平面向量的線性運算教學(xué)設(shè)計

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《平面向量的線性運算》復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)北師大版

XX交通大學(xué)其次附屬中學(xué)

劉正偉

§5.1平面向量的線性運算

知識與能力；過程與方法；情感、態(tài)度、價值觀；

1.把握向量加法，減法的運算，并理解其幾何意義；

2.把握向量數(shù)乘向量的運算及其幾何意義，理解向量共線的充要條件；

了解向量共線的含義，理解向量共線判定和性質(zhì)定理。

重點：理解并把握向量的線性運算及向量共線的充要條件；難點：向量的線性運算及向量共線的充要條件的應(yīng)用。

多媒體課件

啟發(fā)引導(dǎo)式；講練結(jié)合（一）．復(fù)習(xí)導(dǎo)入

問題：前面我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了的向量的有關(guān)概念，知道了向量是既有大小又有方向的量，物理中既有大小又有方向的量？學(xué)生：速度，加速度，位移，力

力可以合成也可以分解，那么向量怎么運算

那么我們今天一起回想向量的線性運算——板書課題（二）知識要點1.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a；加法求兩個向量和的運算(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c減法求兩個向量差的運算數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的(1)|λa|＝|λ||a|；1

＝a＋(b＋c)a－b＝a＋(－b)(1)λ(μa)＝(λμ)a；積的運算(2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向一致；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb2.向量共線的判定定理a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)λ.，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線．3.

1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最終一個向量終→→→——→→

點的向量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋?＋An－1An＝A1An，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．

→1→→

2．若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則OP＝(OA＋OB)．

2→→→

3.OA＝λOB＋μOC(λ，μ為實數(shù))，點A，B，C共線?λ＋μ＝1.

題型一平面向量的線性運算命題點1向量的線性運算

→→→→→

例2(1)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若點D滿足BD＝2DC，則AD等于()21A.b＋c3321C.b－c33

52B.c－b3312D.b＋c33

→→

(2)(2023·課標全國Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，若BC＝3CD，則()1→4→→

A.AD＝－AB＋AC

33→4→1→

C.AD＝AB＋AC

33答案(1)A(2)A

2

→1→4→B.AD＝AB－AC

33→4→1→

D.AD＝AB－AC

33

→→→→→→解析(1)∵BD＝2DC，∴AD－AB＝BD＝2DC→→＝2(AC－AD)，→→→∴3AD＝2AC＋AB，→2→1→21∴AD＝AC＋AB＝b＋c.

3333

→→→→→→

(2)∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，1→4→→→→→

即4AC－AB＝3AD，∴AD＝－AB＋AC.

33題型二

根據(jù)向量線性運算求參數(shù)

12→→

例2(1)設(shè)D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB

23→

＋λ2AC(λ1、λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．

→→

(2)在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且BC＝3CD，點O在線段CD上(與點C，→→→

D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，則x的取值范圍是()10，?A.??2?1

－，0?C.??2?1

答案(1)(2)D

2

→→→1→2→

解析(1)DE＝DB＋BE＝AB＋BC

231→2→→1→2→

＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC，2363121∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

632→→

(2)設(shè)CO＝y(tǒng)BC，→→→∵AO＝AC＋CO

→→→→→＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB)

10，?B.??3?1

－，0?D.??3?

3

→→＝－yAB＋(1＋y)AC.

→→

∵BC＝3CD，點O在線段CD上(與點C，D不重合)，10，?，∴y∈??3?

→→→∵AO＝xAB＋(1－x)AC，1

－，0?.∴x＝－y，∴x∈??3?

思維升華平面向量線性運算問題的常見類型及解題策略

(1)向量加法或減法的幾何意義．向量加法和減法均適合三角形法則．

(2)求已知向量的和．一般共起點的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．

(3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運算將向量表示出來，進行對比求參數(shù)的值．

如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩

→2→→1→→→

點，且交對角線AC于點K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，則λ的值為()

52

2222

A.B.C.D.9753答案A

→2→→1→解析∵AE＝AB，AF＝AD，

52→5→→→

∴AB＝AE，AD＝2AF.

2

由向量加法的平行四邊形法則可知，→→→AC＝AB＋AD，→→→→∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD)5→→AE＋2AF?＝λ??2?

4

5→→＝λAE＋2λAF，2

2

由E，F(xiàn)，K三點共線，可得λ＝，

9應(yīng)選A.

思想方法感悟提高

1．向量的線性運算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，做題時，要注意三角形法則

與平行四邊形法則的要素．向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點〞；

向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量〞；平行四邊形法則要素

是“起點重合〞．

→→

2．可以運用向量共線證明線段平行或三點共線．如AB∥CD且AB與CD不共線，則

→→

AB∥CD；若AB∥BC，則A、B、C三點共線

作業(yè)布置練出高分

1.步步高P241-242

2.預(yù)習(xí)平面向量基本定理及坐標表示