2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷解析

2021年高考浙江卷解析

一、選擇題

1.設(shè)集合4={Z|221},B={x\-l<x<2},則力CIJB=（）

A.{x\x>-1}B.{x\x^\}C.{x|-1<x<1}D.{6|1W/V2}

【答案】D

2^已知（1+而），=3+2（，為虛數(shù)單位），則。=（）

4.-1BAC.-3D.3

【答案】C

3、已知非零向量a,b,c,則a?c=b?c是a=b的（）

A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

4、某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積

（單位：cm3）是（）11___________

=11T

，.挈0.3eS側(cè)視圖

A.1B.3C

【答案】A

r俯視圖

5、若實(shí)數(shù)工，g滿足約束條件:c+120

.T—八0,貝1」2=7—/勿的最小值是（）

2X+3T/-1^0

A.-2B.a-D—

210

【答案】B

6、如圖，已知正方體43CD—4耳。1",M.N分別是4。、的中點(diǎn)，則（）

A直線4。與直線NB垂直，直線〃平面ABCO

B.直線4。與直線平行，直線平面

C直線AO與直線28相交，直線〃平面ABCD

D直線40與直線N8異面，直線平面BOA優(yōu)

【答案】AB

7、已知函數(shù)/(4)=/+J,g(e)=sinc,則圖象為右圖的函數(shù)可能是()

4l/n

A.?=/(1)+.g(z)—1B."=/(c)—。(工)一：

C.y=/(c)g⑺D.y=得手工

【答案】D

【解析】對(duì)于A：a=/(/)+9(為一[=/+由1立即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，排除A；

對(duì)于B：?=/(￡)—g(z)―；=——sinz即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，排除B；

對(duì)于C：y=/(c)g(a;)=(/+jsina;在0,看上單調(diào)遞增，排除C；

故選D.

8、已知a,0,)是三個(gè)互不相等的銳角，則sinacos.6,sin0cossin)cosa中，大于;的數(shù)至多有

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【解析】估算法

當(dāng)。=,3=)=7時(shí)，三個(gè)式子都等于今顯然不可能都大于參

當(dāng)a=￡,/3>；，時(shí)，sinacos/3<sin)cosQ>[,

44422

乙Q乙乙

故選C.

9、已知實(shí)數(shù)a,6滿足曲>0.函數(shù)/(z)=a/+b使得/(s—t),/(s),/(s+t)成等比數(shù)列，則坐標(biāo)系中

的點(diǎn)(s,。的軌跡是()

A.直線和圓B.直線和橢圓C.直線和雙曲線D.直線和拋物線

【答案】C

【解析】[a(s-￡)2+&]-[a(s+t)'+6]=(as2+b)2,整理得a產(chǎn)(a產(chǎn)-2as,2+2匕)=0>

9,2

所以t=0,或威2-2as2+26=0,即—第=1,表示雙曲線.

所以選C.

10、數(shù)列｛?！埃凉M足伽=1,af—S”為數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和，則

1+V%

5Q9

A.^<5100<2B.3<5100<4C.4<S100<^D.j<51()0<5

【答案】A

22

1

【解析】a,l+1==+++

1+Van%+1￡1-9<1

/1<J，累力口得-1?〃—1_幾+1__.?4

a

V^n+1V%/V%、1+一~17一s+i)2

._Q〃%n+1.篇+iv71+1

=-",

一叫LI7?Z、1+高n+3,^r^7r+3

累乘得Q〃&EW=6島f)

所以&0041+9+6&-5+5—+…擊一壺)<1+H5=3.故選A.

第10題，選擇題壓軸題（鎮(zhèn)海中學(xué)虞哲駿）

vjfjyjTfo1,Q產(chǎn)1,術(shù)J?

ltJ4?

（發(fā)心dt。<Of<—I,

溝：嵩力啕邛南丁皓"*償+f

「游吟**察ME上斯>41卡-讓）

，S”>M+'V）=2$.

下私士計(jì)醇例上*.

施述A醫(yī)束：著門(mén)擷：公8/尤.

由產(chǎn)依」?就以〃-《去兩造?

41,fli-l-T益（hty廠（一㈤、

M——I

M晨=而-J___n：

秣移，爭(zhēng)W1.二

如吹HW

t^/L<-一i一

（卅|加閨族5gw6(土-在”卜+<3.

潟：力—唬小角k4k

UL4.ti%懵.，:

能鼠泊山則b；M：心也㈤―

，（1-正也點(diǎn)高版仞u.'

：、/-次濾獻(xiàn)？k^-i-

儂R五35以＜“9?（才，?圖&冬佃二夕弟"1.

對(duì),石邊：兒=龍刃”￡訓(xùn)“十板梯小步,將!

飲”的力礦黃?晶

唯限扁＜僑柏加

仁w”廣■盅）（荷）

＜|f（^.'-ftz=J

4

板M￡W?

制.瑁上用而能

加二一^一，Q產(chǎn)I,/號(hào),行卜￡

MItK

金而執(zhí)心，喏）"霜風(fēng)"去（?/觥琳）

房核、3年4。葉?布4w/r?圾玄.

n,(twy

物4叫~十麻）共*叔=--~

1在

It萬(wàn)Mt.

/物、源=U）＜%備）=

)3+9(力㈤

令Jh力W1W

后

,、Jn?*:2'

+生

當(dāng)兒:1時(shí),樂(lè)k",太秋.（

當(dāng)口,=入外,用k~6.SRwI+6,（4?A）<4?

名2小取喈，*國(guó)吟（卜

如濟(jì)略網(wǎng)（啊+而麗W）

今Q仰七~矽4+言.

當(dāng)…附,吆，&&、京）

收人，會(huì)心+葉志）<?

浙江鎮(zhèn)

二'填空題

11、我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明，弦圖是由四個(gè)全等的直角三

角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）。若直角三角形直角邊的

長(zhǎng)分別為3,4,記大正方形的面積為S，小正方形的面積為S2,則普=.

【答案】25

；-3|+?,；蒙?若〃”述））=3,貝必=

12、已知aeR,函數(shù)/（2）=<

【答案】2

2

13、已知多項(xiàng)式（憶一1）3+（2+1）4=/+0排3+（Z2X+a3x+a4,則Qi=,

。2+如+Q1—.

【答案】5；10.

14、在△ABC中，3=60。，AB=2,"是3c的中點(diǎn)，AM=2y/39則力。=

cosZMAC—.

【答案】2g；*9.

■LJ

【解析】在中由余弦定理得

AM2=BA2+BA42-2BA-BM-cosZABM,

代入數(shù)據(jù)解得⑻1/=4,:.BC=8,4。=2g,cosNAMC=2^等.

JLo

15、袋中有4個(gè)紅球，m個(gè)黃球，n個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的紅球數(shù)為若取出的兩個(gè)球

都是紅球的概率為:，一紅一黃的概率為則加一n=,E&)=.

0o

【答案】1；*

【解析】取出兩個(gè)紅球的概率為￡=1,

9n

^4+m+n0(4+m+n)(3+m+n)6°

取出一紅一黃的概率為號(hào)舁■=(,m=3.所以n=2,m—n=l.

E的分布列為:

€012

_5c\ci_51

P

Cl~18~CT~96

所以E(E)=OX4+1X1+2X、=|.

ioyoy

16、已知橢圓/+%=l(a>b>0)的焦點(diǎn)為口(-c,0),F2(C,0)(C>0),若過(guò)用的直線和圓卜一］)"

+獷=,2相切，與橢圓的第一象限部分交于點(diǎn)P,且工軸，則該直線的斜率是,橢圓的

離心率是.

【答案】染5；卑.

00

【解析】設(shè)碓,0)切點(diǎn)為B,則|叫=c,|4凡|=會(huì),

所以歸閭=麗尸證了=興C,

所以直線的斜率為1%建即"=闔=竽.

由PE'c軸可知P(c，')，

所以tanNPFE=￥

l-p^l=

o\FtF2\

17、平面向量a,b,c,d滿足|Q|=1,|b|=2,a±5,(a—5)-c=0,d在a、b上的投影分別是

工,y，d—Q在c上的投影是z,則/+力+/的最小值是,

2

【答案】

【解法一】建系+主元法，硬算.

設(shè)a=(l,0),6=(0,2),則d=(/,g),因?yàn)?Q—b)?c=0,所以設(shè)c=(2九t).

|c|巡

而I、I2,2,。6[7,,25210,5]>5,2一如+2>2

所以/+力+z-=5[”方一)+函,一丁"。性—3—?寧

91

取等條件：rr=-,n=

o0

【解法二】幾何構(gòu)圖+均值不等式，巧算.

如圖，x2+y2=OD-,d—a=樂(lè)在c上的投影為8G,

所以/+/+z?=002+HG2=0Di+DK&2(I。"㈤Kl)：

當(dāng)點(diǎn)0在線段OH上時(shí)\OD\+\DK\最小，最小值為|OK|=,所以/+必+/21

V52°

取等條件：|O0|=|OK|,即。為OH的中點(diǎn).

OEAOEA

涉;;：；QB配分一?科工E上邕投勖理拐.），"右著上磁

；%,財(cái)才加"斯明一'

溝：《3，E=（°M

劉/K，夕=n，,一~點(diǎn)----=2

?'、久，="iX：十?。ń惺罚℡儲(chǔ)叼

抗認(rèn)：加bQ：—“十亨（”"Etn>y（^r）心才（小礦-會(huì)田

二nV：（H="?如若"專-%=半（M=jz心/）

淞：楊杓默:方便“（加"91愣十平+駕q>瞽產(chǎn)或嶗.

心：跖米.gtmy,渣冰歸JASE.

A吠廿5開(kāi),

,

和號(hào)D（T+DA、_E=DO）Ae、

*李鹿以一刈.

儂%A/fi%十苗姓.

戚;h**場(chǎng)次必能

即報(bào)飛、D，制&A解咕

命疑籬魚(yú)秘余疑、,

族躍二帝方受六粵/

/—給絲2二=，_=1

%'+明、4/卜上

夜攵生化,游旃物9日歷急6件臍捌a浙江鎮(zhèn)海虞哲駿

々、物收軌冷草獻(xiàn)穌.

當(dāng)為好△虬為士為小存發(fā)包儂一

三、解答題

18、已知函數(shù)/（/）=sin%+coszQ￡R）.

（I）求沙=［/9+］）］的最小正周期;

（n）求）=/3）/。+孑）在［0,汨上的最大值.

【答案】（I）7T;（II）1+^^,,.

【解析】(I)/(/)=，^sin(?+；),

2sin2[x+苧)=1—cos\2x+猙)=1—sin2c.

最小正周期為7T.

(II)/(])/(，+彳)=(sine+cosc)?y/2sin+])=\/^(sinN+cosa:)cosi=y/2(sinrreosa:+cos2!：)

=Pgsin2z+1+r2、)=sin(2力+孑)+

當(dāng)力￡[0,汨時(shí)，￡&2°+；&與，

當(dāng)2z+J=蔣時(shí)，即z=1時(shí)，沙=/3)/(。+丁)取得最大值1+庫(kù).

19.如圖，在四棱錐P—4BC。中，底面平行四邊形ABC。滿足48=1,BC=4,N48C=120°,

M,N是BC,CP的中點(diǎn)，且POLO。，PM1MD.P

(1)證明：ABA.PM；//\>\

(II)若P4=6豆，求直線AN與平面POM所成角的正弦值./C

【答案】(I)略；(II)圭祟.

224D

【解析】(I)證明：在△COM中，CD=1,CM=2,NDCM=60°,

由余弦定理得OM=V^，.-.CD2+DM2=CM2,DC1.DM.

又PDLDC,所以。CL平面POM,所以0CJ_PM.

又PM工DM,所以PM,平面COM,又ABU平面CDM,所以

(II)PA^y/15,AM^y/7,：.PM=2^2.

建系如圖，則M(0,0,0),P(0,0,2^/2),。(0,，5,0),4(-2,-A/3,0).

C(1,y/3,0)>所以N住,AN=仔■，制3,，^).

易知平面POM的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),

記直線AN與平面POM所成角為0,則

sin^|cos(n,修三迎=^=苧.

1\71㈤.|阿\/156

o

20.數(shù)列｛%｝滿足?=-7,且對(duì)于任意正整數(shù)〃有4S,,+i=3S“一9,其中S“為數(shù)列｛a“｝的前九項(xiàng)和.

(I)求數(shù)列位“｝的通項(xiàng)公式；

(II)若數(shù)列他,｝滿足3b“+(n—4)%,=0,記以為數(shù)列他｝的前n項(xiàng)和.若實(shí)數(shù)人滿足對(duì)于任意正整數(shù)

n,都有求》的取值范圍.

【答案】(I)%=-,用'%eN*)；(II)-3WAWL

927

【解析】(I)??”=一j.?.4$2=3$-9—&=一瑞.

當(dāng)幾22時(shí)，\45=3*/^-9,兩式相減得%+1=微冊(cè)，所以％=。2?("!")=一'(1

當(dāng)n=1時(shí)也成立,所以數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為源=-

(II)36?+(n—4)a?=0,/.bn=(n-4)

Q

—?％=-3?-—2-??,+(n-4)的

兩式相減得:

M7+停)+圖+-+(|)"-(n-4)(1)"

；i+i

所以，=-4〃

故-472停)—4)停)<=>-3n^A(n—4),

當(dāng)"<4時(shí)，.目，所以Z1；

當(dāng)門(mén)=4時(shí)，AGR；

3n?12

當(dāng)n>4時(shí)，入、-----=-3----------r所以Q-3,

4—n71—4

綜上：求交集得-3WAW1.

21、如圖，拋物線?/2=2也?的焦點(diǎn)為歹，準(zhǔn)線與下軸的交點(diǎn)為M,且|W|=2.

（I）求拋物線方程；

（】1）過(guò)F點(diǎn)作拋物線的弦43,若斜率為2的直線/與直線AM,MB,43,立軸依次交于點(diǎn)尸，Q,R,

N,且|NR『=|NP||NQ|,求直線/橫截距的范圍.

【答案】（I）y2=4x；

（II）（-8,-7-4通]付7+4通,1）0（1,+oo）.

【解析】（I）因?yàn)?2,即p=2,

所以拋物線方程為力=4,.

（II）設(shè)4（為，加），B（X2,心.

設(shè)直線48的方程為工=切+R,

代人力=4?得02—4切—4=0,

所以%+?2=4￡,%物=-4.

設(shè)直線/的方程為沙=2e+m（m^-2,否則點(diǎn)N、R、F重合）,

與直線43的方程/=3+1聯(lián)立，解得7?傳筆，"臺(tái)，又N（-%0）,

\1一Zt1-Zt/\Z/

所以|般|2=(勺2m\2(m+2\2{m+2I2/m+2\25(m+2)2

+--+ZZ-=

\1-2t2J+|.2(1-2OJ\l2i/4(l-2i)2

由點(diǎn)“（一1,0）、A（xt,協(xié)）得直線PM的方程為"=七7（z+1）,與沙=2c+m聯(lián)立,

化1IJL

(2-m)協(xié)_(2-m)協(xié)

解得加=

2/1+2—1/12切1+4—%同理把V換成火得私=2黑1;絳

.YNPWNQU陽(yáng)、/也=|-墨爛5+4]

5____________4(2_Tn.___________=___________5(2__)2____________5(2_m)2

4(2f—I)，*沙2+(8￡—4)(妨+〃2)+16(2t—1)2(—4)+(8f—4),4i+1616i2+12

.5(m+2)?=5(2—7n)2.(m+2)2_(1一2t產(chǎn)

?.?|NH|2=|NP|“NQI，'4'(1—21)2=16戶+12-,(m-2)2=4/2+3)

（1一2斤一21切+2丫(4

令l-2￡=s,則0<

4產(chǎn)+3s2-2s+4m-2/3

7-7+14

解得m214+8，3，或mW14—8，？，又因?yàn)榧用?2,

所以直線/在c軸上截距-y的取值范圍是（-oo,-7-4-/3]U[-7+4A/3,1）U（1,+00）.

22、已知函數(shù)/(立)=a*—匕/+e?(a>1,a;GR).

(1)討論/(力的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)b>2e2,/(⑼均有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

bInbp2

(3)若。=2,證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)b>e",/(/)有兩個(gè)零點(diǎn)為，x2(Xi<x^),且效>2e'2,.

解：(1)fl(x)=axlna—b.

當(dāng)〃WO時(shí),r(力>0,/3)在R上單調(diào)遞增;

當(dāng)6>0時(shí)，令/3)=0得i=log。白，又廣⑴在R上單調(diào)遞增，所以

當(dāng)力《(-8,時(shí)，r(①)<0，/(力)單調(diào)遞減，

當(dāng)￡￡(ioga\^,+oo)時(shí)，f(X)>O,/(4)單調(diào)遞增.

(2)b>2e"由(1)知，/(力在(-00,log。內(nèi)單調(diào)遞減，在(bga卜：［，+oc)內(nèi)單調(diào)遞增，

又當(dāng)￡T-OO時(shí)，fQ)—>+OO；當(dāng)6―>+OO時(shí)，f(N)T+OO,

所以要使對(duì)任意6>2e2,/(力有兩個(gè)零點(diǎn)，只需/(log./)V0,即告一2e2?log“告+e2Vo.

222f

上式看成關(guān)于b的函數(shù)g(b)=白"—2e-loga+e(&>2e),則/(6)=log。,g(lna)=0.

r

①當(dāng)InaWZe?時(shí)，b>lnafg(6)<0,g(6)在(2c?,+oo)上單調(diào)遞減，

2

Op八Op2

22

只需g(2c')<0,即］n〃—2e,logex+e<0,整理得一2—21n2+2Inina+Ina<0.

2

r

令lna=￡Q>0),g(￡)=21n￡+￡-2-21n2VO,g(t)=-+1>09

所以g⑴在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g(2)=0,所以力<2,即lnaV2,0<a<e2.

②當(dāng)hia>2e2時(shí)，g(b)在(24,In。)上單調(diào)遞增，在(山匹+oo)上單調(diào)遞減，

因?yàn)間Qna)=l+e2>0,不符合題意，舍去.

綜上可知，實(shí)數(shù)Q的取值范圍是(0,e2).

(3)f(x)=ex—bx+e2(J)>e4),f(x)=ex—b,令尸3)=0得c=ln［>lne4=4,

因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以/Q)在(-oo,Inb)內(nèi)單調(diào)遞減，在。iiK+oo)內(nèi)單調(diào)遞增，

又當(dāng)ZT?-OO時(shí)，/(/)—>+oo；當(dāng)+oo時(shí)，/(/)—>+oo,

2442

且/(4)=。4—4b+e<e—4e+e<0,所以f(力有兩個(gè)零點(diǎn)的,x2(xi<In6<效),

x2

因?yàn)?(電)=?的一甌2+。2=0,所以22=亍+}

要證/2>料為+竽，只需證：I〉絆J血，即證：記>粵燈,

/cuu/e/e

因?yàn)?(*)=e〃-b?+e2=0,所以bg=e"，+e2,所以只需證：e^>-^(e^'+e2),

又/(0)=l+e2>0,/(2)=2e2-26<2e2-2e4<0,所以0<電<2,e^'+e2<e2+e2=2e2,

故只需證6附>bln6,即證g>ln6+Inin6,因?yàn)閘n6+lnhi6>In6,所以只需證/(In6+Inin6)<0.

f()nb+Inin6)=eln6+,nln6-1(1皿+Inin6)+e2=-6Inin6+e2

<-e4Inlne4+e2=-e4ln4+e2<0,

證畢.

詢江7”

力二Qi

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\1-Klxt-(?("*)+ev/?&<o=g(w=卜幾十以4+<o勸￥2比'檄1.

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狗二e"-b,4?2，財(cái)《=?，

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記h6)=L(nb4，?/，町Ku尸-十一7二不~v。

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