概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-課件-第5章-大數(shù)定律

第五章大數(shù)定律第一節(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái).也就是說(shuō)，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:

與大數(shù)定律中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n塊.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率……證明大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差，則對(duì)于任給>0,等價(jià)地隨機(jī)變量序列稱為是獨(dú)立的,如果對(duì)于任意n,獨(dú)立定理1（獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律）設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=，Var(Xi)=，i=1,2,…,則對(duì)任給

>0,幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律表明，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列{Xn}，如果其期望與方差存在，則與其數(shù)學(xué)期望μ的偏差很小的概率接近于1.隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.即當(dāng)n充分大時(shí)，差不多不再是大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述下面給出的貝努里大數(shù)定律，是定理1的一種特例.貝努里設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，引入i=1,2,…,n則是事件A發(fā)生的頻率于是有下面的定理：設(shè)Sn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的ε>0，定理2（貝努里大數(shù)定律）或貝努里貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率Sn/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.貝努里大數(shù)定律提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法.任給ε>0，貝努里大數(shù)定律請(qǐng)看演示下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)任給ε>0，定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽大數(shù)定律辛欽請(qǐng)看演示幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律定理4（切比雪夫大數(shù)定律）設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即Var(Xi)≤K，i=1,2,…，切比雪夫則對(duì)任意的ε>0，這一講我們介紹了大數(shù)定律大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn).大數(shù)定律在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.平均結(jié)果的穩(wěn)定性休息片刻繼續(xù)下一講第五章第二節(jié)中心極限定理

中心極限定理的客觀背景在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.

空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的共同影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn).

現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問(wèn)題.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布函數(shù)的極限.在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.我們只討論幾種簡(jiǎn)單情形.下面給出的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列的中心極限定理，也稱列維一林德伯格（Levy－Lindberg）定理.定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理）它表明，當(dāng)n充分大時(shí)，n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的r.v.之和近似服從正態(tài)分布.設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xi)=Var(Xi)=，i=1,2,…，則定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有定理表明，當(dāng)n很大，0<p<1是一個(gè)定值時(shí)，二項(xiàng)變量的分布近似正態(tài)分布N(np,np(1-p)).請(qǐng)看演示中心極限定理的直觀演示下面我們舉例說(shuō)明中心極限定理的應(yīng)用從演示不難看到中心極限定理的客觀背景例:20個(gè)0-1分布的和的分布X1~f(x)X1+X2~g(x)X1+X2+X3~h(x)幾個(gè)(0,1)上均勻分布的和的分布0123xfgh

設(shè)一批產(chǎn)品的強(qiáng)度服從期望為14,方差為4的分布.每箱中裝有這種產(chǎn)品100件.求:(1).每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過(guò)14.5的概率是多少.(2).每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過(guò)期望14的概率是多少.

n=100,設(shè)Xi是第i件產(chǎn)品的強(qiáng)度.E(Xi)=14,Var(Xi)=4i=1,2,,100.每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度為解:例1根據(jù)定理5.2.1近似～N(0,1)于是

計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)字計(jì)算時(shí)遵從四舍五入原則.為使我們此題簡(jiǎn)單考慮,我們假定對(duì)小數(shù)點(diǎn)后面的第一位進(jìn)行四舍五入運(yùn)算.則誤差X這個(gè)隨機(jī)變量可以認(rèn)為服從[-0.5,0.5]上的均勻分布.現(xiàn)若在一項(xiàng)計(jì)算中一共進(jìn)行了100次數(shù)字計(jì)算.例2≈0.0866求:平均誤差落在區(qū)間上的概率解:

n=100,