畫法幾何垂直問題

3.1平行問題3.1.1直線與平面平行3.1.2平面與平面平行第一頁1第二頁，共56頁。3.1.1直線與平面平行若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。PCDBA第二頁2第三頁，共56頁。例1試判斷直線AB是否平行于平面CDE。fg

f

gb

a

abc

e

d

edc結(jié)論：直線AB不平行于定平面XO第三頁3第四頁，共56頁。例2過點K作一水平線AB平行于已知平面ΔCDE。b

a

af

fbc

e

d

edk

kcXO第四頁4第五頁，共56頁。3.1.2平面與平面平行

若平面內(nèi)的兩相交直線對應(yīng)地平行于另一平面內(nèi)的兩相交直線，則這兩個平面平行。PSEFDACB第五頁5第六頁，共56頁。f

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行XO例3試判斷兩平面是否平行第六頁6第七頁，共56頁。例4已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

kXO第七頁7第八頁，共56頁。例5試判斷兩平面是否平行結(jié)論：兩平面平行ef

e

fsr

s

d

dc

a

acb

brPHSHXO第八頁8第九頁，共56頁。3.2相交問題3.2.1積聚性法3.2.2輔助平面法第九頁9第十頁，共56頁。交點與交線的性質(zhì)

直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線與平面的共有點。兩平面的交線是直線，它是兩個平面的共有線。求線與面交點、面與面交線的實質(zhì)是求共有點、共有線的投影。PABKDBCALKEF第十頁10第十一頁，共56頁。3.2.1積聚性法當(dāng)直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時，交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影可在直線的另一個投影上找到。VHPHPABCacbkNKM第十一頁11第十二頁，共56頁。直線可見性的判別b

ba

acc

m

mn

k

n

特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影能直接判別直線的可見性--觀察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前第十二頁12第十三頁，共56頁。XOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6鉛垂線AB與一般位置平面ΔCDE相交，求交點并判別可見性。第十三頁13第十四頁，共56頁。（2）兩平面相交f

k

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmm

l

n

bacc

a

b

XOfk第十四頁14第十五頁，共56頁。平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

XO第十五頁15第十六頁，共56頁。平面可見性的判別VHMmnlBCackfFKNLXOb

bacnlmc

m

a

l

n

fkf

k

第十六頁16第十七頁，共56頁。過AB作平面P垂直于H投影面3.2.2輔助平面法DECP12KBA第十七頁17第十八頁，共56頁。2PH1

作題步驟：1、過AB作鉛垂平面P。2、求P平面與ΔCDE的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與AB的交點K。XOa

b

bacd

e

edc

12

kk

第十八頁18第十九頁，共56頁。直線AB與平面ΔCDE相交，判別可見性。(

)a

b

bace

edc

d

124

（

）kk

XO3

342

1

第十九頁19第二十頁，共56頁。以正垂面為輔助平面求線面交點1

2

QV21步驟：1、過EF作正垂平面Q。2、求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3、求交線ⅠⅡ與EF的交點K。f

e

efba

acb

c

k

k第二十頁20第二十一頁，共56頁。利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。FBCALKED兩一般位置平面相交求交線的方法第二十一頁21第二十二頁，共56頁。1、用直線與平面求交點的方法求出兩平面的兩個共有點K、L。bacc

b

a

dd

eff

e

PVQV21k

kl

l2、連接兩個共有點，畫出交線KL。XO作題步驟1

2

第二十二頁22第二十三頁，共56頁。利用重影點判別可見性bacc

b

a

ll

nmm

n

kee

k

3

4

()34

21()1

2

XO兩平面相交，判別可見性第二十三頁23第二十四頁，共56頁。例7試過K點作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。ac

ba

cb

f

e

efk

kXO第二十四頁24第二十五頁，共56頁。分析FPCABEKH

過已知點K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。第二十五頁25第二十六頁，共56頁。作圖步驟m

n

h

hnmff

ac

ba

cb

e

ek

kPV1

12

21、過點K作平面KMN//

ABC平面。2、過直線EF作正垂平面P。3、求平面P與平面KMN的交線ⅠⅡ。4、求交線ⅠⅡ與EF的交點H。5、連接KH，KH即為所求。第二十六頁26第二十七頁，共56頁。3.3垂直問題3.3.1直線與平面垂直3.3.2平面與平面垂直第二十七頁27第二十八頁，共56頁。3.3.1直線與平面垂直VHPAKLDCBE幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。第二十八頁28第二十九頁，共56頁。定理1：若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。VPAKLDCBEHa

ad

c

b

dcbe

eknk

n

XO第二十九頁29第三十頁，共56頁。定理2（逆）：若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。a

cac

n

nkf

d

b

dbfk

VPAKLDCBEHXO第三十頁30第三十一頁，共56頁。a

cac

nn

mf

d

b

dbfm

例8平面由

BDF給定，試過定點M作平面的垂線。第三十一頁31第三十二頁，共56頁。h

hh

hh

hkk

SVk

kPVk

kQH例9試過定點K作特殊位置平面的法線。第三十二頁32第三十三頁，共56頁。e

f

em

nmn

c

a

ad

b

cdbfXO例10平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于定平面。第三十三頁33第三十四頁，共56頁。例11試過點N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。n

nXO第三十四頁34第三十五頁，共56頁。平面的法線與平面的最大斜度線對同一投影面的夾角互為補角HPAKFDCBEf

分析第三十五頁35第三十六頁，共56頁。直徑任取NM|yM-yN||zM-zN|m

h

mnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnm

n

k

hn

nXO作圖過程第三十六頁36第三十七頁，共56頁。3.3.2兩平面垂直幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。PAB第三十七頁37第三十八頁，共56頁。反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。ABⅠⅡ兩平面垂直兩平面不垂直ⅡⅠAB第三十八頁38第三十九頁，共56頁。g

ha

cac

h

kk

f

d

b

dbfgXO例12平面由

BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面第三十九頁39第四十頁，共56頁。g

h

a

chac

kk

b

bgf

fd

d結(jié)論：兩平面不平行。XO例13試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。第四十頁40第四十一頁，共56頁。3.4綜合問題分析及解法3.4.1空間幾何元素定位問題3.4.2空間幾何元素度量問題第四十一頁41第四十二頁，共56頁。平行、相交、及垂直等問題側(cè)重于探求每一個單個問題的投影特性、作圖原理與方法。而實際問題是綜合性的，涉及多項內(nèi)容，需要多種作圖方法才能解決。求解綜合問題主要包括：空間幾何元素的定位問題（交點、交線）和空間幾何元素的度量問題（如距離、角度）。綜合問題解題的一般步驟：

1.分析題意2.明確所求結(jié)果，找出解題方法3.擬定解題步驟第四十二頁42第四十三頁，共56頁。例14已知三條直線CD、EF和GH，求作一直線AB與CD平行，并且與EF、GH均相交。c

g

h

e

f

d

cefghdXO3.4.1空間幾何元素定位問題第四十三頁43第四十四頁，共56頁。分析所求得直線AB一定在平行于CD的平面上，并且與交叉直線EF、GH相交。ABCDHGEF第四十四頁44第四十五頁，共56頁。作圖過程k

kc

g

h

e

f

d

cefghdXOPV11

2

2aa

bb

第四十五頁45第四十六頁，共56頁。例15試過定點A作直線與已知直線EF正交。a

efaf

e

XO第四十六頁46第四十七頁，共56頁。分析EQFAK過已知點A作平面與已知直線EF交于點K，連接AK，AK即為所求。第四十七頁47第四十八頁，共56頁。作圖過程2

1a

efaf

e

1

22

PVa

efaf

e

1

k

k21第四十八頁48第四十九頁，共56頁。例16求點C到直線AB的距離。c

a

b

cabXO第四十九頁49第五十頁，共56頁。分析PABCK過C點作直線AB的垂線CK一定在過C點并且與AB垂直的平面P內(nèi)，過C點作一平面與直線AB垂直，求出該平面與AB的交點K，最后求出垂線CK的實長即為所求。第五十頁50第五十一頁，共56頁。作圖過程c

a

b

cabXOe

d

ed1

2

12kk

所求距離第五十一頁51第五十二頁，共56頁。例17求交叉直線AB和CD的公垂線。cc

a

b

abXOdd

3.4.1空間幾何元素度量問題第五十二頁