吉林省延邊州高三下學期4月教學質(zhì)量檢測（一模）數(shù)學（理）試題

延邊州2022年高三教學質(zhì)量檢測理科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設集合，，若，則實數(shù)a的取值集合為（）．A． B． C． D．2．i為虛數(shù)單位，，則正實數(shù)a＝（）．A．2 B． C． D．13．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，，，則A＝（）．A．45° B．30° C．45°或135° D．30°或150°4．“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》中對《易傳》“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解釋中華傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題．如圖是求“大衍數(shù)列”前n項和的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，輸入，則輸出的S＝（）．A．18 B．26 C．44 D．685．某校為了解學生體能素質(zhì)，隨機抽取了50名學生，進行體能測試，并將這50名學生的成績整理，得到頻率分布直方圖．根據(jù)此頻率分布直方圖，下列結(jié)論中不正確的是（）．A．這50名學生中成績在內(nèi)的人數(shù)占比為20％B．這50名學生中成績在內(nèi)的人數(shù)有26人C．這50名學生成績的中位數(shù)為70D．這50名學生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）6．已知定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）．A． B． C． D．7．已知雙曲線離心率為，若拋線的焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則拋物線的方程為（）．A． B．C． D．8．如圖，E是正方體棱的中點，F(xiàn)是棱上的動點，下列命題中：①若過CF的平面與直線EB垂直，則F為的中點；②存在F使得；③存在F使得的主視圖和側(cè)視圖的面積相等；④四面體EBFC的體積為定值．其中正確的是（）．A．①②④ B．①③ C．③④ D．①③④9．已知某簡諧振動的振動方程是，該方程的部分圖象如圖．經(jīng)測量，振幅為，圖中的最高點D與最低點E，F(xiàn)為等腰三角形的頂點，則振動的頻率是（）．A．0.125Hz B．0.25Hz C．0.4Hz D．0.5Hz10．2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶祝活動標識（圖1），標識由黨徽、數(shù)字“100”“1921”“2021”和56根光芒線組成，生動展現(xiàn)中國共產(chǎn)黨團結(jié)帶領(lǐng)中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程．其中“100”的兩個“0”設計為兩個半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個大圓外切（圖2）．已知，則在兩個大圓的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點取自兩大圓公共部分的概率為（）．A． B． C． D．11．若，，且，，則（）．A． B． C． D．12．設是1，2，3，4，5的一個排列，若對一切恒成立，就稱該排列是“交替”的．“交替”的排列的數(shù)目是（）．A．8 B．16 C．24 D．32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，若，則k＝______．14．設x，y滿足，則的取值范圍是______．15．已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；②1和3是函數(shù)的極值點；③當時，函數(shù)的值域是，則；④函數(shù)的零點至少有2個，至多有6個．其中，所有正確結(jié)論的序號是______．16．在矩形ABCD中，，，Q為CD邊上一點，將點D以AQ為軸旋轉(zhuǎn)至點P的位置，且點P在面ABC內(nèi)的投影恰為AC的中點O，則此時PO＝______，三棱錐的外接球的表面積為______．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：60分．17．（12分）這三個條件中任選一個，補充在下面題目條件中，并解答．①，，②，，③問題：已知數(shù)列的前n項和為，，且______．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知是，的等比中項，求數(shù)列的前n項和．18．（12分）某中學共有500名教職工，其中男教師300名、女教師200名．為配合“雙減政策”推行“5+2”課后服務．為緩解教師壓力，在2021年9月10日教師節(jié)大會上該校就是否實行“彈性上下班”進行了調(diào)查．另外，為鼓舞廣大教職工的工作熱情，該校評出了十位先進教師進行表彰，并從他們中間選出三名教師作為教師代表在教師節(jié)大會上發(fā)言．（1）調(diào)查結(jié)果顯示：有的男教師和的女教師支持實行“彈性上下班”制，請完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90％的把握認為支持實行“彈性上下班”制與教師的性別相關(guān)？支持實行“彈性上下班”制不支持實行“彈性上下班”制合計男教師女教師合計（2）已知十位先進教師是按“分層抽樣”的模式評選的，用X表示三位發(fā)言教師的女教師人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：19．（12分）在四棱錐中，平面ABCD，，，，，E是PA的中點，G在線段AB上，且滿足．（1）求證：平面PBC；（2）在線段PA上是否存在點H，使得GH與平面PGC所成角的正弦值是，若存在，求出AH的長；若不存在，請說明理由．20．（12分）已知拋物線和橢圓，過拋物線T的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，線段AB的中垂線交橢圓C于M，N兩點．（1）若F恰是橢圓C的焦點，求p的值；（2）若MN恰好被AB平分，求面積的最大值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的極值點個數(shù)；（2）若對任意的恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修44：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程；（2）若直線l與圓C的交點為A，B，與x軸的交點為P，求的值．23．[選修45：不等式選講]（10分）已知，，且．（1）求m的值；（2）設，若，求的最小值．2022高三教學質(zhì)量檢測模理科參考答案及評分標準1．C【解】，又，，則實數(shù)a的取值集合為，時不滿足集合的互異性．故選C．2．B【解】∵，∴，∴，∵，∴，故選B．3．A【解】中．．B=60°．由正弦定理得，，或135°，，可得，故選A．4．C【解】，，，，此時；，，，此時；，，，此時；，，，此時；，，，此時；，，，此時，結(jié)束程序，輸出結(jié)果為44，故選C．5．C【解】根據(jù)頻率分布直方圖，成績在內(nèi)的頻率為，所以A正確；這50名學生中，成績在內(nèi)的人數(shù)為，所以B正確；根據(jù)此頻率分布直方圖，可得這50名學生成績的中位數(shù)，所以C錯誤；根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計算公式，可得：，所以D正確．故選C．6．A【解】因為定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減且，所以，又，所以，而，所以，所以．故選A．7．C【解】由得，．雙曲線的漸近線方程為，拋物線的焦點是，它到直線的距離，．拋物線方程為．故選C．8．D【解】①當F為的中點，將CF平移至EM，則M為的四等分點，即，過M點作，設，則，，，所以，，，所以在中，，故，所以，所以過CF的平面與直線EB垂直，故①成立．②過作，易知Q為的中點，此時和相交，所以和BE異面，故②錯誤；③當F為時，的主視圖和側(cè)視圖的面積相等，故③成立；④因為，故面EBC，故上任一點到平面EBC距離相等，且的面積固定，故為定值的，故④正確；故選D．9．B【解】設該簡諧振動的周期為T，根據(jù)列方程求出T，進而可得頻率的值設該簡諧振動的周期為T，．因為DEEF則，解得T4∴．故選B．10．B【解】如圖所示，D是線段AB的中點，，，在中，，∴，，∴兩大圓公共部分的面積為：，∴該點取自兩大圓公共部分的概率為．故選B．11．A【解】因為，所以，因為，所以，即，所以．因為，，所以，因為，所以．所以．因為，，所以，所以．故選A．12．D【解】由已知得：當時，；當時，；當時，，所以“交替”數(shù)列需滿足，，，，或，，，，當，，，時，，取最大的兩個數(shù)4和5時，，，取1，2，3的全排列，所以共有的“交替”數(shù)列為個；，取3和5時，先取與3相鄰的數(shù)只能1和2，待與3相鄰的數(shù)取定后，與5相鄰的數(shù)只能是4，所以共有的“交替”數(shù)列為個，所以滿足，，，的“交替”數(shù)列共有個；同理，滿足，，，的“交替”數(shù)列有16個，所以“交替”的排列的數(shù)目是32，故選D．13．【解】由已知可得，因為，所以，解得．故答案為：．14．【解析】由題意得可行域為陰影部分，在取得最小值為2，無最大值，即的取值范圍為．15．②③④【解】當時，，則，令，得或3，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，作出函數(shù)的大致圖象，如下圖所示：對于①，由圖象得，在上先減后增，故①錯誤；對于②，由圖象得，是函數(shù)的極大值點，是函數(shù)的極小值點，故②正確；對于③，當時，令得，所以若當時，函數(shù)的值域為，則，故③正確；對于④，由，得函數(shù)的零點，等價于方程和方程的根的個數(shù)，即等價于和，與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，由圖象得與函數(shù)的圖象有2個交點，當時，與函數(shù)的圖象沒有交點，所以函數(shù)的零點有2個；當時，與函數(shù)的圖象有2個交點，所以函數(shù)的零點有2個；當時，與函數(shù)的圖象有4個交點，所以函數(shù)的零點有6個；當時，與函數(shù)的圖象有3個交點，所以函數(shù)的零點有5個；當時，與函數(shù)的圖象有2個交點，所以函數(shù)的零點有4個；所以函數(shù)的零點至少有2個，至多有6個，故④正確．故答案為：②③④．16．；【解】因為四邊形ABCD是矩形，，，所以，，所以，設外接球的球心為H，外接球的半徑為r，則，，即，所以，所以外接球的表面積為：，故答案為：；．17．解：（1）選條件①時，，，整理得，故（常數(shù)），所以數(shù)列是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．故（首項符合通項），故．選條件②時，，，整理得，故，故數(shù)列是等差數(shù)列，公差，故（首項符合通項），選條件③時，，所以數(shù)列是以2為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則時，．又，所以，．（2）由（1）得：，由于是，的等比中項，所以，則，故：．18．（1）依題意，男、女教師支持實行“彈性上下班”制的人數(shù)分別為200、120，完成列聯(lián)表如下：支持實行“彈性上下班”制不支持實行“彈性上下班”制合計男教師200100300女教師12080200合計320180500將數(shù)據(jù)代入公式，計算得．據(jù)此可知沒有90％的把握認為支持實行“彈性上下班”制與教師的性別相關(guān)．（2）依題意，在此十名先進教師中男教師6人、女教師4人，則X的可能取值為：0，1，2，3其概率分別為，，．隨機變量X的分布列如下：變量X0123概率P隨機變量X的數(shù)學期望為．19．（1）設F是PB的中點，連接CM，EM，因為E，M分別為PA，PB的中點，所以，，又因為，，所以，，所以四邊形EMCD為平行四邊形，所以，平面PBC，平面PBC，∴平面PBC．（2）由題意，因為平面ABCD，，，如圖，以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別是x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．則，而，易知，于是，又E是PA的中點，故，，，，，，，設點G坐標為，則，，由得，∴，設平面GPC的法向量為，，由得，令，則，，設，，∴，∴，∵GH與平面PGC所成角的正弦值為，∴，整理得：，解得：，（舍），∴存在滿足條件的點H，，且．20．解：（1）在橢圓中，，所以，因為F恰是橢圓C的焦點，所以，所以．（2）設直線，，，，，聯(lián)立，得，則，，則，故AB的中點坐標為，又因為MN恰好被AB平分，則，，直線MN的斜率等于，將M、N的坐標代入橢圓方程得：，，兩式相減得：，故，即直線MN的斜率等于，所以，解得，由AB的中點在橢圓內(nèi)，得，解得，因為，所以p的最大值是2，，則面積，所以，當時，面積的最大值是．21．（1）由題設知：的定義域為，，令，∵在上恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域為，①當時，在上恒成立，即，故在上單調(diào)遞增，無極值點；②當時，方程有唯一解為，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴是函數(shù)的極小值點，沒有極大值點．綜上，當時，無極值點，當時，函數(shù)只有1個極值點．（2）不等式對任意的恒成立，即對任意的恒成立，∴對任意的恒成立，記，則，記，則，易知在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，且，，∴存在，使得，且當時，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，即，故在上單調(diào)遞增，∴，即，又，故，即