔－∞，3]∪[6，＋∞〕〔D〕[3，6]解析eq\f(y,*)是可行域的點(diǎn)M〔*，y〕與原點(diǎn)O〔0，0〕連線的斜率，當(dāng)直線OM過點(diǎn)〔eq\f(5,2)，eq\f(9,2)〕時(shí)，eq\f(y,*)取得最小值eq\f(9,5)；當(dāng)直線OM過點(diǎn)〔1，6〕時(shí)，eq\f(y,*)取得最大值6.答案A例11：函數(shù)f(*)的定義域?yàn)閇－3，＋∞)，且f(6)＝2。f′(*)為f(*)的導(dǎo)函數(shù)，f′(*)的圖象如下圖。假設(shè)