專題14利用導數(shù)證明不等式（重難點突破）（原卷版）

專題14利用導數(shù)證明不等式【重難點知識點網(wǎng)絡】：一、利用導數(shù)證明數(shù)列不等式1、常見類型：（1）利用放縮通項公式解決數(shù)列求和中的不等問題（2）利用遞推公式處理通項公式中的不等問題2、恒成立不等式的來源：（1）函數(shù)的最值：在前面的章節(jié)中我們提到過最值的一個作用就是提供恒成立的不等式.（2）恒成立問題的求解：此類題目往往會在前幾問中進行鋪墊，暗示數(shù)列放縮的方向.其中，有關(guān)恒成立問題的求解，參數(shù)范圍內(nèi)的值均可提供恒成立不等式.3、常見恒成立不等式：（1）對數(shù)→多項式（2）指數(shù)→多項式4、關(guān)于前項和的放縮問題：求數(shù)列前項公式往往要通過數(shù)列的通項公式來解決，高中階段求和的方法有以下幾種：（1）倒序相加：通項公式具備第項與第項的和為常數(shù)的特點.（2）錯位相減：通項公式為“等差等比”的形式（例如，求和可用錯位相減）.（3）等比數(shù)列求和公式（4）裂項相消：通項公式可裂為兩項作差的形式，且裂開的某項能夠與后面項裂開的某項進行相消.5、大體思路：對于數(shù)列求和不等式，要謹記“求和看通項”，從通項公式入手，結(jié)合不等號方向考慮放縮成可求和的通項公式.6、在放縮時要注意前幾問的鋪墊與提示，尤其是關(guān)于恒成立問題與最值問題所帶來的恒成立不等式，往往提供了放縮數(shù)列的方向.7、放縮通項公式有可能會進行多次，要注意放縮的方向：朝著可求和的通項公式進行靠攏（等比數(shù)列，裂項相消等）.8、數(shù)列不等式也可考慮利用數(shù)學歸納法進行證明（有時更容易發(fā)現(xiàn)所證不等式與題目條件的聯(lián)系）.利用函數(shù)性質(zhì)與最值證明一元不等式，是導數(shù)綜合題常涉及的一類問題，考查學生構(gòu)造函數(shù)、選擇函數(shù)的能力，體現(xiàn)了函數(shù)最值的一個作用——每一個函數(shù)的最值帶來一個恒成立的不等式.此外所證明的不等式也有可能對后一問的解決提供幫助，處于承上啟下的位置.二、利用導數(shù)證明一元不等式1、證明方法的理論基礎(chǔ)（1）若要證(為常數(shù)）恒成立，則只需證明：，進而將不等式的證明轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值（2）已知的公共定義域為，若，則證明：對任意的，有由不等式的傳遞性可得：，即2、證明一元不等式主要的方法有兩個：第一個方法是將含的項或所有項均挪至不等號的一側(cè)，將一側(cè)的解析式構(gòu)造為函數(shù)，通過分析函數(shù)的單調(diào)性得到最值，從而進行證明，其優(yōu)點在于目的明確，構(gòu)造方法簡單，但對于移項后較復雜的解析式則很難分析出單調(diào)性第二個方法是利用不等式性質(zhì)對所證不等式進行等價變形，轉(zhuǎn)化成為的形式，若能證明，即可得：，本方法的優(yōu)點在于對的項進行分割變形，可將較復雜的解析式拆成兩個簡單的解析式.但缺點是局限性較強，如果與不滿足，則無法證明.所以用此類方法解題的情況不多，但是在第一個方法失效的時候可以考慮嘗試此法.3、在構(gòu)造函數(shù)時把握一個原則：以能夠分析導函數(shù)的符號為準則.4、若在證明中，解析式可分解為幾個因式的乘積，則可對每個因式的符號進行討論，進而簡化所構(gòu)造函數(shù)的復雜度.5、合理的利用換元簡化所分析的解析式.6、判斷解析式符號的方法：（1）對解析式進行因式分解，將復雜的式子拆分為一個個簡單的式子，判斷出每個式子的符號即可得到解析式的符號（2）將解析式視為一個函數(shù)，利用其零點（可猜出）與單調(diào)性（利用導數(shù)）可判斷其符號（3）將解析式中的項合理分組，達到分成若干正項的和或者若干負項的和的結(jié)果，進而判斷出解析式符號

三、利用導數(shù)證明一元不等式1、在處理多元不等式時起碼要做好以下準備工作：（1）利用條件粗略確定變量的取值范圍（2）處理好相關(guān)函數(shù)的分析（單調(diào)性，奇偶性等），以備使用2、若多元不等式是一個輪換對稱式（輪換對稱式：一個元代數(shù)式，如果交換任意兩個字母的位置后，代數(shù)式不變，則稱這個代數(shù)式為輪換對稱式），則可對變量進行定序3、證明多元不等式通常的方法有兩個（1）消元：①利用條件代入消元②不等式變形后對某多元表達式進行整體換元（2）變量分離后若結(jié)構(gòu)相同，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造一個函數(shù)，進而通過函數(shù)的單調(diào)性與自變量大小來證明不等式（3）利用函數(shù)的單調(diào)性將自變量的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的不等關(guān)系，再尋找方法.【重難點題型突破】：利用導數(shù)證明數(shù)列不等式例1.已知函數(shù)在處取得極值（1）求實數(shù)的值（2）證明：對于任意的正整數(shù)，不等式都成立

例2.（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)證明：.例3．（2016·遼寧沈陽·東北育才學校校考三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為45°，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；(3)求證：．

利用導數(shù)證明一元不等式例4、已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求證：（為自然對數(shù)的底數(shù)）.例5．（2022·浙江·模擬預測）已知函數(shù)，.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若不單調(diào)，且.（i）證明：；（ii）若，且，證明.

例6．（2023·河南鄭州·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)(1)若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；(2)當時，證明：.

利用導數(shù)證明多元不等式例7．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學?？茧A段練習）設(shè)