2021年自招模擬卷（一）（教師版）

自招模擬卷(一)

1.計(jì)算：J14+66-J14-6方的值是.

【答案】26.

【解析】J14+6行-J14-6石=J14+2而-J14-2后=3+6-3+行=2百.

2.己知：x=-2是/+依+2方=0的一個(gè)根，求/+匕2的最小值.

【答案】2.

【解析】將x=-2代入方程可得4-2。+?=0,即b=a-2,

a2+Z?2=a2+(a-2)2=2(a-l)2+2>2,即/的最小值為

3.已知p、q、r都是正數(shù)，求證:關(guān)于x的三個(gè)方程：x2-y[px+—=0,x2-yfqx+--0，

88

f一〃x+K=o至少有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根.

8

【答案】略.

【解析】從反面考慮：假設(shè)三個(gè)方程都沒(méi)有不相等的實(shí)數(shù)根，則：

A,=p--<0

12

■A2=^--^<0,三式相加，得，+；+'40,與p、q、r為正數(shù)矛盾，

A,=r--^<0

32

故其中必有一個(gè)方程有不等的實(shí)數(shù)根，

不妨設(shè)方程*2-⑴1+幺=0的兩根為％,X2，

8

根據(jù)韋達(dá)定理有百=幺>0,即％,9同號(hào)，

8

又飛+x?=6>0,所以%,%均大于0，

綜上所述，至少存在有一個(gè)方程有兩個(gè)不等正實(shí)數(shù)根.

4.若二=4^=旦二1篤，則”二2”的值是______.

3y2x-5yxx-2xy+3y

9

【答案】la=.

2

【解析】v—=^—,/.2x2-5xy-3y2=0,

3y2x-5y

(2x+y)(x-3y)=0,r.x=_；y或x=3y,

又?二=6x-15y,-18母+45y2=0,

3yx

x=3y或x=15y,:.x=3y,

4x2-5jcy+6y2_36y2-15y2+6y2_9

"f_2xy+3y2-9y2-6y2+3/-2'

5.a,b是正數(shù)，并且拋物線y=V+ax+2〃和了=9+2區(qū)+4都與x軸有公共點(diǎn)，則

T+b?的最小值是.

【答案】20.

【解析】由題意，A]=cr-Sb>0,A,=4b2-4a>0,:.a<b2,

0<a2-8b<b4-8b,:口力都為正數(shù)，

：.b>2,:.a2>8/?>16,EPa>4,

:.a2+b2>20,當(dāng)a=4,6=2取到最小值.

6.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別比方程3x2+2x-3=0的兩個(gè)根的平方多].

【答案】9/-40y+40=0.

【解析】設(shè)31+2》-3=0的兩根分別為“，馬，所求方程的根為％,y2,

2

由題忌，得F+毛=一§，玉?太2=-1，

x

/.y+%=x；+1++1=(i+/『一2X(x2+2

%丫2=(犬+1)(92+1)=(3)2+犬+^+1=

37

.?.所求方程為y2_?y+m=0,即9y2-40y+40=0.

如圖，在梯形ABC。中，AD//BC（BC>AD）,ZD=90°,BC=CD=12,

ZABE=45°,AE=W,求CE的長(zhǎng)度.

【答案】4或6.

【解析】作DFL/1D交D4延長(zhǎng)線于F,

延長(zhǎng)DC至“，使C7/=AF,連BH,

則NF=90°,

又?.?"=90°,AD//BC,.?.NC=90°,

，四邊形ABC。是矩形，H

又?.?BC=8,.?.四邊形"CO是正方形,

:.BC=BF,ZCBF=9Q°,

在ABCH和ABFA中，

ZBCH=90°=ZBFA,BC=BF,CH=FA,

ABCH=NBFA,:.BH=BA,ZHBC=ZABF,

ZHBC+NEBC=NFBA+ZEBC=90°-ZEBA=45°,

NEBH=AHBC+ZEBC=45°=NEBA,

在AEB”和AEBA中，

BE=BE,ZEBH=ZEBA,BH=BA,

；.AEBH三AEBA,EC+AF=EC+CH=EH=EA=10,

設(shè)CE=x,則A/=C7/=10—x,

又?.?￡＞產(chǎn)=8=12,:.DE=\2-x,AD=x+2,

DE2+AD2=AE2,..(12-x)2+(x+2)2=100,

解得CE=4或6.

8.如圖，在矩形ABC。中，E、產(chǎn)分別是A8、C。上的點(diǎn)，AE=CF,連接E/、BF,

EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)。，且ZBEF=2ZBAC.

(1)求證：OE=OF；

(2)若BC=26，求AB的長(zhǎng).

【答案】(1)略；(2)6.

【解析】(1)?.?四邊形ABC。是矩形,

.-.AB//CD,AB=CD,NE4c=90°,

:.ZOA.E=AOCF,Z.OEA=ZOFC,

)L-.-AE=CF,:.AOAE=AOCF,

:.OE=OF；

(2)連OB,

由(1)得=尸，OA=OC,

又?.?四邊形4BCD是矩形，.?.Q4=OB,

/."AC=NOBA,

又?.?ZBEF=2ZBAC,ZBEF=2ZOBA,

又?：BE=BF,OE=OF,:.OEVEF,

90°=ZBEF+ZOBE=3ZOBE,

:.Z.OBE=30°,ABAC=30°,

AB=￡BC=6.

9.如圖，矩形A8C。中，AL>=6,DC=7,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別

在矩形ABCC的邊48、CD.ADk,AH=2,連接CF.當(dāng)AFCG的面積最小時(shí),

求。G的長(zhǎng).

【答案】用.

【解析】作FM_LC￡>交C。延長(zhǎng)線于M,

延長(zhǎng)GH、BA交于點(diǎn)K,設(shè)￡>G=x,

?.?四邊形ABCO是矩形,

:.AB//CD,ZD=ZHAE=900=ZFMG,

:.ZDGH=AHKA,

又?.?四邊形EFGH是菱形，

：.HE=GF=HG,GH//EF,ZHGF=ZHEF,

..ZBEF=AHKA,:.ZHEA=ZFGM,

.-.RtM1AE=Rt^FMG,:.MF=HA=2,

%CG=gFMCG=gx2x（7-x）=7-x,

DG2+DH2=HG2=HE2=HA2+AE2,S.AE<1,

.-.x2+42<22+72,

/.x<>/37,

SMCG=7—x>7--\/37,

.?.AFCG面積最小為7-同，此時(shí)￡>G=后.

10.已知ABC。是一個(gè)半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，AB=\2,8=6,分別延長(zhǎng)A8

和。C,它們相交于尸且8尸=8,ZAPD=6O°,則R等于.\/

PX

【答案】2后.

【解析】由割線定理得，PAPB=PCPD,

A

20x8=PC（PC+6）,.-.PC=10,

由NAPD=60°,AP=20,PC=10,

得4CP=90。，，血為直徑，

由勾股定理得4。=J4c2+CD，=A/^=4A歷,;.R=2屈.

11.設(shè)P（〃）為兩個(gè)骰子頂面上的數(shù)字之和為〃的概率，

求：尸⑴+P（2）+P（3）+P（4）+尸⑸=.

【答案】

18

【解析】分別計(jì)算每個(gè)P（〃）的概率，

?.-P（l）=0,P（2）=^,P（3）=A（p（4）=A=1,F（5）=±=l

???P（l）+*2）+W3）+P（4）+P（5）=2?

1o

12.一個(gè)正三角形的外接圓的半徑為1,向該圓內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)尸，求點(diǎn)P恰好落在正三

角形外的概率.

［答案］4萬(wàn)-3、.

44

【解析】利用正弦定理，這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為2RsinA=2sin60o=有，

???這個(gè)正三角形的面積是：且（6丫=空，

???點(diǎn)?恰好落在正三角形外的概率是4.-3c.

4萬(wàn)

nnn

13.正整數(shù)〃小于100,并滿足等式++=n,其中H表示不超過(guò)x的最大

236

整數(shù)，這樣的正整數(shù)〃有個(gè).

【答案】16.

,n

【解析】

6

nnnnnn

<—I--1—=n

236236

乙均為整數(shù)，即〃為6的倍數(shù)，因此共有16個(gè).

236

14.甲乙兩人相約7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，先到者等候另一人20分鐘，過(guò)時(shí)離去,

試求這兩人能會(huì)面的概率.

【答案】30.

【解析】設(shè)7點(diǎn)為第0分鐘，8點(diǎn)為第60分鐘，

另設(shè)甲乙到達(dá)的時(shí)間分別為羽y,如圖建立直角坐標(biāo)系,

v|x-y|<20-20<x-y<20,

■,[j<20+x，

4n2

二.陰影部分的面積為：602-2x—=2000,

2

這兩人能會(huì)面的概率是謐q.

15.若前2017個(gè)正整數(shù)的乘積lx2x…x2017能被2010人整除,

則正整數(shù)k的最大值為.

【答案】30.

【解析】v2010=2x3x5x67,

20171

又----=30,2017<672>

.67.

2017!質(zhì)因數(shù)分解中67的幕指數(shù)等于30,

:.k的最大值為30.

【課后作業(yè)】

1.（15分）已知〃b=2正-娓,c=>/6-V2,

那么〃、b、c的大小關(guān)系是（）.

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

【答案】B.

［解析］a=42-\=-j=-^f

b=26-瓜=「21

2A/2+X/6&+西'

2

C=屈-亞=L4___1_

V6+V2五+限,

>/NH------

4

:.b<a<c.

2.(15分)若加2=〃+2,n2=m+2(加工〃)，貝!］AT?一2〃?〃+/的值為().

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】D.

【解析】由題意毋一"J"一加，:.m+n^-\,

機(jī)3-2mn+=〃？(〃+2)-2mn+n^m+2)=2m+2n=-2.

3.（15分）反比例函數(shù)y=--的圖象與直線y=-后+人交于A（-1,m）,8（九/）兩點(diǎn),

x

則AO鉆的面積為（）

A.—B.4C.—D.—

222

【答案】C.

【解析】??,丹=-4.4（一1,加），代入得，加=4,

同理，〃=-4..-.A（-1,4）,B（-4,1）.

915

利用面積公式得，S/>MC=16-2x2--.

4.（15分）從編號(hào)1、2、3、4、5、6的六張卡片中任意抽取三張，則抽出的卡片編

號(hào)都大于2