基于落實(shí)核心素養(yǎng)的三角函數(shù)單元教學(xué)的探索與思考 論文

11基于落實(shí)核心素養(yǎng)的三角函數(shù)單元教學(xué)的探索與思考摘要：針對(duì)單元教學(xué)更有利于促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的現(xiàn)象，為了更好落實(shí)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的任務(wù)，本文以“三角函數(shù)”單元為例，利用大概念的理念，探索單元教學(xué)的一般流程以及對(duì)單元教學(xué)的思考.關(guān)鍵詞：?jiǎn)卧虒W(xué)核心素養(yǎng)大概念一、問題的背景礎(chǔ)上，進(jìn)一步優(yōu)化了課程結(jié)構(gòu),將高中課程內(nèi)容劃分為預(yù)備知識(shí)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)等主題,每個(gè)主題由聯(lián)系密切的幾個(gè)知識(shí)單元組成.要發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng),就需要我們教師對(duì)這些單元知識(shí)有一個(gè)整體、準(zhǔn)確、深刻的理解,這樣才能在日常教育教學(xué)中落實(shí)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求，保證課堂效率.大概念是指向?qū)W科核心內(nèi)容和教學(xué)核心任務(wù)、反映學(xué)科本質(zhì)的，能將學(xué)科關(guān)鍵思想和相關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來的特殊的概念.大概念不僅是知識(shí)概念，還可以是某種思想、某個(gè)觀點(diǎn)、某項(xiàng)主題.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)中強(qiáng)調(diào):“學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的達(dá)成是具有階段性、連續(xù)性、整體性等特點(diǎn)，教師不僅應(yīng)關(guān)注每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),更要關(guān)注主題、單元的教學(xué)目標(biāo).”由此可見，教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)要著眼于整個(gè)單元,要體現(xiàn)整體性、邏輯性、系統(tǒng)性,深入揭示單元內(nèi)知識(shí)之間的聯(lián)系與銜接.三角函數(shù)單元是人教A版新教材必修第一冊(cè)第五章的內(nèi)容，在教材中占有較大篇幅，本章內(nèi)容豐富，其中公式多，變形靈活，其整體性、邏輯性更強(qiáng)，因此也是學(xué)生普遍感覺學(xué)習(xí)比較困難的一章.為了幫助學(xué)生和教師更好把握這一章的教學(xué)重難點(diǎn)以及知識(shí)間的邏輯關(guān)系，下面我們以三角函數(shù)單元教學(xué)為例，22談?wù)剛€(gè)人的一些實(shí)踐與思考.二、單元內(nèi)容分析2.1知識(shí)層面三角函數(shù)單元是人教A版新教材必修第一冊(cè)第五章的內(nèi)容，根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求學(xué)生能借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念,體會(huì)引入弧度制的必要性;面幾何和代數(shù)運(yùn)算的相關(guān)知識(shí);探索、發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)恒等關(guān)系，為解決實(shí)際問題，借助三角函數(shù)知識(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型等.從具體章節(jié)上看，如表1.本單元具體章節(jié)安排本單元具體章節(jié)安排5.1任意角和弧度制5.2三角函數(shù)的概念5.3誘導(dǎo)公式5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.5三角恒等變換5.6函數(shù)y=Asn(x+)5.7三角函數(shù)的應(yīng)用表1結(jié)合這一章在新教材中的地位以及本章的內(nèi)容，我將本章其拆分為三個(gè)(I)概念單元:任意角和弧度制,三角函數(shù)的概念.本單元是概念單元，給出基礎(chǔ)的概念，為后續(xù)函數(shù)性質(zhì)研究、應(yīng)用提供概念支撐.(2)性質(zhì)單元:同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系（揭示同一角在不同函數(shù)下的內(nèi)在關(guān)系）,誘導(dǎo)公式（可以看作是一個(gè)任意角和一些特殊角之間的運(yùn)算）,三PAGEPAGE10角恒等變換（兩個(gè)甚至更多任意角之間的運(yùn)算）.本單元主要側(cè)重三角函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).(3)應(yīng)用單元:從實(shí)際問題抽象出函數(shù)y=Asin(wx+φ)的圖像與性質(zhì)，三角函數(shù)應(yīng)用.本單元側(cè)重于應(yīng)用.2.2思想方法層面三角函數(shù)章節(jié)作為利用幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算來研究的典范.在本章數(shù)學(xué)研究中，學(xué)生可以借助類比、特殊化、化歸等思想方法發(fā)現(xiàn)問題、解決問題.例如：通過類比長(zhǎng)度、質(zhì)量的度量單位引入弧度制；利用探究指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的思路來研究三角函數(shù)的性質(zhì)；在兩角和差的公式推導(dǎo)中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)化歸思想等，這些思想方法的理解有助于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和提高.2.3數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)層面課程標(biāo)準(zhǔn)中所提出的六大學(xué)科核心素養(yǎng)在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)是一個(gè)有機(jī)的整體,它們既相對(duì)獨(dú)立、又相互交融.教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)呈現(xiàn)內(nèi)容的不同,有所側(cè)重.例如：概念單元中從自然界的月亮圓缺變化、潮汐變化到物理中勻速圓周運(yùn)動(dòng)、單擺運(yùn)動(dòng)等周期性現(xiàn)象來構(gòu)建任意角概念,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象;在性質(zhì)單元推導(dǎo)誘導(dǎo)公式、進(jìn)行三角恒等變換側(cè)重發(fā)展學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算;在性質(zhì)單元學(xué)習(xí)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)側(cè)重發(fā)展學(xué)生的直觀想象,在運(yùn)用三角函數(shù)解決一些實(shí)際問題時(shí)側(cè)重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)等.三、學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)分析3.1對(duì)周期性現(xiàn)象的認(rèn)知自然界的月亮圓缺變化、潮汐變化等,物理中勻速圓周運(yùn)動(dòng)、單擺運(yùn)動(dòng)等，學(xué)生對(duì)于客觀世界中循環(huán)往復(fù)變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)可以作為學(xué)習(xí)三角函數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ).3.2以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累從平面幾何方面，初中對(duì)圓的性質(zhì)、圓中對(duì)稱問題的研究，使學(xué)生具有利用單位圓對(duì)稱性來探尋三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ).在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，對(duì)于研究函數(shù)的一般路徑和方法有了一定的經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成了對(duì)一般性問題的研究的良好習(xí)慣.3.3認(rèn)知困難分析在初中銳角三角函數(shù)的教學(xué)中，往往學(xué)生只關(guān)注的是三角函數(shù)值，到了高中階段,需要以函數(shù)的角度來認(rèn)識(shí)三角函數(shù).在三角函數(shù)內(nèi)容中，對(duì)應(yīng)關(guān)系不在以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介，而是“θ與x，y應(yīng)，學(xué)生在已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中沒有這種認(rèn)知，而且缺乏用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題的經(jīng)驗(yàn)，這是主要的學(xué)習(xí)難點(diǎn).四、單元教學(xué)的“主線索”我們教師需要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光看問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)思想.讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性和內(nèi)在邏輯性,數(shù)學(xué)知識(shí)不再是孤立的知識(shí)點(diǎn)的積累,而是圍繞基本概念的知識(shí)鏈命相互聯(lián)系的知識(shí)結(jié)構(gòu).有了前面研究基本初等函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，不難得到本章的學(xué)習(xí)思路為:實(shí)際問題（周期現(xiàn)象）——基本概念（角、弧度制、三角函數(shù)的概念）——公式、性質(zhì)——應(yīng)用（三角函數(shù)模型應(yīng)用）五、單元教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)核心素養(yǎng)是無法直接教授或習(xí)得的,它需要由數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體,在長(zhǎng)期潛移默化的熏陶中逐漸形成.就要求我們教師必須先理解所教知識(shí)的本質(zhì)，明白數(shù)學(xué)概念的背景,把握概念的邏輯意義,這樣才能設(shè)置合理的教學(xué)目標(biāo),促進(jìn)核心素養(yǎng)的落實(shí).因此，我們單元目標(biāo)分解成小單元目標(biāo)（表對(duì)應(yīng)的重難點(diǎn)（表3）.大單元教學(xué)目標(biāo)分解成小單元教學(xué)目標(biāo)（表2）概念單元(1)了解任意角的概念和弧度制;(2)理解三角函數(shù)的定義;性質(zhì)單元(3)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系;(4)推導(dǎo)誘導(dǎo)公式;(5)推導(dǎo)兩角差(和)的余弦公式;(6)推導(dǎo)其他恒等變換公式;(7)能進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換;(8)能畫出正弦、余弦、正切函數(shù)圖像，借助圖像理解性質(zhì);應(yīng)用單元(9)理解函數(shù)y=Asin(wx+φ)的圖像與性質(zhì);(10)利用三角函數(shù)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.表2小單元教學(xué)目標(biāo)對(duì)應(yīng)的子目標(biāo)以及重難點(diǎn)(表3)小單元目標(biāo)子目標(biāo)重難點(diǎn)（1）了解了解任意角，弧度制的概念;重點(diǎn):任意角的推廣，弧度與角任意角的能進(jìn)行弧度與角度的互化;了度的換算.概念和弧解弧度制下弧長(zhǎng)及扇形面積難點(diǎn):弧度的概念及引入的必要度制公式.性.(2)理解三利用單位圓來理解三角函數(shù)重點(diǎn):任意角三角函數(shù)的定義.|角函數(shù)的的定義.難點(diǎn):用角終邊的點(diǎn)坐標(biāo)刻畫三定義;角函數(shù).(3)理解同利用單位圓推導(dǎo)同角三角函重點(diǎn):同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.角三角函數(shù)的基本關(guān)系;數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系.難點(diǎn):三角恒等式的變形化簡(jiǎn).(4)推導(dǎo)誘導(dǎo)公式;借助單位圓的對(duì)稱性,利用定義推導(dǎo)誘導(dǎo)公式.重點(diǎn):誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程,運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值化簡(jiǎn).難點(diǎn):利用圓的對(duì)稱性來解釋誘導(dǎo)公式.(5)推導(dǎo)兩角差(和)的余弦公式;推導(dǎo)兩角差的余弦公式;推導(dǎo)兩角和的余弦公式.重點(diǎn):推導(dǎo)兩角差(和)的余弦公式.難點(diǎn):兩角差的余弦公式的探索與證明過程.(6)推導(dǎo)其他恒等變換公式;推導(dǎo)兩角差(和)的正弦公式;推導(dǎo)兩角差(和)的正切公式;推導(dǎo)二倍角公式;了解公式間的內(nèi)在聯(lián)系.重點(diǎn):由兩角差的余弦公式出發(fā)，推導(dǎo)其他兩角和差的公式.難點(diǎn):理解公式間的內(nèi)在聯(lián)系,為簡(jiǎn)單恒等變換做出鋪墊.(7)能進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換;能進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換,包括半角公式、積化和差、和差化積等重點(diǎn):學(xué)習(xí)三角變換的思路、方法.難點(diǎn):在三角變化過程中，掌握變換的能力.(8)能畫出正弦、余弦、正切借助單位圓能畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像;會(huì)利用“五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖;通過觀察重點(diǎn):正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像以及性質(zhì).難點(diǎn):正弦、余弦函數(shù)間的關(guān)系,函數(shù)圖像,借助圖像性質(zhì);[0,2π]圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì);借助圖π π像理解正切函數(shù)在（-2 2，上的性質(zhì).）周期(函數(shù))的意義.(9)理解函數(shù)y=Asin(wx+φ)的圖像與性質(zhì);能借助y=Asin(wx+φ)圖像理解參數(shù)A,w,φ的意義,了解參數(shù)的變化對(duì)圖像的影響.重點(diǎn):能借助y=Asin(wx+φ)圖像理解參數(shù)A,w,φ的意義,了解參數(shù)的變化對(duì)圖像的影響.難點(diǎn):圖像變換與A,w,φ參數(shù)的關(guān)系.(10)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.利用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;體會(huì)三角函數(shù)構(gòu)建描述周期變化的特點(diǎn).重點(diǎn):借助三角函數(shù)解決實(shí)際問題.難點(diǎn):將某些實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)模型.表3六、單元教學(xué)的建議單元教學(xué)的目標(biāo)是否實(shí)現(xiàn)，關(guān)系著核心素養(yǎng)是否能落實(shí).而目標(biāo)的落實(shí)需要我們精心設(shè)計(jì)合理的學(xué)習(xí)活動(dòng)，在活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).以下是筆者在實(shí)施單元教學(xué)中的幾點(diǎn)建議.6.1創(chuàng)設(shè)適應(yīng)性情境,激發(fā)學(xué)生探索問題是數(shù)學(xué)的心臟,因此核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)該落實(shí)在發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的過程之中.通過在適應(yīng)性的情境中探索，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光思考問題、解決問題.結(jié)合教材的設(shè)計(jì)理念，以下是對(duì)三角函數(shù)章節(jié)的引入：一、章節(jié)導(dǎo)入同學(xué)們，古代人常常將觀察到自然現(xiàn)象的變化寫入優(yōu)美詩(shī)詞中借以抒發(fā)自象的變化呢？隨后介紹月亮隨時(shí)間變化而發(fā)生圓缺變化的特點(diǎn)，潮汐現(xiàn)象以及物理學(xué)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)和單擺運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，引入周期性的概念.設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生熟悉的詩(shī)詞出發(fā)，回顧生活學(xué)習(xí)中的循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律，揭示周期性無處不在.結(jié)合之前所學(xué)的函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的模型，為引入本章的三角函數(shù)作出了鋪墊.二、情境引入問題1：鐘表慢了5分鐘，應(yīng)如何校準(zhǔn)？當(dāng)時(shí)間校準(zhǔn)后，分針旋轉(zhuǎn)了多少度？問題2：鐘表快了1.25小時(shí)，應(yīng)如何校準(zhǔn)？當(dāng)時(shí)間校準(zhǔn)后，分針旋轉(zhuǎn)了多少度？設(shè)計(jì)意圖：通過學(xué)生對(duì)熟悉的鐘表問題的思考，從運(yùn)動(dòng)的角度，旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)角，突破了學(xué)生已有角的范圍，導(dǎo)致學(xué)生的認(rèn)知沖突，迫切需要擴(kuò)大角的范圍.在這個(gè)情景中教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)：先確定分針的起始位置，再考慮旋轉(zhuǎn)方向，最后有旋轉(zhuǎn)量確定終止位置.這個(gè)過程旨在喚起學(xué)生初中角的動(dòng)態(tài)定義，找到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ).生活中還有哪些超過3600的角么？介紹里約奧運(yùn)會(huì)上陳艾森跳水勇奪10米臺(tái)金牌，以及齒輪旋轉(zhuǎn)過程中主動(dòng)輪和被動(dòng)輪上角的角的變化.設(shè)計(jì)意圖：從跳水的動(dòng)作名稱的介紹到齒輪工作時(shí)的旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生感受到想要準(zhǔn)確的描述這些現(xiàn)象，需要不僅需要知道旋轉(zhuǎn)量，而且還需知道旋轉(zhuǎn)方向，突顯角的概念推廣的必要性.在此過程中讓學(xué)生充分體會(huì)到角可以從00趨向無窮大，為角的規(guī)定作出了鋪墊.6.2圍繞目標(biāo)、重難點(diǎn)選擇合適的策略在弧度制課時(shí)設(shè)計(jì)中的一個(gè)難點(diǎn)就在于如何使學(xué)生體會(huì)到用弧長(zhǎng)半徑之比度量角度的合理性.結(jié)合學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知基礎(chǔ)，我從學(xué)生初中學(xué)過的弧長(zhǎng)公式l=nπr作為突破口，通過化簡(jiǎn)變形得到l=nπ，就可以發(fā)現(xiàn)弧長(zhǎng)lr

180與n之間的函數(shù)關(guān)系，對(duì)應(yīng)且是一一對(duì)應(yīng)的,進(jìn)而說明用弧長(zhǎng)半徑之比度量角度是合理的.在此過程中可以讓學(xué)生采用小組合作的方式完成數(shù)據(jù)的計(jì)算、表格的填寫以及最后的實(shí)踐活動(dòng),通過對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理、分析，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).6.3借助單位圓的輔助作用，提升學(xué)生直觀想象素養(yǎng)直觀想象是借助直觀的感知，利用對(duì)圖形的理解，解決問題的素養(yǎng).在本章中，任意角、三角函數(shù)定義、同角三角函數(shù)的關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)圖像和性質(zhì)都可以利用單位圓來理解.本章利用單位圓這一工具來研究三角函數(shù)的工具,加強(qiáng)整體性的同時(shí),提高教學(xué)質(zhì)量.例如:(1)借助單位圓直觀感知1弧度的大小;(2)借助單位圓定義三角函數(shù);(3)依靠單位圓發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)同角的兩個(gè)基本性質(zhì);(4)借助圓的幾何對(duì)稱來發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式;(5)利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性推導(dǎo)兩角和差角公式等等6.4利用多種有效評(píng)價(jià)幫助學(xué)生總結(jié)提高教學(xué)評(píng)價(jià)是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，反映出學(xué)生對(duì)于知識(shí)、技能、思想方法等的理解程度，因此有效的評(píng)價(jià)能讓教師了解學(xué)生的切實(shí)情況，更好幫助學(xué)生總結(jié)提高.在平時(shí)的教學(xué)中，采用形成性評(píng)價(jià)和總結(jié)性評(píng)價(jià)相結(jié)合的方式，利用不同形式的形成性評(píng)價(jià)，如數(shù)學(xué)寫作、實(shí)踐活動(dòng)、研究報(bào)告和小論文等多種形式，來測(cè)量學(xué)生的掌握程度.例如筆者在上完三角函數(shù)單元后，就安排班級(jí)的學(xué)生完成三角函數(shù)單元的思維導(dǎo)圖的任務(wù)，在思維導(dǎo)圖中能反映出同學(xué)對(duì)于三角函數(shù)單元中知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、公式間的邏輯關(guān)系的理解，從而了解學(xué)生能否從整體上把握這一章的內(nèi)容等.除了知識(shí)的掌握，在教學(xué)中，還要多關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的收獲、感悟等方面，多角度多維度去評(píng)價(jià)學(xué)生.例如：在任意角這節(jié)課的總結(jié)歸納環(huán)節(jié)，除了知識(shí)的掌握，還通過問題的解決，讓學(xué)生體會(huì)特殊到一般、化歸轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合等思想方法在解決問題中的作用，經(jīng)歷“現(xiàn)象與本質(zhì)”的關(guān)系.在總結(jié)性評(píng)價(jià)時(shí)，要結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的基礎(chǔ)，聚焦單元核心概念考查，落實(shí)發(fā)展核心素養(yǎng)的任務(wù)，利用大數(shù)據(jù)等現(xiàn)代化信息技術(shù)，幫助每個(gè)學(xué)生建立自己錯(cuò)題庫(kù)，彌補(bǔ)學(xué)習(xí)上的不足.單元教學(xué)的實(shí)施，能夠讓學(xué)生從整體上把握本章的內(nèi)容，理解章內(nèi)知識(shí)之間的聯(lián)系，通過精心設(shè)計(jì)的學(xué)生活動(dòng)，使學(xué)生掌握抽象數(shù)學(xué)對(duì)象、發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題的方法,以實(shí)現(xiàn)其