中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：專題(五)　函數(shù)應(yīng)用型問題

專題(五)函數(shù)應(yīng)用型問題1．(2021·資陽)我市某中學(xué)計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學(xué)給予獎勵．現(xiàn)要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．(1)求甲、乙兩種獎品的單價；(2)根據(jù)頒獎計劃，該中學(xué)需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數(shù)量不少于乙種獎品數(shù)量的eq\f(1,2)，應(yīng)如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．解：(1)設(shè)甲種獎品的單價為x元/件，乙種獎品的單價為y元/件，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝40，,2x＋3y＝70，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝20，,y＝10，))答：甲種獎品的單價為20元/件，乙種獎品的單價為10元/件(2)設(shè)購買甲種獎品m件，則購買乙種獎品(60－m)件，設(shè)購買兩種獎品的總費用為w元，∵購買甲種獎品的件數(shù)不少于乙種獎品件數(shù)的eq\f(1,2)，∴m≥eq\f(1,2)(60－m)，∴m≥20.依題意，得w＝20m＋10(60－m)＝10m＋600，∵10＞0，∴w隨m值的增大而增大，∴當(dāng)該中學(xué)購買20件甲種獎品、40件乙種獎品時，總費用最小，最小費用是800元2．(2021·麗水)李師傅將容量為60升的貨車油箱加滿后，從工廠出發(fā)運送一批物資到某地．行駛過程中，貨車離目的地的路程s(千米)與行駛時間t(小時)的關(guān)系如圖所示(中途休息、加油的時間不計).當(dāng)油箱中剩余油量為10升時，貨車會自動顯示加油提醒．設(shè)貨車平均耗油量為0.1升/千米，請根據(jù)圖象解答下列問題：(1)直接寫出工廠離目的地的路程；(2)求s關(guān)于t的函數(shù)表達式；(3)當(dāng)貨車顯示加油提醒后，問行駛時間t在怎樣的范圍內(nèi)貨車應(yīng)進站加油？解：(1)由圖象，得t＝0時，s＝880，∴工廠離目的地的路程為880千米(2)設(shè)s＝kt＋b(k≠0)，將(0，880)和(4，560)代入s＝kt＋b，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(880＝b，,560＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－80，,b＝880，))∴s關(guān)于t的函數(shù)表達式：s＝－80t＋880(0≤t≤11)(3)當(dāng)油箱中剩余油量為10升時，s＝880－(60－10)÷0.1＝380(千米)，∴380＝－80t＋880，解得t＝eq\f(25,4)(小時)，當(dāng)油箱中剩余油量為0升時，s＝880－60÷0.1＝280(千米)，∴280＝－80t＋880，解得t＝eq\f(15,2)(小時)，∵k＝－80＜0，∴s隨t的增大而減小，∴t的取值范圍是eq\f(25,4)＜t＜eq\f(15,2)3．(2021·陜西)在一次機器“貓”抓機器“鼠”的展演測試中，“鼠”先從起點出發(fā)，1min后，“貓”從同一起點出發(fā)去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“貓”抓著“鼠”沿原路返回．“鼠”、“貓”距起點的距離y(m)與時間x(min)之間的關(guān)系如圖所示．(1)在“貓”追“鼠”的過程中，“貓”的平均速度與“鼠”的平均速度的差是1m/min(2)求AB的函數(shù)表達式；(3)求“貓”從起點出發(fā)到返回至起點所用的時間．解：(1)由圖象知：“鼠”6min跑了30m，∴“鼠”的速度為：30÷6＝5(m/min)，“貓”5min跑了30m，∴“貓”的速度為：30÷5＝6(m/min)，∴“貓”的平均速度與“鼠”的平均速度的差是1m/min，故答案為：1(2)設(shè)AB的表達式為：y＝kx＋b，∵圖象經(jīng)過點A(7，30)和點B(10，18)，把點A和點B坐標(biāo)代入函數(shù)表達式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30＝7k＋b，,18＝10k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－4，,b＝58，))∴AB的表達式為：y＝－4x＋58(3)令y＝0，則－4x＋58＝0，∴x＝14.5，∵“貓”比“鼠”遲一分鐘出發(fā)，∴“貓”從起點出發(fā)到返回至起點所用的時間為14.5－1＝13.5(min).答：“貓”從起點出發(fā)到返回至起點所用的時間13.5min4．(2021·遂寧)某服裝店以每件30元的價格購進一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設(shè)T恤的銷售單價提高x元．(1)服裝店希望一個月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問T恤的銷售單價應(yīng)提高多少元？(2)當(dāng)銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？解：(1)設(shè)T恤的銷售單價提高x元，由題意列方程得(x＋40－30)(300－10x)＝3360，解得x1＝2或x2＝18，∵要盡可能減少庫存，∴x2＝18不合題意，應(yīng)舍去．∴T恤的銷售單價應(yīng)提高2元，答：T恤的銷售單價應(yīng)提高2元(2)設(shè)利潤為M元，由題意可得：M＝(x＋40－30)(300－10x)＝－10x2＋200x＋3000＝－10(x－10)2＋4000，∴當(dāng)x＝10時，M最大值＝4000元，∴銷售單價：40＋10＝50(元)，答：當(dāng)服裝店將銷售單價定為50元時，得到最大利潤是4000元5．(2021·武漢)在“鄉(xiāng)村振興”行動中，某村辦企業(yè)以A，B兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有機產(chǎn)品．A原料的單價是B原料單價的1.5倍，若用900元收購A原料會比用900元收購B原料少100kg.生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒還需其他成本9元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價是60元時，(1)求每盒產(chǎn)品的成本(成本＝原料費＋其他成本)；(2)設(shè)每盒產(chǎn)品的售價是x元(x是整數(shù))，每天的利潤是w元，求w關(guān)于x的函數(shù)解析式(不需要寫出自變量的取值范圍)；(3)若每盒產(chǎn)品的售價不超過a元(a是大于60的常數(shù)，且是整數(shù))，直接寫出每天的最大利潤．解：(1)設(shè)B原料單價為m元，則A原料單價為1.5m元，根據(jù)題意，得eq\f(900,m)－eq\f(900,1.5m)＝100，解得m＝3，∴1.5m＝4.5，∴每盒產(chǎn)品的成本是：4.5×2＋4×3＋9＝30(元)，答：每盒產(chǎn)品的成本為30元(2)根據(jù)題意，得w＝(x－30)[500－10(x－60)]＝－10x2＋1400x－33000，∴w關(guān)于x的函數(shù)解析式為：w＝－10x2＋1400x－33000(3)由(2)知w＝－10x2＋1400x－33000＝－10(x－70)2＋16000，∴當(dāng)a≥70時，每天最大利潤為16000元，當(dāng)60＜a＜70時，每天的最大利潤為(－10a2＋14006．(2021·廣西)2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情．如圖是某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點A作水平線的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線C1：y＝－eq\f(1,12)x2＋eq\f(7,6)x＋1近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點O正上方4米處的A點滑出，滑出后沿一段拋物線C2：y＝－eq\f(1,8)x2＋bx＋c運動．(1)當(dāng)運動員運動到離A處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線C2的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；(2)在(1)的條件下，當(dāng)運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米(3)當(dāng)運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求b的取值范圍．解：(1)由題意可知拋物線C2：y＝－eq\f(1,8)x2＋bx＋c過點(0，4)和(4，8)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝c，,8＝－\f(1,8)×42＋4b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝\f(3,2)，,c＝4，))∴拋物線C2的函數(shù)解析式為：y＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(3,2)x＋4(2)設(shè)運動員運動的水平距離為m米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米，依題意得－eq\f(1,8)m2＋eq\f(3,2)m＋4－(－eq\f(1,12)m2＋eq\f(7,6)m＋1)＝1，整理得(m－12)(m＋4)＝0，解得m1＝12，m2＝－4(