【十年高考】24-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編(教師自己整理)：不等式

PAGEPAGE9不等式一、選擇填空題1.〔江蘇2023年4分〕二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c(x∈R)的局部對應(yīng)值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集是▲.【答案】?！究键c(diǎn)】一元二次不等式與二次函數(shù)?！痉治觥坑杀砜傻枚魏瘮?shù)的零點(diǎn)，可設(shè)其兩根式，然后代入一點(diǎn)求得解析式，即可得到不等式ax2＋bx＋c>0的解集：由表可設(shè)y=a〔x＋2〕〔x－3〕，又∵x=0，y=－6，代入知a=1?！鄖=〔x＋2〕〔x－3〕∴由ax2＋bx＋c=〔x＋2〕〔x－3〕＞0得x＞3或x＜－2。∴不等式ax2＋bx＋c>0的解集為：。2.〔江蘇2023年4分〕函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮俊究键c(diǎn)】函數(shù)的定義域，對數(shù)函數(shù)的意義，一元二次不等解法。【分析】由題意得：，那么由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得：，即，解得或?！嗪瘮?shù)的定義域?yàn)椋骸?.〔江蘇2023年5分〕設(shè)、、是互不相等的正數(shù)，那么以下等不式中不恒成立的是【】〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C?！究键c(diǎn)】不等式恒成立的條件。【分析】運(yùn)用排除法，C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)不成立。應(yīng)選C。4.〔江蘇2023年5分〕不等式的解集為▲【答案】。【考點(diǎn)】數(shù)函數(shù)單調(diào)性和不等式的解法?！痉治觥俊?，∴，即。解得。5.〔江蘇2023年5分〕假設(shè)集合，那么中有▲個(gè)元素【答案】6。【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算，解一元二次不等式?！痉治觥肯然喖螦，即解一元二次不等式，再求與Z的交集：由得，解得。∴，共有6個(gè)元素。6.〔江蘇2023年5分〕設(shè)為正實(shí)數(shù)，滿足，那么的最小值是▲【答案】3。【考點(diǎn)】根本不等式?！痉治觥坑煽赏瞥?，代入中，消去，再利用均值不等式求解即可：由得，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)＝3時(shí)取“＝〞。7.〔江蘇2023年5分〕集合，假設(shè)那么實(shí)數(shù)的取值范圍是，其中=▲.【答案】4。【考點(diǎn)】集合的子集的概念，利用對數(shù)的性質(zhì)解不等式?！痉治觥俊叩?，∴。又∵，，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是?！?。8.〔江蘇2023年5分〕設(shè)實(shí)數(shù)，滿足3≤≤8，4≤≤9，那么的最大值是▲?！敬鸢浮?7?！究键c(diǎn)】根本不等式在最值問題中的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想?！痉治觥俊?≤≤8，∴；又∵4≤≤9，∴，即?！?，∴，即。∴的最大值是27。9.〔江蘇2023年5分〕在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線與函數(shù)的圖象交于P、Q兩點(diǎn)，那么線段PQ長的最小值是▲【答案】4?！究键c(diǎn)】函數(shù)的圖象及性質(zhì)的應(yīng)用，根本不等式的應(yīng)用?！痉治觥扛鶕?jù)函數(shù)的對稱性，設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)的交點(diǎn)為，，那么。此題也可以直接畫圖結(jié)合函數(shù)的對稱性可知，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，線段PQ長的最小，最小值為4。10、〔2023江蘇卷14〕正數(shù)滿足：那么的取值范圍是．【解析】根據(jù)條件，得到，得到.又因?yàn)?，所以，由，得?從而，解得.【點(diǎn)評】此題主要考查不等式的根本性質(zhì)、對數(shù)的根本運(yùn)算.關(guān)鍵是注意不等式的等價(jià)變形，做到每一步都要等價(jià).此題屬于中高檔題，難度較大.二、解答題1.〔江蘇2023年12分〕制定投資方案時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)工程.根據(jù)預(yù)測，甲、乙工程可能的最大盈利率分別為100﹪和50﹪，可能的最大虧損分別為30﹪和10﹪.投資人方案投資金額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元.問投資人對甲、乙兩個(gè)工程各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？【答案】解：設(shè)投資人分別用萬元、萬元投資甲、乙兩個(gè)工程。由題意知目標(biāo)函數(shù)z=+0.5。上述不等式組表示的平面區(qū)域如下圖，陰影局部〔含邊界〕即可行域，作直線，并作平行于直線的一組直線，與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過可行域上的M點(diǎn)，且與直線的距離最大。這里M點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)。解方程組，得=4，=6。此時(shí)〔萬元〕。，∴當(dāng)=4，=6時(shí)，z取得最大值。答：投資人用4萬元投資甲工程、6萬元投資乙工程，才能在確保虧損不超過1.8萬元的前提下，使可能的盈利最大。【考點(diǎn)】根本不等式在最值問題中的應(yīng)用?！痉治觥吭O(shè)投資人對甲、乙兩個(gè)工程各投資和萬元，列出和的不等關(guān)系及目標(biāo)函數(shù)z=+0.5，利用線性規(guī)劃或不等式的性質(zhì)求最值即可。2.〔江蘇2023年14分〕函數(shù)滿足以下條件：對任意的實(shí)數(shù)1，2都有和，其中是大于0的常數(shù).設(shè)實(shí)數(shù)，，滿足和(Ⅰ)證明，并且不存在，使得；(Ⅱ)證明；(Ⅲ)證明.【答案】證明：〔I〕任?、俸廷诳芍?，從而。假設(shè)有①式知，∴不存在?！睮I〕由③可知④由①式，得⑤由和②式知，⑥將⑤、⑥代入④式，得?！睮II〕由③式可知〔用②式〕〔用①式〕【考點(diǎn)】不等式的證明?！痉治觥俊并瘛骋C明，并且不存在，使得，由條件和合并，可以直接得出。再假設(shè)有，使得，根據(jù)判斷出矛盾即得到不存在，使得?！并颉骋C明；把不等式兩邊和分別用題中的等式化為同一的函數(shù)值得形式，再證明不等式成立即可。〔III〕由和〔Ⅱ〕中的不等式逐步推導(dǎo)即可。3.〔江蘇2023年16分〕按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件本錢為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為元，那么他的滿意度為；如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元，那么他的滿意度為.如果一個(gè)人對兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和，那么他對這兩種交易的綜合滿意度為.現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件本錢分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件本錢分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元，甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為學(xué)科.網(wǎng)(1)求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=；(2)設(shè)，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？學(xué)科(3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適中選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號不同時(shí)成立？試說明理由?！敬鸢浮拷猓骸?〕由題意，得，，〔〕?！弋?dāng)時(shí)，。，∴=。〔2〕當(dāng)時(shí)，，由，故當(dāng)即時(shí)，甲乙兩人同時(shí)取到最大的綜合滿意度為?！?〕由〔2〕知：=，由得：，令那么，∴。同理，由得：。另一方面，，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即=時(shí)，取等號。所以不能否適中選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號不同時(shí)成立。【考點(diǎn)】函數(shù)的概念，根本不等式，數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學(xué)閱讀能力?！痉治觥俊?〕由直接求出和關(guān)于、的