人教A版（2023）必修第一冊2.2基本不等式 同步練習(xí)（含解析）

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一、單選題

1．若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）

A．2B．C．5D．

2．下列不等式恒成立的是（）

A．B．

C．D．

3．若x>1，則有（）

A．最小值1B．最大值1C．最小值-1D．最大值-1

4．若，則“”是“”的

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

5．若，則的最小值等于（）

A．0B．1C．2D．3

6．已知當(dāng)x=a時(shí)，代數(shù)式取得最小值b，則a+b=（）

A．-3B．2C．3D．8

7．已知，且，則的最小值為（）

A．3B．4C．5D．6

8．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（）

A．B．

C．D．

9．若實(shí)數(shù)滿足約束條件，且最大值為1，則的最大值為（）

A．B．C．D．

10．已知，，若，則的最小值是（）

A．2B．C．D．

11．若正數(shù)、滿足，若不等式的恒成立，則的最大值等于（）

A．B．C．D．

12．已知，則的最小值是（）

A．7B．C．4D．

13．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

A．，B．，

C．D．

14．關(guān)于的不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．

15．若，則下面結(jié)論正確的有（）

A．B．若，則

C．若，則D．若，則有最大值

二、填空題

16．若，則的最小值是___________.

17．若，則的最小值為____________．

18．已知正數(shù)滿足，則的最大值為____.

三、解答題

19．（1）用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？

（2）用一段長為的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？

20．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1．

（1）求的最小值；

（2）證明：＜．

21．運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元，而汽車每小時(shí)耗油升，司機(jī)的工資是每小時(shí)14元.

(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值.

22．某汽車公司購買了輛大客車用于長途客運(yùn)，每輛萬元，預(yù)計(jì)每輛客車每年收入約萬元，每輛客車第一年各種費(fèi)用約為萬元，從第二年開始每年比上一年所需費(fèi)用要增加萬元.

（1）寫出輛客車運(yùn)營的總利潤(萬元)與運(yùn)營年數(shù)的函數(shù)關(guān)系式：

（2）這輛客車運(yùn)營多少年，可使年平均運(yùn)營利潤最大？最大利潤是多少？

試卷第1頁，共3頁

試卷第1頁，共3頁

參考答案：

1．C

化簡，然后利用基本不等式求解即可

【詳解】

根據(jù)題意，若正實(shí)數(shù)，滿足，

則，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，

即的最小值為5；

故選：C

此題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

2．B

由基本不等式，可判定A不正確；由，可判定B正確；根據(jù)特例，可判定C、D不正確；

【詳解】

由基本不等式可知，故A不正確；

由，可得，即恒成立，故B正確；

當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故C不正確；

當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故D不正確.

故選：B.

3．A

將給定表達(dá)式整理變形，再利用基本不等式即可作答.

【詳解】

因x>1，則1，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.

所以有最小值為1.

故選：A

4．A

本題根據(jù)基本不等式，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出充分性成立，利用“特殊值法”，通過特取的值，推出矛盾，確定必要性不成立.題目有一定難度，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.

【詳解】

當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.

易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是基本不等式掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能靈活的應(yīng)用“賦值法”，通過特取的值，從假設(shè)情況下推出合理結(jié)果或矛盾結(jié)果.

5．D

將變形為，即可利用均值不等式求最小值.

【詳解】

因?yàn)?，所以，因?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值等于3.

故選：D.

6．C

由基本不等式求得最小值得及取最小值成立的條件得即可得結(jié)果．

【詳解】

令，由，得x+1>0，>0，

所以由基本不等式得，

當(dāng)且僅當(dāng)x+1=，即(x+1)2=9，即x+1=3，即x=2時(shí)取等號，所以a=2，b=1，a+b=3.．

故選：C

7．C

依題意可得，則，再利用基本不等式計(jì)算可得；

【詳解】

解：因?yàn)榍遥?，所?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號；

所以的最小值為

故選：C

利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方

8．D

根據(jù)圖形，求出圓的半徑以及.再利用勾股定理求得,結(jié)合直角三角形的直角邊長小于斜邊長，可得答案.

【詳解】

設(shè)，可得圓的半徑為，

又由，

在直角中，可得，

因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號．

故選：D.

9．A

首先畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義得到，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得到的最大值.

【詳解】

由題知不等式組表示的可行域如下圖所示：

目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，

由圖易得，直線在時(shí)，軸截距最大.

所以.

因?yàn)?，即?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取“”.

故選：A

本題主要考查基本不等式求最值問題，同時(shí)考查了線性規(guī)劃，屬于中檔題.

10．C

將，轉(zhuǎn)化為，由，利用基本不等式求解.

【詳解】

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，

故選：C

11．A

由已知得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的最大值.

【詳解】

已知正數(shù)、滿足，可得，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，的最小值為，.

因此，實(shí)數(shù)的最大值為.

故選：A.

結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

12．D

由“1”的妙用和基本不等式可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)椋?/p>

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立.

結(jié)合可知，當(dāng)時(shí)，有最小值.

故選：D.

13．D

由題意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得的不等式，解不等式可得范圍．

【詳解】

正實(shí)數(shù)，滿足，

，

當(dāng)且僅當(dāng)即且時(shí)取最小值8，

恒成立，，

解關(guān)于的不等式可得

故選：．

本題考查基本不等式求最值，涉及恒成立問題和不等式的解法，屬中檔題．

14．D

由題意可知，是不等式解集的一個(gè)真子集，然后對與的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，求得不等式的解集，利用集合的包含關(guān)系可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

【詳解】

由題可知是不等式的解集的一個(gè)真子集.

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，

，合乎題意；

當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，

由題意可得，此時(shí).

綜上所述，.

故選：D.

本題考查利用充分不必要條件求參數(shù)，同時(shí)也考查了一元二次不等式的解法，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

15．B

對于選項(xiàng)ABD利用基本不等式化簡整理求解即可判斷，對于選項(xiàng)C取特值即可判斷即可.

【詳解】

對于選項(xiàng)A：若，

由基本不等式得，即，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；所以選項(xiàng)A不正確；

對于選項(xiàng)B：若，

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)且，

即時(shí)取等號，所以選項(xiàng)B正確；

對于選項(xiàng)C：由，

，

即，

如時(shí)，，所以選項(xiàng)C不正確；

對于選項(xiàng)D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等

則有最大值，所以選項(xiàng)D不正確；

故選：B

16．

由，結(jié)合基本不等式即可.

【詳解】

因?yàn)椋裕?/p>

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號成立.

故的最小值為，

故答案為：

17．

兩次利用基本不等式即可求出.

【詳解】

，

，

當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號成立，

所以的最小值為.

故答案為：.

18．

先根據(jù)條件結(jié)合基本不等式求解出，然后利用基本不等式可求的最大值.

【詳解】

因?yàn)?，所以，即?/p>

因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，

解得；

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

取到最大值.

故答案為：.

19．（1）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，最短籬笆的長度為；（2）當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，最大面積是.

設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.

（1）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形周長的最小值，由等號成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結(jié)論；

（2）由題意得出，利用基本不等式可求出矩形面積的最大值，由等號成立的條件可得出矩形的邊長，從而可得出結(jié)論.

【詳解】

設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為、，籬笆的長度為.

（1）由已知得，由，可得，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立.

因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為；

（2）由已知得，則，矩形菜園的面積為.

由，可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立.

因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為的正方形時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是.

本題考查基本不等式的應(yīng)用，在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，充分利用“積定和最小，和定積最大”的思想求解，同時(shí)也要注意等號成立的條件，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20．（1）；（2）證明見解析.

（1）利用基本不等式即可求得最小值；

（2）關(guān)鍵是配湊系數(shù)，進(jìn)而利用基本不等式得證．

【詳解】

（1），

當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號，

故的最小值為；

（2）證明：

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)a+b≠1．

故＜．

本題主要考查利用基本不等式求和的最小值，以及利用基本不等式證明不等式，屬基礎(chǔ)題.

21．(1)y＝＋x，x∈[50，100](或y＝＋x，x∈[50，100]).(2)當(dāng)x＝18千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26元.

（1）先確定所用時(shí)間，再乘以每小時(shí)耗油與每小時(shí)工資的和得到總費(fèi)用表達(dá)式，（2）利用基本不等式求最值即得結(jié)果.

【詳解】

(1)設(shè)所用時(shí)間為t＝(h)，

y＝×2×＋14×，x∈[50，100].

所以，這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y＝＋x，x∈[50，100]

(或y＝＋x，x∈[50，100]).

(2)y＝＋x≥26，

當(dāng)且僅當(dāng)＝x，

即x＝18時(shí)等號成立.

故當(dāng)x＝18千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用的值為26元.

本題考查函數(shù)解析式以及利用基本不等式求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.

22．（1