甘肅省蘭州五十八中高二上學期期末數(shù)學試卷（理科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2016-2017學年甘肅省蘭州五十八中高二（上）期末數(shù)學試卷(理科）一、選擇題（每小題5分共60分）1．設(shè)P是橢圓上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點，若｜PF1｜等于4，則|PF2|等于（）A．22 B．21 C．20 D．132．設(shè)命題甲：ax2+2ax+1＞0的解集是實數(shù)集R；命題乙：0＜a＜1，則命題甲是命題乙成立的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．拋物線y=﹣4x2的焦點坐標是(）A．(0，﹣1） B．（﹣1，0) C．(0，﹣） D．（﹣,0）4．已知雙曲線C：﹣=1的離心率e=，且其右焦點為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為(）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=15．已知命題p：存在實數(shù)x使sinx=成立，命題q:x2﹣3x+2＜0的解集為（1，2）．給出下列四個結(jié)論:①“p且q”真,②“p且非q”假,③“非p且q”真，④“非p或非q”假,其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．②④6．若方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（)A．（0,+∞) B．（0,2） C．(1，+∞） D．（0，1)7．已知拋物線的頂點在原點,焦點在y軸負半軸上，拋物線上的點P(m，﹣2）到焦點的距離為4，則m的值為（）A．4 B．﹣2 C．4或﹣4 D．12或﹣28．橢圓上一點P到左焦點的距離為，則P到右準線的距離為（）A． B． C． D．9．已知F1、F2為雙曲線C:x2﹣y2=1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2=60°，則｜PF1|?|PF2｜=（）A．2 B．4 C．6 D．810．橢圓上的點到直線的最大距離是(）A．3 B． C． D．11．已知橢圓E：+=1(a＞b＞0）的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x﹣4y=0交橢圓E于A，B兩點，若|AF|+|BF|=4，點M到直線l的距離不小于,則橢圓E的離心率的取值范圍是(）A．（0，] B．（0，］ C．[，1) D．［,1）12．過拋物線y2=4x的焦點F作直線l交拋物線于A，B兩點，若=,則直線l的傾斜角θ（0＜θ＜）等于（）A． B． C． D．二、填空題（每小題5分共20分）13．若拋物線y2=2px（p＞0)的準線經(jīng)過雙曲線x2﹣y2=1的一個焦點，則p=．14．過橢圓+=1內(nèi)一點M（2，1)引一條弦，使得弦被M點平分，則此弦所在的直線方程為．15．若命題“?x∈［﹣1，1]，1+2x+a?4x＜0”是假命題,則實數(shù)a的最小值為．16．平面直角坐標系xOy中，雙曲線C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線C2：x2=2py(p＞0）交于點O，A，B，若△OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為．三、解答題（本大題共6小題，第17題10分，第18-22題每題12分）17．設(shè)直線y=x+b與橢圓相交于A，B兩個不同的點．（1）求實數(shù)b的取值范圍；（2）當b=1時，求．18．給出兩個命題:命題甲：關(guān)于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2≤0的解集為?，命題乙：函數(shù)y=（2a2﹣a）x為增函數(shù)．分別求出符合下列條件的實數(shù)a的范圍．（1)甲、乙至少有一個是真命題；（2）甲、乙中有且只有一個是真命題．19．在平面直角坐標系xOy中，原點為O，拋物線C的方程為x2=4y，線段AB是拋物線C的一條動弦．（1）求拋物線C的準線方程和焦點坐標F；（2）若，求證：直線AB恒過定點．20．如圖，已知雙曲線的右焦點F，點A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標原點）．求雙曲線C的方程．21．已知A（﹣2，0)、B（2，0），點C、點D依次滿足．（1)求點D的軌跡方程；(2）過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點，線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與點D的軌跡相切，求該橢圓的方程．22．已知橢圓E：+=1(a＞b＞0)過點，且離心率e為．（1)求橢圓E的方程；(2）設(shè)直線x=my﹣1(m∈R）交橢圓E于A，B兩點,判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

2016—2017學年甘肅省蘭州五十八中高二（上)期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分共60分）1．設(shè)P是橢圓上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點，若|PF1|等于4，則｜PF2|等于(）A．22 B．21 C．20 D．13【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由已知條件，利用｜PF1|+|PF2|=2a，能求出結(jié)果．【解答】解：∵P是橢圓上一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點，｜PF1|等于4，∴｜PF2｜=2﹣|PF1|=26﹣4=22．故選A．2．設(shè)命題甲:ax2+2ax+1＞0的解集是實數(shù)集R；命題乙:0＜a＜1，則命題甲是命題乙成立的(）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；一元二次不等式的解法．【分析】利用充分必要條件的判斷方法判斷兩命題的推出關(guān)系，注意不等式恒成立問題的處理方法．【解答】解:ax2+2ax+1＞0的解集是實數(shù)集R①a=0，則1＞0恒成立②a≠0,則，故0＜a＜1由①②得0≤a＜1．即命題甲?0≤a＜1．因此甲推不出乙，而乙?甲，因此命題甲是命題乙成立的必要非充分條件．故選B．3．拋物線y=﹣4x2的焦點坐標是(）A．（0，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0,﹣） D．（﹣,0）【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】將拋物線方程化為標準方程，確定p的值,即可得到結(jié)論．【解答】解：拋物線y=﹣4x2可化為∵2p=，∴∴拋物線y=﹣4x2的焦點坐標是故選C．4．已知雙曲線C：﹣=1的離心率e=，且其右焦點為F2（5，0），則雙曲線C的方程為(）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】利用已知條件，列出方程,求出雙曲線的幾何量，即可得到雙曲線方程．【解答】解：雙曲線C:﹣=1的離心率e=，且其右焦點為F2（5，0）,可得：,c=5,∴a=4,b==3,所求雙曲線方程為：﹣=1．故選：C．5．已知命題p:存在實數(shù)x使sinx=成立，命題q：x2﹣3x+2＜0的解集為(1，2）．給出下列四個結(jié)論：①“p且q”真，②“p且非q”假,③“非p且q”真，④“非p或非q”假，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．②④【考點】復合命題的真假．【分析】先判斷命題p為假，命題q為真，再利用命題之間的關(guān)系判斷復合命題即可．【解答】解:∵sinx=＞1∴命題p為假命題,非p為真命題又命題q：x2﹣3x+2＜0的解集為(1，2）是真命題，非q為假命題根據(jù)復合命題的真值表：∴p且q為假命題故①不正確p且非q為假命題故②正確非p且q為真命題故③正確非p或非q為假命題故④不正確故選C6．若方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（）A．（0，+∞) B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）【考點】橢圓的定義．【分析】先把橢圓方程整理成標準方程，進而根據(jù)橢圓的定義可建立關(guān)于k的不等式，求得k的范圍．【解答】解:∵方程x2+ky2=2，即表示焦點在y軸上的橢圓∴故0＜k＜1故選D．7．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸負半軸上，拋物線上的點P（m,﹣2）到焦點的距離為4，則m的值為（）A．4 B．﹣2 C．4或﹣4 D．12或﹣2【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的標準方程，進而得到p的值確定拋物線的方程,再將p點坐標代入可求出m的值．【解答】解：設(shè)標準方程為x2=﹣2py(p＞0），由定義知P到準線距離為4，故+2=4，∴p=4，∴方程為x2=﹣8y，代入P點坐標得m=±4．故選C．8．橢圓上一點P到左焦點的距離為，則P到右準線的距離為（）A． B． C． D．【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)P(x0，y0)，由題意可得｜PF1|=a+ex0=3，解得x0．再利用P到右準線的距離d=﹣x0即可得出．【解答】解:設(shè)P（x0，y0），由橢圓上一點P到左焦點F1的距離為，即｜PF1|=a+ex0=，∴a=，e=解得x0=﹣．=3，∴P到右準線的距離d=3=．故選:C．9．已知F1、F2為雙曲線C：x2﹣y2=1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2=60°，則｜PF1|?|PF2｜=（)A．2 B．4 C．6 D．8【考點】雙曲線的定義;余弦定理．【分析】解法1,利用余弦定理及雙曲線的定義,解方程求|PF1|?｜PF2｜的值．解法2，由焦點三角形面積公式和另一種方法求得的三角形面積相等，解出｜PF1｜?|PF2｜的值．【解答】解:法1．由雙曲線方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=∴|PF1|?｜PF2|=4．法2;由焦點三角形面積公式得：∴|PF1｜?|PF2|=4；故選B．10．橢圓上的點到直線的最大距離是(）A．3 B． C． D．【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題;點到直線的距離公式．【分析】設(shè)橢圓上的點P（4cosθ,2sinθ)，由點到直線的距離公式，計算可得答案．【解答】解:設(shè)橢圓上的點P（4cosθ,2sinθ）則點P到直線的距離d=；故選D．11．已知橢圓E：+=1(a＞b＞0）的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l:3x﹣4y=0交橢圓E于A，B兩點，若|AF｜+｜BF｜=4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是()A．(0，］ B．（0，] C．［，1） D．[,1）【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】如圖所示，設(shè)F′為橢圓的左焦點，連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形,可得4=|AF|+|BF｜=｜AF′｜+｜BF｜=2a．取M（0，b），由點M到直線l的距離不小于，可得，解得b≥1．再利用離心率計算公式e==即可得出．【解答】解：如圖所示，設(shè)F′為橢圓的左焦點,連接AF′，BF′，則四邊形AFBF′是平行四邊形,∴4=｜AF｜+|BF|=｜AF′|+｜AF|=2a，∴a=2．取M(0，b），∵點M到直線l的距離不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．∴橢圓E的離心率的取值范圍是．故選:A．12．過拋物線y2=4x的焦點F作直線l交拋物線于A，B兩點，若=,則直線l的傾斜角θ（0＜θ＜)等于（）A． B． C． D．【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】方法一．設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程,利用韋達定理表示出x2﹣x1，根據(jù)拋物線的性質(zhì)表示丨AF丨，丨BF丨，由題意可知求得k的值，求得傾斜角θ；方法二，由拋物線焦點弦的性質(zhì)+=1，與=，求得丨AF丨，丨BF丨，丨AB丨=即可求得傾斜角θ．【解答】解：方法一：由題意可得直線AB的斜率k存在設(shè)A（x1,y1）B（x2，y2），F(xiàn)（1,0)則可得直線AB的方程為y=k(x﹣1)聯(lián)立方程，整理可得k2x2﹣2（k2+2)x+k2=0∴x1+x2=，x1x2=1∴x2﹣x1==，∵=﹣===，∴解得：k=或k=﹣,∵0＜θ＜,∴k=，∴θ=,故選B．方法二：由拋物線的焦點弦性質(zhì)，+==1，由=，解得：丨AF丨=,丨BF丨=4,∴丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨===，解得：sinα=,∵θ=，故選B．二、填空題(每小題5分共20分）13．若拋物線y2=2px(p＞0)的準線經(jīng)過雙曲線x2﹣y2=1的一個焦點，則p=2．【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦點，得到拋物線y2=2px的準線,依據(jù)p的意義求出它的值．【解答】解：雙曲線x2﹣y2=1的左焦點為（﹣，0），故拋物線y2=2px的準線為x=﹣，∴=，∴p=2，故答案為：2．14．過橢圓+=1內(nèi)一點M（2,1）引一條弦，使得弦被M點平分，則此弦所在的直線方程為x+2y﹣4=0．【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意可得，兩式相減，結(jié)合中點坐標公式可求直線的斜率,進而可求直線方程【解答】解：設(shè)直線與橢圓交于點A,B,設(shè)A（x1，y1)，B（x2，y2）由題意可得，兩式相減可得由中點坐標公式可得，,==﹣∴所求的直線的方程為y﹣1=﹣(x﹣2）即x+2y﹣4=0故答案為x+2y﹣4=015．若命題“?x∈［﹣1，1]，1+2x+a?4x＜0”是假命題，則實數(shù)a的最小值為﹣6．【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】依題意，“?x0∈［﹣1,1］，使得1+2x0+a?4x0≥0成立，分離a，利用配方法與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得實數(shù)a的最小值．【解答】解:∵命題“?x∈[﹣1,1]，1+2x+a?4x＜0”是假命題，∴?x0∈［﹣1,1］,使得1+2x0+a?4x0≥0成立,令=t，∴,g（t）=﹣（t2+t)．則a≥g（t）min．g（t)=﹣（t+)2+≤﹣6，∴a≥﹣6，∴實數(shù)a的最小值為﹣6．故答案為﹣6．16．平面直角坐標系xOy中,雙曲線C1：﹣=1（a＞0，b＞0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py（p＞0)交于點O，A，B,若△OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為．【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出A的坐標，可得=，利用△OAB的垂心為C2的焦點，可得×（﹣)=﹣1，由此可求C1的離心率．【解答】解：雙曲線C1:﹣=1（a＞0，b＞0)的漸近線方程為y=±x，與拋物線C2：x2=2py聯(lián)立，可得x=0或x=±，取A(,),設(shè)垂心H（0，），則kAH==,∵△OAB的垂心為C2的焦點，∴×(﹣）=﹣1,∴5a2=4b2，∴5a2=4（c2﹣a2）∴e==．故答案為:．三、解答題（本大題共6小題,第17題10分，第18—22題每題12分)17．設(shè)直線y=x+b與橢圓相交于A，B兩個不同的點．(1）求實數(shù)b的取值范圍；（2）當b=1時，求．【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】(1）由直線y=x+b與由2個交點可得方程有2個不同的解，整理得3x2+4bx+2b2﹣2=0有2個解△=16b2﹣12（2b2﹣2)＞0，解不等式可求（2）設(shè)A（x1，y1)，B（x2，y2），當b=1時，可求A,B的坐標,代入公式=可求或利用弦長公式【解答】解：(1）將y=x+b代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b2﹣2=0．①…因為直線y=x+b與橢圓相交于A，B兩個不同的點，∴△=16b2﹣12（2b2﹣2）=24﹣8b2＞0∴（2)設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2）,當b=1時，方程①為3x2+4x=0．…解得．此時∴==（利用弦長公式也可以）18．給出兩個命題：命題甲：關(guān)于x的不等式x2+（a﹣1)x+a2≤0的解集為?,命題乙：函數(shù)y=(2a2﹣a）x為增函數(shù)．分別求出符合下列條件的實數(shù)a的范圍．（1）甲、乙至少有一個是真命題；（2）甲、乙中有且只有一個是真命題．【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可以求出命題甲：關(guān)于x的不等式x2+(a﹣1）x+a2≤0的解集為?為真命題時，a的取值范圍A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)的關(guān)系，可以求出命題乙：函數(shù)y=（2a2﹣a）x為增函數(shù)為真命題時，a的取值范圍B．（1）若甲、乙至少有一個是真命題，則A∪B即為所求（2)若甲、乙中有且只有一個是真命題，則（A∩CUB）∪（CUA∩B）即為所求．【解答】解：若命題甲：關(guān)于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集為?為真命題則△=（a﹣1）2x﹣4a2=﹣3a2﹣2a+1＜0即3a2+2a﹣1＞0，解得A=｛a｜a＜﹣1，或a＞}若命題乙:函數(shù)y=（2a2﹣a）x為增函數(shù)為真命題則2a2﹣a＞1即2a2﹣a﹣1＞0解得B={a｜a＜﹣，或a＞1｝(1）若甲、乙至少有一個是真命題則A∪B={a｜a＜﹣或a＞}；(2）若甲、乙中有且只有一個是真命題（A∩CUB）∪（CUA∩B）=｛a｜＜a≤1或﹣1≤a＜﹣}．19．在平面直角坐標系xOy中，原點為O,拋物線C的方程為x2=4y，線段AB是拋物線C的一條動弦．（1）求拋物線C的準線方程和焦點坐標F；(2）若，求證：直線AB恒過定點．【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】(1）利用拋物線C的方程為x2=4y，真假寫出準線方程，焦點坐標．(2）設(shè)直線AB方程為y=kx+b，A（x1，y1)，B（x2，y2），聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理以及，求出b，得到直線方程，然后求出定點坐標．【解答】解：（1）拋物線C的方程為x2=4y,可得準線方程：y=﹣1焦點坐標:F（0，1)（2)證明：設(shè)直線AB方程為y=kx+b，A（x1,y1），B（x2，y2)聯(lián)立得x2﹣4kx﹣4b=0，∴，，∴x1x2=﹣8,∴﹣4b=﹣8,b=2，直線y=kx+2過定點（0，2）．20．如圖，已知雙曲線的右焦點F，點A，B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB，BF∥OA（O為坐標原點)．求雙曲線C的方程．【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)F（c，0），通過，直線OB方程為，直線BF的方程為，解得B的坐標，求出A的坐標，然后求出AB的斜率，利用AB⊥OB,求出a2=3，即可得到雙曲線C的方程．【解答】解：設(shè)F（c，0)，因為b=1，所以,直線OB方程為，直線BF的方程為，解得又直線OA的方程為，則．又因為AB⊥OB，所以，解得a2=3，故雙曲線C的方程為．21．已知A（﹣2，0）、B（2，0）,點C、點D依次滿足．（1)求點D的軌跡方程；（2）過點A作直線l交以A、B為焦點的橢圓于M、N兩點，線段MN的中點到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與點D的軌跡相切,求該橢圓的方程．【考點】軌跡方程；橢圓的標準方程．【分析】（1）設(shè)C、D點的坐標分別為C（x0，y0），D（x,y），欲求點D的軌跡方程，即尋找x，y之間的關(guān)系式，利用向量間的關(guān)系求出P點的坐標后代入距離公式即可得；（2）設(shè)橢圓方程為，根據(jù)圓的切線性質(zhì)及中點條件，利用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)a,b即可．【解答】解：（1)設(shè)C、D點的坐標分別為C（x0，y0），D(x,y），則)，，則，故．又代入中,整理得x2+y2=1，即為所求點D的軌跡方程．（2）易知直線l與x軸