腸道內(nèi)窺檢查中曲線擬合方法的研究

腸道內(nèi)窺檢查中曲線擬合方法的研究

內(nèi)窺鏡檢查是腸道疾病的重要診斷和治療手段。在顯微鏡下，內(nèi)窺鏡穿過直腸、乙狀結(jié)腸、結(jié)腸、橫腸、升腸和腸道的開始。由于腸道組織非常脆弱，形狀復(fù)雜，每個段都有很大的彎曲，因此檢驗醫(yī)生無法直接觀察窗口的彎曲形狀。因此，打開窗口是困難的。尤其是當(dāng)患者的腸道因病變而異?；蛞蚴中g(shù)而發(fā)生變化時，這不僅會增加對內(nèi)窺鏡的介入，還會使顯微鏡體難以旋轉(zhuǎn)和分解，但醫(yī)生很難識別。據(jù)統(tǒng)計，腸內(nèi)鏡檢查的穿孔率為0.2.2%。因此，如果能將患者放在內(nèi)窺鏡中，并顯示顯微鏡的形狀，則可以最大限度地減少干預(yù)的盲目性，提高檢查的安全性。鏡體形狀的顯示方法取決于鏡體形狀信息的采集方式.可以在人體外設(shè)置信號源,而在鏡體的多個部位設(shè)置相應(yīng)的信號傳感器,根據(jù)信號的差異來確定傳感器的位置和鏡體的形狀;也可以僅僅在鏡體多個部位設(shè)置角度傳感器或其他傳感器,用特殊的方法來確定鏡體的形狀.鑒于內(nèi)窺鏡里空間狹小并有多種檢查器械和手術(shù)器械,因此對附加的傳感器有嚴(yán)格的尺寸限制.由于線應(yīng)變傳感器技術(shù)成熟,尺寸小,種類多,因此采用合適的線應(yīng)變傳感器附置于鏡體上是可行的選擇.雖然曲線擬合有不少成熟的方法,但根據(jù)鏡體上的線應(yīng)變來進(jìn)行擬合,卻需要研究一套相應(yīng)的根據(jù)線應(yīng)變數(shù)據(jù)來計算曲率數(shù)據(jù),并進(jìn)而重建鏡體形狀模型的方法.1從線適應(yīng)性到曲線適應(yīng)性的轉(zhuǎn)變根據(jù)線應(yīng)變來研究曲率表達(dá)式的工作可以分為兩步:從離散點線應(yīng)變到離散點曲率的轉(zhuǎn)換,以及從離散曲率到連續(xù)曲率的轉(zhuǎn)換.1.1曲線彎曲方程實際設(shè)備中,在被測部位的外表面上周向均勻安裝兩組線應(yīng)變傳感器,如圖1a中AA、BB所示.鏡體在AA方向的縱截面中發(fā)生彎曲時,參見圖1b,其中r是內(nèi)窺鏡考察部位的半徑,a表示考察部位在未發(fā)生彎曲時的長度,a1是考察部位凸起部分的線應(yīng)變,a2是考察部位凹進(jìn)部分的線應(yīng)變,α是彎曲部分對應(yīng)的張角,ρ是彎曲部分的曲率半徑.由圖1可以列出兩個方程從式(1)中可以解得曲率k是ρ的倒數(shù)在圖示情況下,a1>a2,算得k>0,說明曲線彎曲方向如圖所示;如果測試的數(shù)據(jù)是a1<a2,算得k<0,說明曲線彎曲方向與圖示相反.因此上述公式可以反映出曲線彎曲的兩個方向.在內(nèi)窺鏡作純彎曲的情況下,a1=—a2.如果內(nèi)窺鏡除了純彎曲之外還有拉壓變形,則a1≠-a2.實際上,在推導(dǎo)公式(2)的過程中,我們并沒有作出假定a1=-a2,甚至沒有規(guī)定a1、a2的正負(fù),因此公式(2)不僅適用于純彎曲的情況,同時也適用于彎曲之外還有拉壓變形的情況.1.2ki+n曲線的擬合實際采樣后計算得到的僅僅是離散點的曲率數(shù)據(jù),為了擬合出整條曲線的形狀,必須得到整條曲線上的曲率數(shù)據(jù).由曲線的微分幾何可知,如果曲線的曲率連續(xù),即曲線的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),則該曲線就是連續(xù)而且光滑的.因此每兩個離散點之間的曲率可以采用簡單的線性插值,以便得到足夠多的曲率數(shù)據(jù).線性插值已經(jīng)能夠使采樣點兩旁的曲率數(shù)據(jù)連續(xù),這樣就確保擬合后的曲線在采樣點處連續(xù)且光滑.假定已經(jīng)計算得到兩個相鄰離散點的曲率ki與ki+1,兩點之間的弧長間隔為Δs(Δs=si+1-si).假設(shè)兩個相鄰離散點之間的曲率k與弧長s是線性關(guān)系式中的m和n是兩個系數(shù),為了確定m和n的值,可將兩個相鄰離散點的曲率ki,ki+1代入式(3),得從式(4)中可以解得2曲線積分法是根據(jù)曲線積分確定曲線位置的解決方案2.1切向量與x軸正向相垂直積分法根據(jù)曲線的微分幾何知道,以自然參數(shù)描述的曲線方程為將式(6)微分一次,得式(7)中a(s)為切向量,φ為切向量與x軸正向的夾角.將式(7)再一次微分,得式(8)中為曲線的曲率.將此式積分,并將式(3)的k(s)代入其中,得式(9)中的積分常數(shù)c可以由邊界條件求出.將式(9)代入式(7),并再次積分,得上述積分公式難以找到其解析解,但可以經(jīng)過數(shù)值積分求出其數(shù)值解.實際上亦可以根據(jù)式(9)推導(dǎo)出簡便的遞推方法.2.2從pi到pi+1位置的遞推公式對于兩個相鄰離散點之間的曲線,可以將此段曲線再等分為多個小的圓弧段,對于第i小段,從式(3)求得曲率的表達(dá)式,繼而根據(jù)式(9)的積分公式求得傾角的表達(dá)式為那么在第i小段上,以下式子成立參見圖2.其中ρi、ρi+1是曲線上相鄰的兩點Pi、Pi+1處的曲率半徑,對應(yīng)曲率ki、ki+1,Δs、dsi,分別是兩點間的弧長、弦長.θi是Δs對應(yīng)的圓心角.Δxi、△yi是Pi+1相對Pi的坐標(biāo)增量.于是得到從Pi到Pi+1坐標(biāo)的遞推公式根據(jù)上述公式,就可以從頭至尾,逐點求出曲線的位置.2.3曲線方向的擬合根據(jù)曲線微分幾何,在自然坐標(biāo)系下的曲線的法向量,曲線的曲率.因此可以定義曲率向量K(s):只要求出ax、ay、bx、by,再對k(s)求兩次積分即可得到位置向量r(s)依照上述思路,在已知起末兩點的曲率k0、k1,起點的位置向量r(s0)={x(s0),y(s0)},以及起點的切向量a0={cos(φ0),sin(φ0)}的條件下,推導(dǎo)求解曲線位置向量的相關(guān)公式,由公式(3)以及邊界條件曲率k0、k1,可以求得m、n再由公式(9)以及邊界條件起點的切向量,可以求得公式(9)中的常數(shù)c從而求得另一端的傾角將φ0、φ1的代入式(14),得到從中可以解得將式(19)代入式(14),并積分兩次其中常數(shù)項ex,ey,fx,fy可以根據(jù)起始點處的邊界條件求得.上述三種擬合方法中,由曲率積分的方法公式完整,但確定其解析解較困難,可用數(shù)值積分的方法求解;雙線性插值方法可求得積分式的解析解,用程序計算比較方便;而遞推方法中僅用一次曲率積分求得傾角,曲線位置則由逐點遞推求得,滿足了我們不僅關(guān)心曲線終點位置,而且關(guān)心曲線形狀的需求,簡單實用.3采用最佳方法的計算驗證和誤差分析3.1采用3點及其測相結(jié)構(gòu)的曲線模型為了對上述方法的效果進(jìn)行驗證,并對其誤差進(jìn)行考察,采用由曲率積分遞推曲線位置的方法對一些已知形狀的曲線進(jìn)行了擬合試算.圖3是對一條三次曲線進(jìn)行擬合的效果.圖中虛線是曲線原型;細(xì)實線是采用3點(起點、中點、末點)的曲率進(jìn)行重建的擬合曲線;粗實線是采用5點的曲率進(jìn)行重建的擬合曲線模型.從圖中可以看出,采用5點的曲率的擬合效果要好于采用3點的效果.圖4是對一條由7段圓弧和2段直線組成的曲線進(jìn)行擬合的效果.圖中點劃線是曲線原型;細(xì)實線是采用12點的曲率進(jìn)行重建的擬合曲線;粗實線是采用16點的曲率進(jìn)行重建的擬合曲線模型.同樣看出,采用16點的曲率的擬合效果要好于采用12點的效果.采用上述方法,對軟管模型的平面彎曲進(jìn)行了實測,得到了相同的效果.采樣點多時的擬合效果優(yōu)于采樣點少時的效果.曲率變化小時的擬合效果優(yōu)于曲率變化大時的效果.3.2曲線傾角的誤差從試算和軟管測試中發(fā)現(xiàn),重構(gòu)以后的擬合曲線與原始曲線之間存在誤差,擬合不同的曲線對象,采用不同數(shù)目的采樣點,會有不同大小的誤差.這些誤差大致來自以下幾個方面.影響誤差的因素之一是誤差的積累.如果采樣所取的是相對于固定參照系的絕對坐標(biāo)x、y,那么前面采樣的誤差并不影響后面點的位置.本文所述方法中采取的曲率,反映的是曲線的傾角變化,實際上是相對于移動參照系的信息,前面傾角的誤差必定會累加到后面的傾角上去,因此不可避免地會有誤差的積累.影響誤差的因素之二是誤差的放大.采取的曲率直接反映了曲線傾角的變化.而曲線上傾角的誤差對遠(yuǎn)端的位置誤差會有放大作用,這就是所謂的“差之毫厘,失之千里”.在本文所述方法中,誤差的放大作用對曲線位置的影響,比誤差積累的影響更大.影響誤差的因素之三是被擬合曲線的曲率的變化劇烈程度.本文所述方法在離散點曲率之間采用線性插值,得到曲率的連續(xù)表達(dá)式.因此實際的曲率變化程度與線性表達(dá)式之間的差距影響了計算曲率的正確性,從而影響了曲線位置的正確性.一般來說,被擬合曲管材料越軟,被擬合曲管上載荷變化越大,則被擬合曲管的曲率的變化越劇烈,因而擬合曲線的誤差越大.反之,則擬合曲線的誤差就小.影響誤差的因素之四是采樣點的密集程度.采樣點稀疏,相鄰離散點間距大,曲率變化大,用線性表達(dá)式來擬合引起的誤差就大.反之,采樣點密集,相鄰離散點間距小,用線性表達(dá)式來擬合就比較合理.4仿真誤差的消除本文介紹的擬合方法,經(jīng)過試算驗證和軟管模型測試,這些方法在理論上是可行的.由于所用方法的限制,和所采集信息的性質(zhì)的限制,在擬合中不可避免地會產(chǎn)生誤差.考慮到誤差的放大作用,如果可能,應(yīng)該特別注重減小前端采樣的誤差.由于被擬合曲線的曲率變化劇烈程度對擬合誤差的影響,因此在可能的條件下,應(yīng)該設(shè)置適當(dāng)多的采樣點,特別