概率模型的確立基于樣本空間概念的教學思考 論文

概率模型的確立——基于樣本空間的概率教學的思考魏乃智(安徽省臨泉第一中學236400)摘要：一般把樣本點定義為隨機試驗的一個基本結果.在同一個試驗背景下，能否根據(jù)問題人為規(guī)定樣本點存在著爭議.本文圍繞爭議對象的定義，概念發(fā)展歷史，爭議的本質(zhì)，以及利用樣本點和基本事件兩個概念定義“結果”進而解決這些矛盾展開研究.在中學階段，圍繞樣本空間的概率教學，本文認為有必要重新區(qū)別定義基本事件和樣本點：對于同一個隨機試驗，將無論何觀測角度去觀測，都不能再分解的基本結果叫作樣本點，把在一定問題情境下不必再分解的基本結果叫作基本事件，基本事件看作是由樣本點映射而成的事件，基本事件的集合我們稱映射樣本空間或基本事件空間.這樣在同一個試驗背景下，樣本空間唯一確定下來，根據(jù)不同問題，我們可以在樣本空間基礎上找到合適的基本事件空間建立不同的概率模型以方便問題的解決.關鍵詞：基本事件樣本點樣本空間基本結果基本事件空間1古典概型計算的爭議建立不同的概率模型去計算某一個隨機事件的概率.一種觀點認為樣本空間是基于隨機實驗的，給定了隨機實驗，樣本空間就隨之而定.擲一次硬幣樣本空間則為{正面，反面}，拋一次骰子，則樣本空間則為{點數(shù)為1，點數(shù)為2，點數(shù)為3，點數(shù)為4，點數(shù)為5，點數(shù)為6}.6只有兩個樣本點，若把點數(shù)除3所得得余數(shù)看成一個基本結果，則樣本空間有3個樣本點.一般來說有爭議,找定義[1]，樣本空間的定義又是什么？2樣本點沒有統(tǒng)一定義北師大版必修3[2]舊版本中把試驗每一個可能的結果稱為基本事件.而在新《數(shù)學課程標準》[3]和本事件.類似定義也可見高等數(shù)學的教材[4]：點組成的集合稱為隨機事件，樣本空間中的單個元素組成的子集稱為基本事件。很多教材都是按照上述方式定義的.雖然定義了每一個可能的試驗結果為樣本點，但是并沒有定義什么才是試驗的結果？試驗結果是基于觀測者的角度還是試驗呈現(xiàn)的角度？能否人為規(guī)定？參見另一種定義，在《概率論及其應用》[5]一書，則認為樣本點猶如幾何中的點一樣是不定義的，而把不可分解的簡單事件（理想）試驗的每一個不可分解的結果可用一個且只能用一個樣本點來表示，試驗中一切事件都應可以用樣本點來表示.樣本點是隨機結果中不可分解的一個結果.這種定義方式可以使試驗結果以試驗而定下來.以擲一次骰子，結果只能是6個，從5個除顏色不同其它完全相同的小球摸出一球，無論顏色如何結果也都只能是5個，樣本點的個數(shù)是根據(jù)隨機試驗定下來了.3追本溯源，從概率起源看定義發(fā)展概率是研究偶然性、隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學理論,人們用概率表示來刻畫一個隨機事件發(fā)生的可必然性在之前都是屬于哲學的研究范疇.隨著14海運保險公司,人們開始利用隨機事件發(fā)生可能性進行決策研究.因是容易證明計算結果的概率.早期的概率計算是基于代數(shù)計算、排列組合等計數(shù)方法為主，這一時期拉斯給出的，他在《分析概率論》[8]中這樣描述：概率論的要義是：將同一類的所有事件都化簡為一定數(shù)目的等可能情況.即化簡到這樣的程度，我比就是欲求概率的測度.簡而言之，概率是一個分數(shù)，其分子是有利情況的數(shù)目，分母是所有可能情況的數(shù)目.《分析概率論》利用概率研究隨機事件的固有性質(zhì)，并建立了一套完整的理論體系，它左右了19世紀概率論的發(fā)展[9].拉普拉斯概率的定義規(guī)定了兩個先決條件：所有情況的發(fā)生是等可能的，所有可到等可能情況數(shù)目之比.而拉普拉斯的概率定義通常稱為概率的古典定義，而它只適用于古典概型的場合，我們把符合拉普拉斯兩個條件的概率模型稱為古典概型.這種概率的定義表述不足之處在于不夠清晰和嚴謹，并試圖把任何一個概率問題納入到可能模型中去研究.隨著概率應用范圍的增廣，人們逐步發(fā)現(xiàn)這種概率定義的局限性，隨后被嚴格的公理化的概率理論所取代.以俄國數(shù)學家柯爾莫哥洛夫發(fā)表概率公理化體系.而概率論的公理化體系一般認為都是在拉普拉斯概率體系的基礎上發(fā)展和逐步完善的，都旨在將隨機事件可能性轉化為概率的測度問題.可見，理解古典概型的相關問題對現(xiàn)代概率論的研究也具有重要意義.而理解古典概型的基本概念之一——樣本點就顯得至關重要.4.爭議的本質(zhì)是對“結果”的定義不夠清晰對于古典概型來說，樣本點是基于試驗結果定義的.筆者認為，之所以爭議樣本點能否認為規(guī)定原因在于“結果“沒有明確的定義.到底什么才是試驗的結果？至少有兩個層面，一個是試驗呈現(xiàn)的結果，還有一個是為解決問題，人為規(guī)定的一個結果，例如擲一次骰子，點數(shù)為1，點數(shù)為2，點數(shù)為3，點數(shù)為6奇數(shù)，偶數(shù)，同樣從有3個不可辯白球和23個白球和兩個黑球編號，將其按照可辯之球來看待，則試驗就有五個結果.而如何規(guī)定則取決于觀測角度，取決于要研究的問題.而如果試驗的結果是指不能再分解成其它事件的基本事件，則樣本點將隨著試驗而確定下來.5.概率論主要議題是概率的測度概率論的本質(zhì)也只是將常識歸結為計算[13].對于同一個隨機試驗，我們可以從不同的角度選擇把什問題.以口袋依次摸球為例，口袋中有3人依次摸球，求第二個人摸到白球的概率.將3個白球標記白3，黑球標記黑2，如果考慮5個人的摸球情況，把5個人的5摸球情況作為一個基本結果，則樣本空間共包含A55

=120個樣本點，而事件“第二個人摸到白球”包4含3A44

35=72個樣本點，故所得概率為P=120=.55若只把第二個人摸球情況看成一個基本結果，則共有53個樣本點，則所得概率為P=3.5不相干，甚至當它們可以辯別時，我們也可以作不辯別來處理.當我們具體討論一些具體問題時，到底是應用可辯別還是不可辯別的球的模型，則可以根據(jù)特定的目的和便利性來決定.也就是說樣本空間的確定可以根據(jù)問題來選擇，樣本空間確定后，理論才能開始登場.體系要求的，滿足于此則可以說樣本空間的選取是適恰的.試驗的結果取決于我們準備研究的模型，是可以基于問題的.從這個角度來說，根據(jù)研究的問題，選擇一個適合的觀測角度，確立樣本點是具有普遍意義的.在古典概型的計算中，在保證有限等可能的情況下應盡可能地選取最小樣本空間，這種選取最小樣本空間的思路是有廣泛意義的[7].6.樣本空間應與試驗有關而與問題無關問題本身無關，很隨意的構建樣本空間，會讓樣本空間的表達變得混亂.考慮兩個問題，以連續(xù)擲兩次果規(guī)定2為點數(shù)大于3的數(shù)，3為點數(shù)小于等于3于求解概率更會讓原本清晰的問題，因為樣本空間的表達不清變得混亂.另一方面觀測角度如果脫離隨機試驗基本背景，隨意確立樣本空間則會引發(fā)隨機性悖論.如圖1為圓心角為90°的扇形，AB為扇形的弦，C、D為AB的三等分點，在扇形內(nèi)隨機取一點P，求射線OP與線段相交的概率.如圖P在線段ABP在線段1BD上的可能性是相等的，則樣本空間共有三個樣本點，每個樣本點的概率為即射線OP與AC、CD、31DB相交的概率都是.3而事實上，如果結合試驗背景，是在扇形內(nèi)取隨機一點，射線OP與AC、CD、DB是否相交取決于點P是否出現(xiàn)在扇形區(qū)域OP與這三個線段相交取決于三個扇形區(qū)域的面S扇形AOE

∠AOE積.射線OP與線段AC相交的概率為P1=S扇形AOB=OP與線段CD相交的概率P2=S扇形EOFS扇形AOB

∠COD=∠AOE

=0.410，射線OP與線段DB相交的概率P3=

S扇形FOBS扇形AOB

∠COD=∠AOE=0.295.EPEPCFDA EPCFDO B O B圖1 圖2若不能明晰樣本空間的概念，隨意選取觀測角度確立樣本點，學生不易體會古典概型的等可能性，不能更好的把握古典概型的本質(zhì)，會對后面概率論的理解產(chǎn)生知識的負遷移.從概率的概念的發(fā)展歷史以及概率論的公理體系來看，爭議的兩種說法都有各自的合理性和普遍一個“結果”：那就是無論從哪個角度觀測，每一個基本結果都不再分解成其它的結果.而為了更方便的解決問題，我們可以重新選擇觀測角度，利用這些“結果”方便研究待解決的問題.那么如何定義這些結果呢？7利用樣本點和基本事件定義“結果”單元，基本事件是包含樣本點的集合.如果把樣本點和基本事件看成是同一概念，隨意規(guī)定基本事件則則會在求解隨機事件概率時變得刻板狹隘，有失靈活.人們往往把樣本點看成是最基本結果視之為一個元素，而基本事件則看成是樣本點的集合，所以我們可以把樣本點和基本事件分開看待.我們需要重新定義樣本點和基本事件來刻畫“結果”.類比幾何中最小單元便是點，屬無定義的概念.所有曲線和面都可看成點的集合.在同一個隨機試再分的一個可能結果，每次試驗只能出現(xiàn)其中的一種結果，其它所有事件都可以看成是這些結果的和，我們把這種結果，稱為一個樣本點，所有的樣本點的集合稱為樣本空間.例如從不辨的55在這5個球種不放回取球兩次，按有序處理20種結果，不能再分…，有了這個特征，樣本空間才能依據(jù)試驗定下來，不同模型也可通過樣本空間尋求關系.一定條件下不能再分的簡單事件.在問題情景中，所有隨機事件可以轉化為基本事件的并，由基本事件構成的基本事件空間可以理解為由樣本空間得到的導出樣本空間,樣本空間中每個樣本點都唯一對應一個基本事件，基本事件空間是樣本空間的映射樣本空間.證樣本空間依據(jù)試驗而定，又能再解決具體問題時可以根據(jù)問題情景重新確定基本事件和基本事件空間，也能通過找到基本事件和樣本點的關系方便賦概.參考文獻：24~25.[2]嚴士健.高中數(shù)學必修3課本教材教科書[M].北京：北京師范大學出版社,2013:131~135.[3]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2018：125~126.[4]茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社,2007:2~3.[5]（美）威廉.費勒；胡迪鶴譯.概率論及其應用[M].北京：人民郵電出版社.2014,第3版：7~11.[6]黃明珍.論概率定義的不斷完善過程[J].海南大學學報自然科學版,1990,8：60.[7]程學理.古典概型中樣本空間選取教學法探