專題35 圓的方程快速基礎(chǔ)能力提升（解析版）

成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過期成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過期專題35圓的方程快速基礎(chǔ)能力提升【考點(diǎn)預(yù)測】一、基本概念平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓.二、基本性質(zhì)、定理與公式1、圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心坐標(biāo)為(a,b)，半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標(biāo)為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數(shù)方程：①的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；②的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.注：對(duì)于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（為參數(shù)，(a,b)為圓心，r為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角函數(shù)式，從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi).（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi).三、直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有3種，相離，相切和相交四、直線與圓的位置關(guān)系判斷1、幾何法（圓心到直線的距離和半徑關(guān)系）圓心到直線的距離，則：則直線與圓相交，交于兩點(diǎn)，；直線與圓相切；直線與圓相離2、代數(shù)方法（幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根個(gè)數(shù)）由，消元得到一元二次方程，判別式為，則：則直線與圓相交；直線與圓相切；直線與圓相離.五、兩圓位置關(guān)系的判斷用兩圓的圓心距與兩圓半徑的和差大小關(guān)系確定，具體是：設(shè)兩圓的半徑分別是，（不妨設(shè)），且兩圓的圓心距為，則：則兩圓相交；兩圓外切；兩圓相離兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含（時(shí)兩圓為同心圓）【典例例題】例1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知圓，圓，則同時(shí)與圓和圓相切的直線有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．0條【答案】B【解析】由圓，則圓心，半徑；由圓，整理可得，則圓心，半徑；由，則兩圓外切，同時(shí)與兩圓相切的直線有3條.故選：B.例2．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）過圓與圓交點(diǎn)的直線方程為（

）.A． B．C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立，解得或，所以圓與圓交點(diǎn)為和，所以過兩圓交點(diǎn)的直線方程為，即.故選：C例3．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）請(qǐng)寫出一個(gè)與x軸和直線都相切的圓的方程______．【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)閳A與x軸與都相切，所以圓心在.不妨取，則.要使圓與x軸相切，只需半徑為1.所以圓的方程為：．故答案為：（答案不唯一）.例4．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線被圓所截得的弦長為，則實(shí)數(shù)m=___________.【答案】【解析】圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則弦長，解得.故答案為：.例5．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）經(jīng)過點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程為______．【答案】【解析】聯(lián)立，整理得，代入，得，解得或，則圓與交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)以及的圓的方程為,則，解得，故經(jīng)過點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程為，故答案為：例6．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，，且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【答案】【解析】圓的面積最小即直徑最小，即當(dāng)直徑為AB時(shí)最小，此時(shí)圓心為，半徑為，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.例7．（2023春·河南濮陽·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知圓，的圓心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑分別為與．若圓的圓心在軸正半軸上，且與圓，均內(nèi)切，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_________．【答案】【解析】依題意可知圓心的橫坐標(biāo)為，半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.例8．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）過四點(diǎn)、、、中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為______（寫出一個(gè)即可）.【答案】（答案不唯一）【解析】過，，時(shí)，設(shè)圓的方程為，則，解得，圓的方程是：，即；同理可得：過、、時(shí)，圓的方程是：；過，，時(shí)，圓的方程是：；過，，時(shí)，圓的方程是：.故答案為：.（、、、寫其中一個(gè)即可）例9．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)，則______.【答案】

【解析】設(shè)直線的方程為，即則點(diǎn)，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得，所以，因?yàn)?，?故答案為：.例10．（2023春·廣東韶關(guān)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)，，若線段與圓存在公共點(diǎn)，則的取值范圍為_________.【答案】【解析】如圖：當(dāng)圓和線段AB相切時(shí)，圓的半徑最小，當(dāng)圓過B點(diǎn)時(shí)，圓的半徑最大.圓的圓心為，半徑為，，當(dāng)圓和線段AB相切時(shí)，，即，，得，當(dāng)圓過B點(diǎn)時(shí)，，得.故答案為：.例11．（2023春·浙江·高三開學(xué)考試）直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則__________．【答案】【解析】由得知O到直線的距離為，所以，得．故答案為：．例12．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）圓心為，半徑為的圓在x軸上截得的弦長等于______.【答案】8【解析】圓心到軸的距離，圓的半徑，圓在x軸上截得的弦長等于.故答案為：.例13．（2023秋·黑龍江大慶·高三鐵人中學(xué)校考期末）圓與圓的公共弦長為______．【答案】【解析】由，得圓心，且一般式為，公共弦方程為，，則弦長，故答案為：.例14．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過點(diǎn)且圓心在射線上，被軸截得弦長為，點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)求過點(diǎn)且與圓相切的直線方程.【解析】（1）由題可設(shè)圓的圓心為，又圓經(jīng)過點(diǎn)，且被軸截得弦長為，所以，又，解得，所以圓的方程為；（2）由題可知圓心為，半徑為2，點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，與相切，故滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)切線為，即，則，解得，所以切線為，即；綜上，過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或.【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·河北邢臺(tái)·高三統(tǒng)考期末）已知圓與直線相切，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為5，又圓與直線相切，則到直線的距離為，則，解得，設(shè)過且與垂直的直線為，則：，聯(lián)立，得直線l與的交點(diǎn)為，設(shè)圓心關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，由中點(diǎn)公式有所以圓心關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因此圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程為：，故選：D.2．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）兩圓和的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．外切【答案】B【解析】解:由題知,的圓心為,半徑為3,因?yàn)?即,圓心為,半徑為4,所以兩圓心之間的距離為,因?yàn)?所以兩圓相交.故選:B3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓方程的圓心為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以圓心坐標(biāo)為；故選：C4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓的圓心到直線的距離為1，則A． B． C． D．2【答案】A【解析】由配方得，所以圓心為，因?yàn)閳A的圓心到直線的距離為1，所以，解得，故選A.【考點(diǎn)】圓的方程，點(diǎn)到直線的距離公式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，解得，故選：C．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）圓關(guān)于直線：對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，設(shè)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得．所以，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為．故選：C．7．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)Q在圓C：上，點(diǎn)P在直線上，則PQ的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】圓中圓心為，半徑，圓心到直線的距離：，則，故選：A．8．（2023·北京通州·高三統(tǒng)考期末）已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到直線距離的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由于半徑為1的圓（設(shè)為圓）經(jīng)過點(diǎn)，所以圓的圓心的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，到直線距離為，所以圓的圓心到直線距離的最大值為.故選：C9．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）直線l：與圓C：的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．與a的值有關(guān)【答案】A【解析】∵直線l的方程為，即，∴直線l恒過定點(diǎn)，∵，即該定點(diǎn)在圓C：內(nèi)，∴直線l與圓C相交．故選：A．10．（2023·甘肅慶陽·高二?？计谀┤魣A上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)閳A上恰有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以圓心到直線的距離為3，所以有.故選：A.11．（2023·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為B，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閳A，所以圓的圓心為，半徑為，因?yàn)榕c圓相切，切點(diǎn)為B，所以，則，因?yàn)?，所?故選：B.12．（2023·重慶·高二校聯(lián)考期末）已知直線上，過點(diǎn)向圓引切線，則切線長是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意直線上，可得，則，故在圓外，過點(diǎn)向圓引切線，由于,則切線長是,故選：A13．（2023春·甘肅蘭州·高三?？奸_學(xué)考試）若曲線y＝與直線y＝k(x－2)＋4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C．(1，＋∞) D．(1，3]【答案】A【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示．由題意可得，曲線y＝的圖象為以(0，0)為圓心，2為半徑的半圓，直線l恒過A(2，4)，由圖當(dāng)直線l與半圓相切時(shí)，圓心到直線l的距離d＝r，即＝2，解得k＝；當(dāng)直線l過B點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率k＝，則直線l與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：A.14．（2023春·湖南長沙·高二長沙一中?？奸_學(xué)考試）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【解析】由可得，即圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以.故選：D15．（2023春·湖北荊州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】D【解析】圓圓心為，半徑為，圓的圓心，半徑為，則兩圓的圓心距為，而，則圓與圓的位置關(guān)系為內(nèi)切．故選：D.16．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）圓C1：與圓C2：的位置關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．內(nèi)切 C．相交 D．外切【答案】C【解析】標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，半徑為，標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑，，，因此兩圓相交，故選：C．二、多選題17．（2023·吉林長春·高三?？茧A段練習(xí)）已知圓，直線，則（

）A．圓C的圓心為 B．點(diǎn)在l上C．l與圓C相交 D．l被圓C截得的最短弦長為【答案】ABC【解析】對(duì)A，圓，所以圓心為，A正確；對(duì)B，因?yàn)橹本€，即，所以直線過點(diǎn)，B正確；對(duì)C，因?yàn)?所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以l與圓C相交，C正確；對(duì)D，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以l被圓C截得的弦長為，當(dāng)直線時(shí)，取等號(hào)，D錯(cuò)誤.故選:ABC.18．（2023·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）下列圓中與圓相切的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】圓，化為，則圓的圓心，半徑，對(duì)于A，圓心為，半徑為，圓心距為，因?yàn)?，所以兩圓相交，故A不符題意；對(duì)于B，圓心為，半徑為，圓心距為，所以兩圓外切，故B符合題意；對(duì)于C，圓心為，半徑為，圓心距為，所有兩圓內(nèi)切，故C符合題意；對(duì)于D，圓心為，半徑為，圓心距為，所以兩圓外離，故D不符題意.故選：BC.19．（2023·廣西桂林·高二?？计谀┮阎c(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則（

）A．直線與圓相交B．直線與圓相離C．點(diǎn)到直線距離最大值為D．點(diǎn)到直線距離最小值為【答案】BC【解析】由，,可得直線的方程為.由圓,可得圓心,半徑,所以圓心到直線的距離,所以直線與圓相離,故A錯(cuò)誤,B正確;圓心到直線的距離,則圓上一點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值分別為和,即和,故C正確,D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題20．（2023·河南信陽·高三統(tǒng)考期末）圓關(guān)于直線l：對(duì)稱的圓的方程為______．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以所求圓的圓心為，所以圓關(guān)于直線l：對(duì)稱的圓的方程為，故答案為：21．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，，且圓心在直線上，則圓的方程為______.【答案】【解析】由已知可設(shè)圓的圓心為，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.又圓經(jīng)過兩點(diǎn)，，所以，即，解得，所以圓心，，所以，圓的方程為.故答案為：.22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過三點(diǎn)中的兩點(diǎn)且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．（寫出一個(gè)滿足條件的方程即可）【答案】或或(寫出符合要求的一個(gè)答案即可).【解析】若圓過兩點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，即，與聯(lián)立求得圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若圓過兩點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，即，與聯(lián)立得圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若圓過兩點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，即，與聯(lián)立得圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：或或(寫出符合要求的一個(gè)答案即可).23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)作圓C：的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為______.【答案】【解析】可化為：，∴圓心為，半徑為，∴MC的中點(diǎn)為，，以MC為直徑的圓的方程為：，即∵，，∴M，A，C，B四點(diǎn)共圓，∴AB的方程為兩圓的公共弦所在的直線方程，兩圓方程相減得直線AB的方程為.故答案為：.24．（2023·浙江·高三校聯(lián)考期末）寫出過點(diǎn)，且與x軸和直線都相切的一個(gè)圓的方程________．【答案】（或）【解析】設(shè)圓心為，原點(diǎn)為，易知直線與x軸交于點(diǎn)，因?yàn)閳A與直線相切，直線的傾斜角為，且圓點(diǎn)，所以，所在直線方程為.設(shè)圓心坐標(biāo)為，由題意可得，化簡可得，解得或.當(dāng)時(shí)，圓心坐標(biāo)為，半徑為，故圓的方程為；當(dāng)時(shí)，圓心坐標(biāo)為，半徑為，故圓的方程為.故滿足題意的圓的方程為或.故答案為:（或）.25．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┻^點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的直線方程為___________.【答案】【解析】圓的圓心，半徑，方程化為一般式方程為，則，以為圓心，為半徑作圓，其方程為，方程化為一般式方程為，∵，則是圓與圓的交點(diǎn)，兩圓方程作差可得：，∴直線的方程為.故答案為：.26．（2023·重慶·統(tǒng)考一模）已知圓：上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線：的距離等于2，則的值為_________．【答案】【解析】解:因?yàn)閳A的方程為,所以圓心為,半徑為,因?yàn)閳A上恰有個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于,所以只需要圓心到直線的距離為即可,直線方程為所以圓心到直線的距離為:,且解得,故答案為:27．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則的面積是______.【答案】2【解析】由得，所以圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以，所以的面積是.故答案為：228．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線被圓截得的弦長為，則的最小值為______【答案】2【解析】圓的圓心為，半徑為1，依題意，直線過圓心，即有，即，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2.故答案為：229．（2023·江蘇南京·南京市秦淮中學(xué)?？寄M預(yù)測）圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則弦AB的長為______．【答案】【解析】圓與圓聯(lián)立可得：公共弦的方程為，變形為，故的圓心為，半徑為，而滿足，故弦AB的長為圓的直徑，故弦AB的長為．故答案為：.30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知方程表示圓，則的取值范圍是____________.【答案】【解析】原方程可化為由得故答案為：31．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則_______．【答案】【解析】圓化為，圓心為，半徑為2，因?yàn)閳A上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線距離是1，所以圓心到直線的距離是圓的半徑的一半，即，解得．故答案為：32．（2023·甘肅·模擬預(yù)測）已知的三個(gè)頂點(diǎn)為,,,求的外接圓方程__________________.【答案】【解析】設(shè)的外接圓方程為,則,解得所以的外接圓方程為故答案為：33．（2023·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）若圓與圓外離，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，故圓心為，半徑為；將圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，故圓心為，半徑為；因?yàn)閳A與圓外離，所以，即，即，解得或，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：34．（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓C的一般方程為，則圓C的半徑為____________【答案】【解析】圓即，所以圓的半徑為.故答案為：35．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】∵原點(diǎn)在圓的內(nèi)部，，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：36．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線將圓平分，則的最小值是_________.【答案】8【解析】因?yàn)橹本€過圓心，所以，因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即時(shí)取等號(hào)，故答案為：837．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為________.【答案】4【解析】根據(jù)題意圓心到定點(diǎn)的距離為，所以圓心在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，易知原點(diǎn)在圓的圓外，由圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最近距離為該點(diǎn)到圓心的距離減去半徑，所以圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為，故答案為：438．（2023·遼寧阜新·高二?？计谀﹫A與直線的位置關(guān)系為_____________.【答案】相交【解析】由得，令得，即直線過定點(diǎn)由，故點(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓與直線的位置關(guān)系為相交.故答案為：相交39．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）圓在點(diǎn)處的切線方程為______．【答案】【解析】圓的圓心為，即，則，則切線斜率為，故切線方程為：，即.故答案為：40．（2023·湖北·高二統(tǒng)考期末）直線l過且與圓相切，則直線l的方程為________．【答案】【解析】由圓的方程，得，此圓的圓心為，半徑為2，顯然點(diǎn)在圓上，因此直線l垂直于經(jīng)過點(diǎn)、點(diǎn)的直線，所以直線l的方程為.故答案為：41．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)與圓相切的直線的方程為______．【答案】或【解析】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，驗(yàn)證滿足條件；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，圓，圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，解得，故直線方程為.綜上所述：直線方程為或.故答案為：或42．（2023·湖南長沙·高二雅禮中學(xué)統(tǒng)考期末）圓與圓的公共弦長等于______.【答案】【解析】聯(lián)立,得公共弦所在直線方程為.圓心到距離所以公共弦長為故答案為：43．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知圓與圓交于A，B兩點(diǎn)，則直線的方程為______；的面積為______.【答案】

【解析】兩圓相減得：，化簡得：，故直線的方程為，圓變形得到，圓心，半徑為2，故圓心到直線的距離為，由垂徑定理得：，故的面積為.故答案為：，.44．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）若且，圓：和圓：有且只有一條公切線，則的最小值為______．【答案】4【解析】圓的圓心為，半徑為2；圓的圓心為，半徑為3.因?yàn)閳A和圓只有一條公切線，所以圓與圓內(nèi)切，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為4．故答案為：4四、解答題45．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過點(diǎn)和(1)當(dāng)圓面積最小時(shí)，求圓的方程；(2)若圓的圓心在直線上，求圓的方程.【解析】（1）要使圓的面積最小，則為圓的直徑，圓心，半徑所以所求圓的方程為：.（2）設(shè)所求圓的方程為，根據(jù)已知條件得，所以所求圓的方程為.46．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求滿足下列條件的圓的方程，并畫出圖形：(1)經(jīng)過點(diǎn)和，圓心在x軸上；(2)經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，圓心為點(diǎn)；(3)經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上；(4)經(jīng)過，，三點(diǎn)．【解析】（1）圓心在x軸上，設(shè)圓的方程為：，將點(diǎn)代入圓的方程，得，解得，所以圓的方程為：，其圖形如下：（2）圓心為點(diǎn)，設(shè)圓的方程為：，由，解得，即直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)閳A過交點(diǎn)，所以，解得，所以圓的方程為：，其圖形如下：（3）設(shè)圓的方程為：，圓心坐標(biāo)為，在直線上，所以①，又圓過點(diǎn)，所以②，③，聯(lián)立①②③，得，所以圓的方程為：，其圖形如下：（4）設(shè)圓的方程為：，因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，所以圓的方程為：，即，其圖形如下：47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）求通過圓與的交點(diǎn)，并且過點(diǎn)的圓的方程．【解析】兩圓方程聯(lián)立得：，或，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)，的圓的方程為：，所以有：，所以經(jīng)過這三點(diǎn)的圓的方程為：.48．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l交圓C于A、B兩點(diǎn).(1)當(dāng)l經(jīng)過圓心C時(shí)，求直線l的方程；(2)當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，求直線l的方程；(3)當(dāng)直線