一維桿狀聲子晶體縱向振動(dòng)帶隙特性的數(shù)值模擬

一維桿狀聲子晶體縱向振動(dòng)帶隙特性的數(shù)值模擬

聲子晶體是一種周期性結(jié)構(gòu)材料，具有彈性波帶的間隙。在帶隙率范圍內(nèi)，彈性波無法傳播。聲波,作為彈性波的一大類,與我們的生活和工作息息相關(guān)。而對(duì)我們的生活和工作造成危害的噪音也在聲波之列。降低或消除噪音帶來的危害顯得非常重要和迫切。通過恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)聲子晶體的成分和結(jié)構(gòu),可以具有選擇性地阻止噪音的傳播。自聲子晶體概念提出來之后,對(duì)聲子晶體的結(jié)構(gòu)、帶隙特性有了一定的研究。研究認(rèn)為,聲子晶體帶隙產(chǎn)生的機(jī)理有兩種:布拉格(Bragg)散射型和局域共振型。布拉格散射主要是材料結(jié)構(gòu)的周期性起著主導(dǎo)作用,即當(dāng)入射彈性波的波長(zhǎng)與材料結(jié)構(gòu)的晶格常數(shù)相近時(shí),將受到材料結(jié)構(gòu)的強(qiáng)烈散射,在某些頻率段找不到散射波,從而出現(xiàn)禁帶。后者主要是單個(gè)散射體的共振特性起主導(dǎo)作用。研究的計(jì)算方法有傳遞矩陣法、平面波展開法、時(shí)域有限差分法、多散射理論及集中質(zhì)量法等。不同的計(jì)算方法各有其適用條件和特點(diǎn)。本文以尚未在文獻(xiàn)中報(bào)道過的一維桿狀玻璃/硅橡膠聲子晶體作為研究對(duì)象,采用集中質(zhì)量法,從改變聲子晶體的晶格常數(shù)、組分比、密度、楊氏模量及泊松比等結(jié)構(gòu)參數(shù)方面,應(yīng)用MATLAB軟件進(jìn)行編程,計(jì)算其縱向振動(dòng)帶隙起止頻率及寬度,尋找各種參數(shù)變化所引起的變化規(guī)律。11.泉州市聲子晶模型及集中質(zhì)量法1.1聲子晶體的結(jié)構(gòu)一維桿狀聲子晶體就是在一維方向上,彈性介質(zhì)分布具有周期性的聲子晶體結(jié)構(gòu)。如果是由兩種不同材料A和B交替排列構(gòu)成,則稱為二組元聲子晶體;如果是由三種不同材料A、B和C交替排列構(gòu)成,則稱為三組元聲子晶體,依次類推。如圖所示,為一維二組元聲子晶體結(jié)構(gòu)示意圖。兩種各自均勻且各向同性的材料A和B,依次沿x方向周期性排列,構(gòu)成一維二組元桿狀聲子晶體。相鄰和B組元構(gòu)成該聲子晶體的一個(gè)原胞。材料A和的長(zhǎng)度分別記為aA和aB,a=aA+aB為聲子晶體的一個(gè)晶格常數(shù)。如果是沿一維桿狀聲子晶體縱向振動(dòng)所激發(fā)的彈性波將為縱波?？v波的傳播特性由縱波的波動(dòng)方程來求解。1.2質(zhì)量元的運(yùn)動(dòng)方程一維聲子晶體的原胞是連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng),理論上有無限多的自由度。將連續(xù)介質(zhì)分解離散為有限個(gè)集中質(zhì)量元,各集中質(zhì)量元之間簡(jiǎn)化為無質(zhì)量的彈簧相連接,原胞簡(jiǎn)化為有限個(gè)自由度的彈簧振子結(jié)構(gòu)。這就是集中質(zhì)量法的基本思想。如圖2所示,為一個(gè)原胞離散成n個(gè)質(zhì)量元也即n個(gè)彈簧振子的情況。簡(jiǎn)化的彈簧振子的自由度數(shù)目越多,越接近于實(shí)際的原胞,計(jì)算精度也就越高。第j個(gè)質(zhì)量元mj的運(yùn)動(dòng)微分方程為(1)式中,xj-1、xj和xj+1分別為第j-1、j和j+1個(gè)質(zhì)量元的位置坐標(biāo),kj為第j個(gè)彈簧振子與第j+1個(gè)彈簧振子串聯(lián)后的拉壓剛度,kj-1為第j-1個(gè)彈簧振子與第j個(gè)彈簧振子串聯(lián)后的拉壓剛度。根據(jù)Bloch定理,在周期邊界條件下,該質(zhì)量元運(yùn)動(dòng)微分方程的解可寫為振幅為Aj、角頻率為ω的簡(jiǎn)諧振動(dòng)(2)式中,表示第j個(gè)振子的相位因子,dj表示第j和第j+1個(gè)振子的間距。q為波矢,在第一Brillouin區(qū)取值,即(-π/a,π/a),其中將(2)式代入(1)式,簡(jiǎn)化后得由于彈簧振子結(jié)構(gòu)周期性排列,在周期邊界條件下,有將上式代入在上式(最后修改),并用矩陣形式表示該線性方程組求解此矩陣X的特征值ω(q)與給定波矢q之間的關(guān)系,畫出圖來,就是上述周期彈簧振子結(jié)構(gòu)的彈性波能帶結(jié)構(gòu)圖。本文研究縱波的帶隙結(jié)構(gòu),只需將剛度采用縱波的剛度即可。21.桿狀聲子晶體的垂直帶寬特性2.1合成產(chǎn)物的帶隙結(jié)構(gòu)以一維桿狀玻璃/硅橡膠聲子晶體為例,按照表1設(shè)置材料的初始材料參數(shù),進(jìn)行聲子晶體縱向帶隙的計(jì)算。取材料晶格常數(shù)a=0.05m,硅橡膠組分比t=0.5。將計(jì)算所得結(jié)果畫成帶隙結(jié)構(gòu)圖,見圖3所示。由圖可見,在晶格常數(shù)為0.05m、組分比為1:1的條件下,該聲子晶體的第一帶隙的起始頻率為191.3Hz,截止頻率為456.9Hz,第一帶隙寬度為265.6Hz;第二帶隙起始頻率為535.3Hz,截止頻率為913.5Hz,第二帶隙寬度為378.2Hz。第一、二帶隙分布均在低頻范圍內(nèi),對(duì)阻止噪音是有效的。2.2泊松比的大小從理論分析可知,運(yùn)動(dòng)方程的解與晶格常數(shù)、質(zhì)量密度、楊氏模量和泊松比的大小有關(guān)。這些結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙的起始頻率及帶寬的影響程度,本研究采用每次僅改變一個(gè)參數(shù)固定其他參數(shù)的辦法,通過MATLAB編程逐一進(jìn)行計(jì)算得到相應(yīng)結(jié)果,畫出相應(yīng)圖像進(jìn)行比較。2.2.1帶隙的特征及晶形成級(jí)特征如圖4所示,保持其他參數(shù)不變,改變聲子晶體的晶格常數(shù),無論是第一帶隙還是第二帶隙,都具有這樣的規(guī)律:隨著晶格常數(shù)的增大,起始頻率和截止頻率均逐漸降低,帶隙均逐漸變窄;晶格常數(shù)較小時(shí)變化較快,較大時(shí)變化較緩慢。當(dāng)晶格常數(shù)增大到0.06m,第一帶隙起始頻率為0.1367kHz,第一帶隙截止頻率為0.3264kHz,第一帶隙寬度為0.1897kHz;第二帶隙的起始頻率為0.3824kHz,第二帶隙的截止頻率為0.6525kHz,第二帶隙寬度為0.2701kHz。能夠較好地阻止中頻及中低頻段噪音的傳播。如果從實(shí)用效果和材料成本角度來看,可以選擇0.06m或稍大的厚度即可。2.2.2同分帶隙起始頻率,比如圖5所示,保持其他參數(shù)不變,改變硅橡膠的組分比,聲子晶體的第一、二帶隙的起止頻率均變低,但是帶寬均變窄。第一帶隙的起始頻率變化不大,考慮帶寬較寬更能有效減震降噪,可以考慮在組分比為0.2時(shí),第一帶隙起始頻率0.25385kHz(最低0.188191kHz),較高的截止頻率1.14142kHz,且接近第二帶隙的起始頻率1.197493kHz。由此可見,保持較小的硅橡膠組分比,不但有不算低的第一帶隙起始頻率,還可以具有較大的帶寬,還能使得通帶很窄。從實(shí)用角度來看,0.2~0.3左右的硅橡膠組分比較為適合。2.2.3密度的計(jì)算對(duì)于二組元的聲子晶體,保持其他參數(shù)不變,分別改變其中一種組元的密度,計(jì)算第一、二帶隙的起止頻率和帶隙寬度。結(jié)果顯示,玻璃的密度變化幾乎不影響起止頻率和帶隙寬度,如圖6所示;第一、二帶隙的起止頻率隨硅橡膠的密度增大而緩慢降低,而帶寬卻緩慢變窄,如圖7所示。2.2.4帶隙的形成頻率和帶隙寬度保持其他參數(shù)不變,分別改變玻璃和硅橡膠的楊氏模量,計(jì)算第一、二帶隙的起止頻率和帶隙寬度。結(jié)果如圖8所示,玻璃的楊氏模量的變化對(duì)起止頻率和帶隙寬度均沒有影響;如圖9所示隨著硅橡膠的楊氏模量增大,第一、二帶隙的起止頻率和帶隙寬度均較為均勻地增大。2.2.5泊松比和帶隙抗起特性保持其他參數(shù)不變,分別計(jì)算玻璃和硅橡膠的泊松比的變化對(duì)帶隙起止頻率和帶隙寬度。結(jié)果如圖10所示:玻璃的泊松比的變化對(duì)帶隙起止頻率和帶隙寬度均無影響;硅橡膠的泊松比在0.1~0.3之間,幾乎不影響帶隙起止頻率和寬度;在0.3~0.4之間,起止頻率逐漸升高,帶隙逐漸變寬;當(dāng)大于0.4后,起止頻率和帶隙均迅速升高和變寬,如圖10、圖11所示。3聲子晶體帶明顯以玻璃/硅橡膠構(gòu)成的一維桿狀聲子晶體為研究對(duì)象,采用集中質(zhì)量法進(jìn)行計(jì)算,將其離散成多個(gè)質(zhì)量元,并用無質(zhì)量的彈簧相連,建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程,根據(jù)Bloch定理,在第一Brillouin區(qū)選取波矢,采用MATLAB編程計(jì)算其第一、第二帶隙的起止頻率和帶隙寬度。結(jié)果顯示,存在中頻及中低頻的縱波帶隙。通過改變晶格常數(shù)、硅橡膠組分比、兩種材料的密度、楊氏模量及組分比,能夠適當(dāng)調(diào)節(jié)帶隙的起止頻率和帶隙寬度。能夠在中頻及中低頻范圍內(nèi)較好地阻止聲音的傳播。并優(yōu)化這幾種參數(shù)的設(shè)置,得到比較理想的帶隙起止頻率和寬度。如圖12所示,晶格常數(shù)=0.06m,硅橡膠組分比0.2,適中選取硅橡膠的密度1300kg/m3,玻璃密度2560kg/m3,玻璃楊氏模量2.5e10Pa,硅橡膠楊氏模量2.0e5Pa,玻璃泊松比0.22,硅橡膠泊松比0.4678,得到該聲子晶體的能帶圖。其顯著特點(diǎn)是:第一帶隙起始頻率272.4