新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破精練第51講概率與統(tǒng)計綜合問題教師版

第51講概率與統(tǒng)計綜合問題一、解答題1．（2021·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測）十三屆全國人大四次會議3月11日表決通過了關(guān)于國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展第十四個五年規(guī)劃和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)綱要的決議，決定批準(zhǔn)這個規(guī)劃綱要.綱要指出：“加強(qiáng)原創(chuàng)性引領(lǐng)性科技攻關(guān)”.某企業(yè)集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術(shù)，已成功實現(xiàn)離子注入機(jī)全譜系產(chǎn)品國產(chǎn)化，包括中束流?大束流?高能?特種應(yīng)用及第三代半導(dǎo)體等離子注入機(jī)，工藝段覆蓋至28，為我國芯片制造產(chǎn)業(yè)鏈補(bǔ)上重要一環(huán)，為全球芯片制造企業(yè)提供離子注入機(jī)一站式解決方案.此次技術(shù)的突破可以說為國產(chǎn)芯片的制造做出了重大貢獻(xiàn).該企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn).（1）在試產(chǎn)初期，該款芯片的批次生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，，.①求批次芯片的次品率；②第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗.已知批次的芯片智能自動檢測顯示合格率為，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）.（2）已知某批次芯片的次品率為，設(shè)個芯片中恰有個不合格品的概率為，記的最大值點為，改進(jìn)生產(chǎn)工藝后批次的芯片的次品率.某手機(jī)生產(chǎn)廠商獲得批次與批次的芯片，并在某款新型手機(jī)上使用.現(xiàn)對使用這款手機(jī)的用戶回訪，對開機(jī)速度進(jìn)行滿意度調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計，回訪的名用戶中，安裝批次有部，其中對開機(jī)速度滿意的有人；安裝批次有部，其中對開機(jī)速度滿意的有人.求，并判斷是否有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對開機(jī)速度滿意度有關(guān)？附：.【答案】（1）①；②；（2），有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對開機(jī)速度滿意度有關(guān).【分析】（1）①利用對立事件、相互獨立事件概率乘法公式求得所求的次品率.②根據(jù)條件概率計算公式，計算出所求概率.（2）先求得的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求得，填寫列聯(lián)表，計算，由此作出判斷.【詳解】（1）①Ⅰ批次芯片的次品率為.②設(shè)批次Ⅰ的芯片智能自動檢測合格為事件，人工抽檢合格為事件，由己知得，，則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品為事件，.（2）個芯片中恰有個不合格的概率.因此，令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以的最大值點為.由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片質(zhì)量優(yōu)于批次.由數(shù)據(jù)可建立2×2列聯(lián)表如下：（單位：人）開機(jī)速度滿意度芯片批次合計IJ不滿意12315滿意285785合計4060100根據(jù)列聯(lián)表得.因此，有的把握認(rèn)為芯片質(zhì)量與用戶對開機(jī)速度滿意度有關(guān).【點睛】求解最值點有關(guān)的題目，是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由此來求得最值點.2．（2021·廣西·模擬預(yù)測（理））十三屆全國人大常委會第二十次會議審議通過的《未成年人保護(hù)法》針對監(jiān)護(hù)缺失、校園欺凌、煙酒損害、網(wǎng)絡(luò)沉迷等問題，進(jìn)一步壓實監(jiān)護(hù)人、學(xué)校、住宿經(jīng)營者及網(wǎng)絡(luò)服務(wù)提供者等主體責(zé)任，加大對未成年人的保護(hù)力度．某中學(xué)為宣傳未成年人保護(hù)法，特舉行一次未成年人保護(hù)法知識競賽，比賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答兩題，若答對題數(shù)不少于3題，被稱為“優(yōu)秀小組”，已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，且同學(xué)甲和同學(xué)乙答對每道題的概率分為，．（1）若，，則在第一輪競賽中，求他們獲“優(yōu)秀小組”的概率；（2）當(dāng)，且每輪比賽互不影響，如果甲乙同學(xué)在此次競賽活動中要想獲得“優(yōu)秀小組”的次數(shù)為9次，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪競賽？【答案】（1）；（2）至少要進(jìn)行19輪競賽．【分析】（1）由題意可知獲“優(yōu)秀小組”的情況包含三種情況，分別計算概率，再求和；（2）首先計算甲乙同學(xué)獲得“優(yōu)秀小組”的概率，再根據(jù)，利用基本不等式求的范圍，再將概率表示為二次函數(shù)求的最大值，根據(jù)，計算的最小值.【詳解】（1）由題可知，所以可能的情況有：①甲答對1次，乙答對2次的概率②甲答對2次，乙答對1次的概率；③甲答對2次，乙答對2次的概率故所求的概率（2）他們在輪競賽中獲“優(yōu)秀小組”的概率為：因為，，，所以，，所以利用基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，令，則，所以當(dāng)時，，他們小組在競賽中獲“優(yōu)秀小組”次數(shù)滿足由，則，所以理論上至少要進(jìn)行19輪比賽.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查獨立事件概率，二項分布，最值的綜合應(yīng)用，重點考查讀懂題意，抽象與概括能力，屬于中檔題型，本題第二問的關(guān)鍵是求出每次獲得“優(yōu)秀小組”的概率的最大值，并能抽象概括他們小組在競賽中獲“優(yōu)秀小組”次數(shù)滿足.3．（2021·江蘇泰州·模擬預(yù)測）現(xiàn)有一批疫苗試劑，擬進(jìn)入動物試驗階段，將1000只動物平均分成100組，任選一組進(jìn)行試驗．第一輪注射，對該組的每只動物都注射一次，若檢驗出該組中有9只或10只動物產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，試驗終止；否則對沒有產(chǎn)生抗體的動物進(jìn)行第二輪注射，再次檢驗．如果被二次注射的動物都產(chǎn)生抗體，說明疫苗有效，否則需要改進(jìn)疫苗．設(shè)每只動物是否產(chǎn)生抗體相互獨立，兩次注射疫苗互不影響，且產(chǎn)生抗體的概率均為．（1）求該組試驗只需第一輪注射的概率（用含的多項式表示）；（2）記該組動物需要注射次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）設(shè)第一輪注射有Y只動物產(chǎn)生抗體，則，則所求概率即；（2）先求得，由顯然可得，再變形，可證得.【詳解】（1）平均每組人，設(shè)第一輪注射有Y只動物產(chǎn)生抗體，則，所以，所以該組試驗只需第一輪注射的概率為．（2）由（1）得，，所以，設(shè)，則，又，所以，因為，所以，又，因為，所以，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第（2）問的關(guān)鍵點是：求得.4．（2021·全國·高三專題練習(xí)）冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（）等較嚴(yán)重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴(yán)重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；（2）若p與干擾素計量相關(guān)，其中（）是不同的正實數(shù)，滿足且（）都有成立.（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；（ii）當(dāng)時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值【答案】（1），（，且）；（2）（i）證明見解析；（ii）4.【分析】（1）由已知，，；的所有可能取值為1，，，根據(jù)解得即可得解；（2）（i）由已知可得，，得，可猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，再根據(jù)等比數(shù)列的定義可證結(jié)論；（ii）求出，根據(jù)得到，再構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】（1）由已知，，，得，的所有可能取值為1，，∴，.∴.若，則，所以，∴，∴.∴p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為，（，且）.（2）（i）∵證明：當(dāng)時，，∴，所以，令，則，∵，∴下面證明對任意的正整數(shù)n，.①當(dāng)，2時，顯然成立；②假設(shè)對任意的時，，下面證明時，；由題意，得，∴，∴，，∴，所以.∴或（負(fù)值舍去）.∴成立.∴由①②可知，對任意的正整數(shù)n，，所以，所以為等比數(shù)列.（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.設(shè)（），，∴當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；又，，所以，，，所以，，，∴；，.∴.∴k的最大值為4.【點睛】本題考查了對立事件的概率公式，考查了離散型隨機(jī)變量的期望公式，考查了數(shù)學(xué)歸納法，考查了等比數(shù)列的定義，考查了利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，屬于難題.5．（2021·河南南陽·高三期末（理））某單位為患病員工集體篩查新型流感病毒，需要去某醫(yī)院檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方案，方案一：逐份檢驗，則需要檢驗k次；方案二：混合檢驗，將k份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗一次，若檢驗結(jié)果為陰性，則k份血液樣本均為陰性，若檢驗結(jié)果為陽性，為了確定k份血液中的陽性血液樣本，則對k份血液樣本再逐一檢驗.逐份檢驗和混合檢驗中的每一次檢驗費用都是元，且k份血液樣本混合檢驗一次需要額外收元的材料費和服務(wù)費.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本是否為陽性是相互獨立的，且據(jù)統(tǒng)計每份血液樣本是陽性的概率為.（1）若份血液樣本采用混合檢驗方案，需要檢驗的總次數(shù)為X，求X分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）①若，以檢驗總費用為決策依據(jù)，試說明該單位選擇方案二的合理性；②若，采用方案二總費用的數(shù)學(xué)期望低于方案一，求k的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，，，【答案】（1）分布列見解析，；（2）①答案見解析；②11.【分析】（1）依據(jù)題意寫出X的所有可能取值并計算相應(yīng)的概率，列出分布列，然后計算期望即可.（2）①設(shè)方案總費用為Y，，計算數(shù)學(xué)期望，然后與方案一的總費用為，作差比較即可.②根據(jù)，可得，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）X的可能值為1和，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X1P所以.（2）①設(shè)方案總費用為Y，方案一總費用為Z，則，所以方案二總費用的數(shù)學(xué)期望為：，又，所以，又方案一的總費用為，所以，當(dāng)時，，，又，所以，所以該單位選擇方案二合理.②由①知方案二總費用的數(shù)學(xué)期望，當(dāng)時，，又方案一的總費用為，令得：，所以，即，即，所以，設(shè)，所以，令得，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，，，，，所以k的最大值為11.【點睛】本題考查概率與導(dǎo)數(shù)的綜合，本題考查閱讀理解能力以及計算能力，同時概率與數(shù)列，概率與導(dǎo)數(shù)算是近幾年熱點內(nèi)容，屬難題.6．（2021·全國·高三期中）臨近元旦，高三（1）班共50名同學(xué)，大家希望能邀請數(shù)學(xué)張老師參加元旦文藝表演．張老師決定和同學(xué)們進(jìn)行一個游戲，根據(jù)游戲的結(jié)果決定是否參與表演．游戲規(guī)則如下：班長先確定班上參與游戲的同學(xué)人數(shù)（）；每位同學(xué)手里均有張除顏色外無其他區(qū)別的卡片；第（，，，，）位同學(xué)手中有張紅色卡片，張白色卡片；老師任選其中一位同學(xué)，并且從該同學(xué)的手中隨機(jī)連續(xù)取出兩張卡片，若第二次取出的卡片為白色，則學(xué)生獲勝，張老師同意參加文藝表演，否則，張老師將不參加文藝表演．（1）若，求張老師同意參加文藝表演的概率；（2）若希望張老師參加文藝表演的可能最大，班長應(yīng)該邀請多少同學(xué)參與游戲？【答案】（1）（2）50【分析】（1）設(shè)選出的是第k（k=1，2,3）個同學(xué)，求出連續(xù)兩次卡片的方法數(shù)，再計算出第二次取出的是白色卡片的取法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.（2）設(shè)選出的是第k個同學(xué)，計算連續(xù)兩次抽取卡片的方法數(shù)為n（n-1）以及第二次取出的是白色卡片的種數(shù)，計算得出參加表演的概率，即求.（1）n=3時，設(shè)選出的是第k（k=1，2,3）個同學(xué)，連續(xù)兩次卡片的方法數(shù)為3×2=6，第二次取出的是白色卡片的兩次抽取卡片的顏色有如下兩種情形：（白，白）,取法數(shù)為（3－k）（2－k），（紅，白），取法數(shù)為k（3一k），從而第二次取出的是白色卡片的種數(shù)為：（3-k）（2-k）十k（3-k）=6-2k，則在第k個同學(xué)手中第二次取出的是白色卡片的概率，而選到第k個同學(xué)的概率為號，故所求概率為：（2）設(shè)選出的是第k個同學(xué)，連續(xù)兩次抽取卡片的方法數(shù)為n（n-1），第二次取出的是白色卡片的兩次卡片顏色有如下兩種情形：（白，白）,取法數(shù)為（n—k）（n—k－1），（紅，白），取法數(shù)為k（n一k），從而第二次取出的是白色卡片的種數(shù)為：（n－k)（n－k－1)＋k(n－k)=(n－k)(n－1),則在第k個同學(xué)中第二次取出的是白球的概率，而選到第k個同學(xué)的概率為，故所求概率為：又，可知n越大，張老師參加文藝表演的可能性最大，因此，班長應(yīng)該邀請班上的50名同學(xué)全部參與游戲，可使獲勝的概率最大.7．（2021·山東·廣饒一中高三月考）為落實立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進(jìn)行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.（1）比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？（2）第10輪比賽中，記張三取勝的概率為.①求出的最大值點；②若以作為的值，這輪比賽張三所得積分為，求的分布列及期望.【答案】（1）；（2）①；②分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）利用互斥事件的概率公式即得；（2）由題可求，然后利用導(dǎo)數(shù)可求最值，再利用條件可求隨機(jī)變量的分布列，即得.【詳解】（1）比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是；（2）①由題可知，，令，得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.所以的最大值點，②的可能取值為0，1，2，3.；；；.所以的分布列為0123的期望為.8．（2021·重慶·西南大學(xué)附中高三月考）甲、乙兩人進(jìn)行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負(fù)．已知本次比賽的主辦方提供8000元獎金并規(guī)定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時比賽終止；②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金．已知每場比賽甲贏的概率為p（0＜p＜1），乙贏的概率為1-p，且每場比賽相互獨立．（1）當(dāng)時，假設(shè)比賽不會意外終止，記比賽場次為隨機(jī)變量Y，求Y的分布列；（2）當(dāng)時，若已進(jìn)行了5場比賽，其中甲贏了3場，乙贏了2場，此時比賽因意外終止，主辦方?jīng)Q定頒發(fā)獎金，求甲獲得的獎金金額；（3）規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05，則稱該隨機(jī)事件為小概率事件，我們可以認(rèn)為該事件不可能發(fā)生，否則認(rèn)為該事件有可能發(fā)生．若本次比賽，且在已進(jìn)行的3場比賽中甲贏2場、乙贏1場，請判斷：比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎金是否有可能發(fā)生，并說明理由．【答案】（1）分布列見解析；（2）6000元；（3）不可能發(fā)生，理由見解析.【分析】（1）由題意可得，的可能取值為4，5，6，7，分別求出對應(yīng)的概率，即可求得分布列．（2）分別求出5場比賽甲勝3局，則繼續(xù)比賽甲勝的概率和繼續(xù)比賽乙勝的概率，根據(jù)二者的比值，確定獎金的占比．（3）設(shè)繼續(xù)進(jìn)行場比賽乙贏得全部獎金，可能取值為3，4，，，設(shè)乙贏得全部獎金為事件，則（A），設(shè)，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【詳解】（1）的可能取值為4，5，6，7的分布列為4567（2）5場比賽甲勝3局，則繼續(xù)比賽甲勝的概率為；繼續(xù)比賽乙勝的概率為，甲獲得獎金金額為（元）（3）設(shè)繼續(xù)進(jìn)行場比賽乙贏得全部獎金，可能取值為3，4.;設(shè)乙贏得全部獎金為事件，則設(shè)，則，由在單調(diào)遞減，認(rèn)為比賽繼續(xù)進(jìn)行乙贏得全部獎金不可能發(fā)生.9．（2021·全國·高三課時練習(xí)）系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是，各個元件是否正常工作相互獨立.如果系統(tǒng)中有多于一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作，系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.已知該系統(tǒng)配置有個元件，為正整數(shù).（1）求該系統(tǒng)正常工作的概率的表達(dá)式；（2）現(xiàn)為改善系統(tǒng)的性能，擬增加2個元件，試討論增加2個元件后，系統(tǒng)可靠性的變化.【答案】（1）；（2）當(dāng)時，系統(tǒng)可靠性不變；當(dāng)，系統(tǒng)可靠性降低；當(dāng)，系統(tǒng)可靠性提高.【分析】（1）結(jié)合獨立重復(fù)試驗概率計算公式，求得的表達(dá)式.（2）通過對“前個元件中正常工作的元件數(shù)量”進(jìn)行分類討論，求得增加個元件后系統(tǒng)的可靠性，利用差比較法對系統(tǒng)可靠性的變化進(jìn)行探討.【詳解】（1）個元件中，恰好有個正常工作的概率為，恰好有個元件正常工作的概率為，恰好有個元件正常工作的概率為，故，（2）若增加2個元件，此時共有個元件.為使系統(tǒng)正常工作，前個元件中至少有個元件正常工作.分三種情況討論：①前個元件中恰好有個元件正常工作的概率為，此時新增的2個元件必須同時正常工作，所以這種情況下系統(tǒng)正常工作的概率為；②前個元件中恰好有個元件正常工作的概率為，此時新增的2個元件至少有1個正常工作即可，所以這種情況下系統(tǒng)正常工作的概率為；③前個元件中至少有個元件正常工作的概率為，此時不管新增的2個元件是否正常工作，系統(tǒng)都會正常工作.所以當(dāng)有個元件時，系統(tǒng)正常工作的概率為.所以.故當(dāng)時，，系統(tǒng)可靠性不變；當(dāng)，，系統(tǒng)可靠性降低；當(dāng)，，系統(tǒng)可靠性提高.10．（2021·全國·高三課時練習(xí)）為了檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動物與人體試驗.研究人員將疫苗注射到200只小白鼠體內(nèi)，一段時間后測量小白鼠的某項指標(biāo)值，按，，，，分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項指標(biāo)值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨立.（1）填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨立性檢驗，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān).單位：只抗體指標(biāo)值合計小于60不小于60有抗體沒有抗體合計（2）為檢驗疫苗二次接種的免疫抗體性，對第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.（i）用頻率估計概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率；（ii）以（i）中確定的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗，記個人注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量.試驗后統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)時，取最大值，求參加人體接種試驗的人數(shù)及.參考公式：(其中為樣本容量)參考數(shù)據(jù)：0.500.40000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；（2）（i）；（ii）當(dāng)接種人數(shù)為n=99時，；當(dāng)n=100時，.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖算出每個區(qū)間段的小白鼠數(shù)量，然后根據(jù)指標(biāo)值完成列聯(lián)表，并根據(jù)參考公式進(jìn)行運算，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)比對，最終得到答案；（2）（i）根據(jù)古典概型公式，結(jié)合對立事件概率求法即可得到答案；（ii）根據(jù)最大，結(jié)合二項定理概率求法列出不等式組解出X，最后求出期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標(biāo)值分布為：在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）；在內(nèi)有（只）.由題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50只；而指標(biāo)值小于60的小白鼠共有（只），所以指標(biāo)值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標(biāo)值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，故列聯(lián)表如下：單位：只抗體指標(biāo)值合計小于60不小于60有抗體50110160沒有抗體202040合計70130200零假設(shè)為：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得.根據(jù)的獨立性檢驗，推斷不成立，即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”.記事件A，B，C發(fā)生的概率分別為，，，則，，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率.（ii）由題意，知隨機(jī)變量，（）.因為最大，所以，解得，因為是整數(shù)，所以或，所以接受接種試驗的人數(shù)為99或100.①當(dāng)接種人數(shù)為99時，；②當(dāng)接種人數(shù)為100時，.11．（2021·遼寧·高三月考）個人所得稅起征點是個人所得稅工薪所得減除費用標(biāo)準(zhǔn)或免征額，個稅起征點與個人稅負(fù)高低的關(guān)系最為直接，因此成為廣大工薪階層關(guān)注的焦點.隨著我國人民收入的逐步增加，國家稅務(wù)總局綜合考慮人民群眾消費支出水平增長等各方面因素，規(guī)定從2019年1月1日起，我國實施個稅新政.實施的個稅新政主要內(nèi)容包括:①個稅起征點為元②每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除;③專項附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計算方法及其對應(yīng)的稅率表如下:舊個稅稅率表(個稅起征點元)新個稅稅率表(個稅起征點元)繳稅級數(shù)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點稅率/%每月應(yīng)納稅所得額(含稅）收入個稅起征點專項附加扣除稅率/%1不超過元不超過元2部分超過元至元部分部分超過元至元部分3超過元至元的部分超過元至元的部分4超過元至元的部分超過元至元的部分5超過元至元部分超過元至元部分············隨機(jī)抽取某市名同一收入層級的無親屬關(guān)系的男性互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者(以下互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都是指無親屬關(guān)系的男性)的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計分析，預(yù)估他們2022年的人均月收入為元.統(tǒng)計資料還表明，他們均符合住房專項扣除，同時他們每人至多只有一個符合子女教育扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是.此外，他們均不符合其他專項附加扣除.新個稅政策下該市的專項附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為:住房元/月，子女教育每孩元/月，贍養(yǎng)老人元/月等.假設(shè)該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者都獨自享受專項附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入.根據(jù)樣本估計總體的思想，解決下列問題.（1）按新個稅方案，設(shè)該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年月繳個稅為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;（2）根據(jù)新舊個稅方案，估計從2022年1月開始，經(jīng)過幾個月，該市該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者各月少繳的個稅之和就能購買一臺價值為元的華為智慧屏巨幕電視?【答案】（1）分布列見解析，3150；（2）12個月.【分析】（1）先求出的可能值為，再求其對應(yīng)的概率即得解；（2）先求出該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者每月少繳的個稅為元，再解不等式即得解.【詳解】解:既不符合子女教育扣除也不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為元，月繳個稅元;只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為元，月繳個稅元;只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為元，月繳個稅元;既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額元，月繳個稅元.所以的可能值為，依題意，上述四類人群的人數(shù)之比是，所以，，，所以的分布列為所以在舊政策下該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年每月應(yīng)納稅所得額為元，其月繳個稅為元，由知在新政策下該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者2022年月繳個稅為元，所以該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者每月少繳的個稅為元.設(shè)經(jīng)過個月，該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者少繳的個稅的總和就超過則因為所以所以經(jīng)過個月﹐該收入層級的互聯(lián)網(wǎng)從業(yè)者就能購買一臺價值為元的華為智慧屏巨幕電視.12．（2021·全國·模擬預(yù)測）2020年我國科技成果斐然，其中北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)7月31日正式開通．北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星，共30顆衛(wèi)星組成．北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全球范圍定位優(yōu)于10米，實測的導(dǎo)航定位精度都是2~3米，全球服務(wù)可用性99%，亞太地區(qū)性能更優(yōu)．（Ⅰ）南美地區(qū)某城市通過對1000輛家用汽車進(jìn)行定位測試，發(fā)現(xiàn)定位精確度近似滿足，預(yù)估該地區(qū)某輛家用汽車導(dǎo)航精確度在的概率；（Ⅱ）（ⅰ）某地基站工作人員30顆衛(wèi)星中隨機(jī)選取4顆衛(wèi)星進(jìn)行信號分析，選取的4顆衛(wèi)星中含3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）某日北京、上海、拉薩、巴黎、里約5個基地同時獨立隨機(jī)選取1顆衛(wèi)星進(jìn)行信號分析，選取的5顆衛(wèi)星中含中圓地球軌道衛(wèi)星的數(shù)目記為，求的數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，．【答案】（Ⅰ）0.84；（Ⅱ）（?。┓植剂幸娊馕觯?；（ⅱ）4.【分析】（Ⅰ）根據(jù)“”原則及圖形的對稱性即可求解；（Ⅱ）（?。┯深}可知服從超幾何分布，利用公式即可求解；（ⅱ）由題可知服從二項分布，利用公式即可求解．【詳解】（Ⅰ）由，易知，則預(yù)估該地區(qū)某輛家用汽車導(dǎo)航精確度在的概率為0.84．（Ⅱ）（ⅰ）由題意知，，∴的分布列為∴．（ⅱ）5個基地相互獨立，每個基地隨機(jī)選取1顆衛(wèi)星是中圓地球軌道衛(wèi)星的概率為，所以5個基地選取的5顆衛(wèi)星中含中圓地球軌道衛(wèi)星的數(shù)目，∴．【點睛】方法點睛：本題以北斗三號全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為背景，考查正態(tài)分布、超幾何分布、二項分布，求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合，概率知識求出取各個值時對應(yīng)的概率，對應(yīng)服從某種特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，考查學(xué)生邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題.13．（2021·湖南·雙峰縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）有甲、乙兩個袋子，甲袋中有2個白球2個紅球，乙袋中有2個白球2個紅球，從甲袋中隨機(jī)取出一球與乙袋中隨機(jī)取出一球進(jìn)行交換．（1）一次交換后，求乙袋中紅球與白球個數(shù)不變的概率；（2）二次交換后，記X為“乙袋中紅球的個數(shù)”，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【分析】（1）分甲乙交換的均是紅球，甲乙交換的均是白球，兩種情況討論即可得解；（2）寫出隨機(jī)變量X的所有可能取值，先分別求出一次交換后，乙袋中有2個白球2個紅球，乙袋中有1個白球3個紅球，乙袋中有3個白球1個紅球的概率，從而可求得對于隨機(jī)變量的概率，寫出分布列，根據(jù)期望公式即可求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）甲乙交換的均是紅球，則概率為，甲乙交換的均是白球，則概率為，所以乙袋中紅球與白球個數(shù)不變的概率為；（2）X可取0，1，2，3，4，由（1）得，一次交換后，乙袋中有2個白球2個紅球的概率為，乙袋中有1個白球3個紅球的概率為，乙袋中有3個白球1個紅球的概率為，則，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P所以數(shù)學(xué)期望.14．（2021·福建·模擬預(yù)測）班級里共有名學(xué)生，其中有，，．已知，，中任意兩人均為朋友，且三人中每人均與班級里中超過一半的學(xué)生為朋友．若對于某三個人，他們當(dāng)中任意兩人均為朋友，則稱他們組成一個“朋友圈”．（1）求班級里朋友圈個數(shù)的最大值．（2）求班級里朋友圈個數(shù)的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用組合數(shù)可求；（2）利用容斥原理可求.【詳解】（1）當(dāng)班級中的任意3人中，任意兩個人都是朋友時，班級里朋友圈個數(shù)的最大，此時.（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，，中的每個人都至少與班級的3個同學(xué)是好朋友，故4人彼此是好朋友，故，當(dāng)時，記為班級中除去且與是朋友的同學(xué)的集合，為班級中除去且與是朋友的同學(xué)的集合，為班級中除去且與是朋友的同學(xué)的集合，若，由題設(shè)可知，、、中的元素的個數(shù)不小于，余下同學(xué)記為：，集合中元素的個數(shù)記為，因為余下人數(shù)為，由容斥原理可得，所以，即，故此時，考慮一種特殊情況：，此時朋友圈個數(shù)為，故.若，由題設(shè)可知，、、中的元素的個數(shù)不小于，余下同學(xué)記為：，集合中元素的個數(shù)記為，因為余下人數(shù)為，由容斥原理可得，所以，即，故此時，考慮一種特殊情況：，此時朋友圈個數(shù)為，故.綜上，.15．（2021·江蘇省前黃高級中學(xué)高三月考）公元1651年，法國學(xué)者德梅赫向數(shù)學(xué)家帕斯卡請教了一個問題：設(shè)兩名賭徒約定誰先贏滿4局，誰便贏得全部賭注元，已知每局甲贏的概率為，乙贏的概率為，且每局賭博相互獨立，在甲贏了2局且乙贏了1局后，賭博意外終止，則賭注該怎么分才合理？帕斯卡先和費爾馬討論了這個問題，后來惠更斯也加入了討論，這三位當(dāng)時歐洲乃至全世界著名的數(shù)學(xué)家給出的分配賭注的方案是：如果出現(xiàn)無人先贏4局且賭博意外終止的情況，則甲、乙按照賭博再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部賭注的概率之比分配賭注．（友情提醒：珍愛生命，遠(yuǎn)離賭博）（1）若，甲?乙賭博意外終止，則甲應(yīng)分得多少元賭注？（2）若，求賭博繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部賭注的概率，并判斷“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”是否為小概率事件（發(fā)生概率小于的隨機(jī)事件稱為小概率事件）．【答案】（1）216元；（2），是小概率事件．【分析】（1）設(shè)賭博再繼續(xù)進(jìn)行X局且甲贏得全部賭注，則最后一局必然甲贏，由題意知，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必然有人贏得全部賭注，利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出甲贏的概率，由此能求出甲應(yīng)分得的賭注．（2）設(shè)賭博繼續(xù)進(jìn)行Y局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏，當(dāng)時，乙以贏，，當(dāng)時，乙以贏，，求出甲贏得全部賭注的概率對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，求出該函數(shù)的最小值，從而判斷出“賭博繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部賭注”是小概率事件.【詳解】（1）設(shè)賭博再繼續(xù)進(jìn)行局且甲贏得全部賭注，則最后一局必然甲贏由題意知，最多再進(jìn)行4局，甲、乙必然有人贏得全部賭注．當(dāng)時，甲以贏，所以；當(dāng)時，甲以贏，所以；當(dāng)時，甲以贏，所以．所以，甲贏的概率為．所以，甲應(yīng)分得的賭注為元（2）設(shè)賭注繼續(xù)進(jìn)行局乙贏得全部賭注，則最后一局必然乙贏，則的可能取值有3、4，當(dāng)時，乙以贏，；當(dāng)時，乙以贏，；所以，乙贏得全部賭注的概率為于是甲贏得全部賭注的概率求導(dǎo)，．因為所以所以在上單調(diào)遞增，于是．故乙贏的概率最大為故是小概率事件．16．（2021·湖南師大附中高三月考）一疫苗生產(chǎn)單位通過驗血方法檢驗?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，需要檢驗血液是否有抗體現(xiàn)有份血液樣本每份樣本取到的可能性均等有以下兩種檢驗方式：（1）逐份檢驗，則需要檢驗n次；（2）混合檢驗將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗若檢驗結(jié)果無抗體，則這k份的血液全無抗體，因而這k份血液樣本只需檢驗一次就夠了，若檢驗結(jié)果有抗體，為了明確這k份血液究竟哪幾份有抗體就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗總次數(shù)為k+1次假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果有無抗體都是相互獨立的，且每份樣本有抗體的概率均為．（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，若采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；（2）現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式樣本需要檢驗的總次數(shù)為．若，求關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式，并證明．【答案】（1）；（2）；證明見解析．【分析】（1）設(shè)恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A，由古典概型概率計算公式可得答案；（2）由題得，，進(jìn)而根據(jù)化簡整理得，再令（且）得，再令，利用導(dǎo)數(shù)研究最值得，進(jìn)而得，即，進(jìn)而證明.【詳解】解：（1）設(shè)恰好經(jīng)過3次檢驗?zāi)馨延锌贵w血液樣本全部檢驗出來為事件A，所以，所以恰好經(jīng)過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率為．（2）由已知得，的所有可能取值為1，．所以，，所以，若，則，所以，，所以，即，所以p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為（且）證明：令（且）所以，令，，所以得，所以，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增所以，所以，因為且，所以，即，所以，即，所以．【點睛】本題考查古典概型求概率，隨機(jī)變量概率分布列，數(shù)學(xué)期望，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等，考查運算求解能力，邏輯推理能力，是難題.本題第二問題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意求得，進(jìn)而結(jié)合得，再通過換元法結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式.17．（2021·全國·高三專題練習(xí)（理））某市為提升農(nóng)民的年收入，更好地實現(xiàn)2021年精準(zhǔn)扶貧的工作計劃，統(tǒng)計了2020年位農(nóng)民的年收入并制成頻率分布直方圖，如圖．[Failedtodownloadimage:/dksih/QBM/2021/7/10/2761416923308032/2776847444451328/STEM/98da53a0dc174d8faf0b102e862ddbb3.png]（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這位農(nóng)民的年平均收入（單位：千元）（同一數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）；（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該市農(nóng)民年收入服從正態(tài)分布，其中近似為年平均收入，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，利用該正態(tài)分布，求：①在扶貧攻堅工作中，若使該市約有占農(nóng)民人數(shù)的的農(nóng)民的年收入高于本市規(guī)定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則此最低年收入標(biāo)準(zhǔn)大約為多少千元？②該市為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策落實情況，隨機(jī)走訪了位農(nóng)民．若每位農(nóng)民的年收入互相獨立，問：這位農(nóng)民中的年收入不少于千元的人數(shù)最有可能是多少？附：；若，則，，．【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人．【分析】(1)求各組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值乘以相應(yīng)的頻率之和，即可得；(2)①根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性分析求解即可；②根據(jù)正態(tài)分布求出每個農(nóng)民的年收入不少于千元的概率，記個農(nóng)民的年收入不少于千元的人數(shù)為，可得，其中，然后根據(jù)二項分布的概率計算公式，計算出“恰好有個農(nóng)民的年收入不少于千元”中的最大值即可.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知：，故估計位農(nóng)民的年平均收入為千元．（2）由題意知，①因為，時，滿足題意，即最低年收入標(biāo)準(zhǔn)大約為千元；②由，每個農(nóng)民的年收入不少于千元的概率為，記個農(nóng)民的年收入不少于千元的人數(shù)為，則，其中，于是恰好有個農(nóng)民的年收入不少于千元的事件概率為．從而由，得，而，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，由此可知，在所走訪位農(nóng)民中，年收入不少于千元的人數(shù)最有可能是人．18．（2021·重慶八中高三月考）為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個階段進(jìn)行：第一階段由評委為所有參賽作品評分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員由組委會按規(guī)則另行確定.數(shù)據(jù)統(tǒng)計員對第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計分析，這些分?jǐn)?shù)X都在內(nèi)，再以5為組距畫分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖（設(shè)“”）時，發(fā)現(xiàn)Y滿足：.（1）試確定n的所有取值，并求k；（2）組委會確定：在第一階段比賽中低于85分的同學(xué)無緣獲獎也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為一等獎；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為二等獎，但通過附加賽有的概率提升為一等獎；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的同學(xué)評為三等獎，但通過附加賽有的概率提升為二等獎（所有參加附加賽的獲獎人員均不降低獲獎等級，且附加賽獲獎等級在第一階段獲獎等級基礎(chǔ)上，最多升高一級）.已知學(xué)生A和B均參加了本次比賽，且學(xué)生A在第一階段獲得二等獎.①求學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A最終獲獎等級的概率；②已知學(xué)生A和B都獲獎，記A，B兩位同學(xué)最終獲得一等獎的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；；（2）①；②分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)及組距可得的可能值，由頻率和為1可求得．（2）①視頻率為概率可得分?jǐn)?shù)在5個區(qū)間上的概率，用符號（或）表示學(xué)生A（或B）在第一輪獲獎等級為i，通過附加賽最終獲獎等級為j，其中，記“學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A的最終獲獎等級”為事件W，則，由互斥事件和獨立事件概率公式計算可得；②先分別求出獲得一等獎的概率，注意此時用條件概率計算，只有第一輪獲獎，都有可能最終獲利一等獎．最終獲一等獎概率易知為，而最終獲一等獎，需要在第一輪獲獎的條件下才可能實現(xiàn)．因此，的可能取值為，分別計算概率可得分布列，再由期望公式計算期望．【詳解】（1）根據(jù)題意，X在內(nèi)，按5為組距可分成5個小區(qū)間，分別是，，，，，因為，由，，所以.每個小區(qū)間的頻率值分別是由，解得.（2）①由于參賽學(xué)生很多，可以把頻率視為概率.由（1）知，學(xué)生B的分?jǐn)?shù)屬于區(qū)間，，，，的概率分別是：，，，，.我們用符號（或）表示學(xué)生A（或B）在第一輪獲獎等級為i，通過附加賽最終獲獎等級為j，其中記“學(xué)生B最終獲獎等級不低于學(xué)生A的最終獲獎等級”為事件W，則.②學(xué)生A最終獲得一等獎的概率是，學(xué)生B最終獲得一等獎的概率是，，，.所以的分布列為：012P.【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查互斥事件與獨立事件的概率公式，條件概率的計算，隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解題關(guān)鍵難點有兩個，一是用用符號（或）表示學(xué)生A（或B）在第一輪獲獎等級為i，通過附加賽最終獲獎等級為j，其中，這樣所求概率事件可表示若干互斥事件的和，從而求得概率；二是認(rèn)識到最終獲得一等獎這個事件是在第一輪獲獎的條件下才能發(fā)生，因此需要用條件概率來理解計算．19．（2021·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）某商城玩具柜臺五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個系列盲盒，每個甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個.（1）記事件：一次性購買個甲系列盲盒后集齊玩偶，，玩偶；事件：一次性購買個乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）某禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費者每天只有一次購買機(jī)會，且購買時，只能選擇其中一個系列的一個盲盒.通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為，前一次購買乙系列的消費者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復(fù)，記某人第次購買甲系列的概率為.①求的通項公式；②若每天購買盲盒的人數(shù)約為，且這人都已購買過很多次這兩個系列的盲盒，試估計該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個系列的盲盒各多少個.【答案】（1）；；（2）①；②甲系列盲盒個，乙系列盲盒個.【分析】（1）計算一次性購買個甲系列盲盒，得到玩偶的情況總數(shù)為，利用排列與組合計算當(dāng)集齊，，玩偶的所有情況總數(shù)，然后得到；利用正難則反思想，先計算一次性買個乙系列盲盒不能集齊，玩偶的概率，再利用計算即可；（2）①由題意可得，當(dāng)時，，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項公式；②假設(shè)用表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則根據(jù)題意可知，利用二項分布數(shù)學(xué)期望的計算公式得出購買甲的人數(shù)，從而得出購買乙的人數(shù)，根據(jù)一天中購買甲、乙的人數(shù)確定每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩種盲盒的個數(shù).【詳解】解：（1）若一次性購買個甲系列盲盒，得到玩偶的情況總數(shù)為，集齊，，玩偶，則有兩種情況：

①其中一個玩偶個，其他兩個玩偶各個，則有種結(jié)果；②若其中兩個玩偶各個，另外兩個玩偶1個，則共有種結(jié)果，故；若一次性購買個乙系列盲盒，全部為與全部為的概率相等，均為，故；（2）①由題可知：，當(dāng)時，，則，，即是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.所以，即；②因為每天購買盲盒的人都已購買過很多次，所以對于每一個人來說，某一天來購買盲盒時，可看作，所以，其購買甲系列的概率近似于，假設(shè)用表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則，所以，即購買甲系列的人數(shù)的期望為，所以禮品店應(yīng)準(zhǔn)備甲系列盲盒個，乙系列盲盒個.【點睛】本題考查概率的實際運用，考查概率與數(shù)列的綜合問題，解答本題的關(guān)鍵在于：（1）理解題目的意思，將問題靈活轉(zhuǎn)化，利用排列與組合解決（1）中及的計算；（2）分析清楚與之間的聯(lián)系，類比已知數(shù)列遞推關(guān)系式求通項公式的方法求解，然后利用的性質(zhì)解題.20．（2021·全國·高三專題練習(xí)）在創(chuàng)建“全國文明城市”過程中，我市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查（一位市民只能參加一次）通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的100人的得分統(tǒng)計結(jié)果如表所示：組別[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數(shù)213212524114（1）由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分，近似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值作代表），①求的值；②利用該正態(tài)分布，求；（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費，得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費；②每次獲贈的隨機(jī)話費和對應(yīng)的概率為：贈送話費的金額（單位：元）2050概率現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)與公式：．若，則，，.【答案】（1），；（2）分布列見解析，【分析】（1）直接根據(jù)公式計算得到，再根據(jù)正態(tài)分布的對稱性及計算得到答案.（2）獲贈話費的可能取值為20，40，50，70，100，計算概率得到分布列，再計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】（1）由題意得：，∴，∵，，（2）由題意知，.獲贈話費的可能取值為20，40，50，70，100，，，，，，.∴的分布列為：

20

40

50

70

100

∴.【點睛】方法點睛：本題考查了正態(tài)分布求概率，分布列和數(shù)學(xué)期望，求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合，概率知識求出取各個值時對應(yīng)的概率，對應(yīng)服從某種特殊分布的隨機(jī)變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，考查學(xué)生邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題.21．（2021·全國·高三專題練習(xí)）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．【答案】（1）1；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）利用公式計算可得.（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點的范圍可得的最小正零點.（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說明.【詳解】（1）.（2）設(shè)，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當(dāng)時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當(dāng)時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.22．（2021·江西·南昌市豫章中學(xué)高三開學(xué)考試（理））某籃球隊為提高隊員的訓(xùn)練積極性，進(jìn)行小組投籃游戲，每個小組由兩名隊員組成，隊員甲與隊員乙組成了一個小組.游戲規(guī)則：每個小組的兩名隊員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”，已知甲乙兩名隊員投進(jìn)籃球的概率為別為，.（1）若，，則在第一輪游戲他們獲“神投小組”的概率；（2）若，則在游戲中，甲乙兩名隊員想要獲得“神投小組”的稱號16次，則理論上他們小組要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時，的值.【答案】（1）；（2）理論上至少要進(jìn)行輪游戲，.【分析】（1）由題分析可能的情況，利用獨立事件概率公式和獨立重復(fù)事件概率公式計算；（2）先求得他們在一輪游戲中獲“神投小組”的概率，并化簡為關(guān)于的二次函數(shù)，利用不等式的基本性質(zhì)和基本不等式求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最大值，按照此最大值，利用二項分布的期望公式求得他們小組在輪游戲中獲“神投小組”次數(shù)的期望值的最大值，令此最大值等于16，即求得理論上上他們小組要進(jìn)行的游戲輪數(shù)的最小值，并根據(jù)基本不等式成立的條件求得此時，的值.【詳解】（1）由題可知，所以可能的情況有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率:.（2）他們在一輪游戲中獲“神投小組”的概率為:，因為，所以，因為，，，所以，，又，所以，令，以，則，當(dāng)時，，他們小組在輪游戲中獲“神投小組”次數(shù)滿足，由，則，所以理論上至少要進(jìn)行輪游戲.此時，，.【點睛】本題考查二項分布的應(yīng)用，涉及利用基本不等式求最值，屬中檔題，關(guān)鍵是熟練掌握獨立事件及獨立重復(fù)事件概率公式，利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)求得他們在一輪游戲中獲“神投小組”的概率的最大值，熟練掌握二項分布的期望值公式.23．（2021·全國·高三專題練習(xí)）2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕.中國站在“兩個一百年”的歷史交匯點，全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程即將開啟.2021年3月23日，中宣部介紹中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒影隧椫饕獌?nèi)容，其中第一項是結(jié)合鞏固深化“不忘初心?牢記使命”主題教育成果，在全體黨員中開展黨史學(xué)習(xí)教育.這次學(xué)習(xí)教育貫穿2021年全年，總的要求是學(xué)史明理?學(xué)史增信?學(xué)史崇德?學(xué)史力行，教育引導(dǎo)黨員干部學(xué)黨史?悟思想?辦實事，開新局.為了配合這次學(xué)黨史活動，某地組織全體黨員干部參加黨史知識競賽，現(xiàn)從參加人員中隨機(jī)抽取100人，并對他們的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）現(xiàn)從這100人中隨機(jī)抽取2人，記其中得分不低于80分的人數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列及期望；（2）由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該地參加黨史知識競賽人員的分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計算.現(xiàn)從所有參加黨史知識競賽的人員中隨機(jī)抽取500人，且參加黨史知識競賽的人員的分?jǐn)?shù)相互獨立，試問這500名參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：，，，.【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）人數(shù)最有可能是79.【分析】（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值為0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；（2）由題求出，根據(jù)題意可得，即可求解.【詳解】解：（1）100人中得分不低于80分的人數(shù)為，隨機(jī)變量可能的取值為0，1，2.又，，，則的分布列為：012.（2）.，，每位參賽者分?jǐn)?shù)不低于82.3的概率為0.15865，記500位參賽者中分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)為隨機(jī)變量，則，其中，所以恰好有個參賽者的分?jǐn)?shù)不低于82.3的概率為，，1，2，…，500.由，得.所以當(dāng)時，，當(dāng)時，由此可知，在這500名參賽者中分?jǐn)?shù)不低于82.3的人數(shù)最有可能是79.24．（2021·廣東·東莞市東方明珠學(xué)校模擬預(yù)測）某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是不是陽性，現(xiàn)有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要檢驗次．方式二：混合檢驗，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗．若檢驗結(jié)果為陰性，這份血液樣本全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗一次就夠了；若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液樣本究竟哪幾份為陽性，就要對這份血液樣本再逐份檢驗，此時這份血液樣本的檢驗次數(shù)總共為．假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為．現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，需要檢驗的總次數(shù)為．（1）若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若與干擾素計量相關(guān)，其中是不同的正整數(shù)，且，都有成立．①求證：數(shù)列是等比數(shù)列；②當(dāng)時，采用混合檢驗方式可以使樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比采用逐份檢驗方式的檢驗總次數(shù)的期望值更少，求的最大值．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）；（2）①證明見詳解；②.【分析】（1）先由題意，得到；的可能取值為，；由離散型隨機(jī)變量的期望求出，再由，化簡整理，即可得出結(jié)果；（2）①當(dāng)時，由題中條件，得到，推出，令；利用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意的正整數(shù)，即可；②由①的結(jié)果，得到，根據(jù)題中條件，得到，推出；設(shè)，，對其求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法判定其單調(diào)性，再結(jié)合具體的函數(shù)值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由已知，，，得；的可能取值為，，由題意，，所以；又，即，則，所以，即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為；（2）①證明：當(dāng)時，，所以，令，則；因為，所以下面證明對任意的正整數(shù)，；（i）當(dāng)時，顯然成立；（ii）假設(shè)時，成立；當(dāng)時，由，所以，則，即，所以，因此，解得或（負(fù)值舍去），所以；由（i）（ii）可知，，即數(shù)列是等比數(shù)列；②由①知，，因為采用混合檢驗方式可以使樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比采用逐份檢驗方式的檢驗總次數(shù)的期望值更少，即，所以，則，所以，即；設(shè)，，則，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以；又，，所以使的最大整數(shù)的取值為，即時，的最大值為；綜上，的最大值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題第二問的關(guān)鍵在于先由題中條件，得到，猜想數(shù)列的通項公式；再由數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟進(jìn)行證明即可.25．（2021·全國·高三專題練習(xí)）安慶市某學(xué)校高三年級開學(xué)之初增加晚自習(xí)，晚飯在校食堂就餐人數(shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過一周左右統(tǒng)計調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是25%?選擇餐廳乙就餐的概率為75%，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是50%?選擇餐廳甲就餐的概率也為50%，如此往復(fù).假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第n天選擇甲餐廳就餐的概率為.（1）記某班級的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；（2）請寫出與的遞推關(guān)系；（3）求數(shù)列的通項公式并幫助學(xué)校解決以下問題：為提高學(xué)生服務(wù)意識和團(tuán)隊合作精神，學(xué)校每天從20個班級中每班抽調(diào)一名學(xué)生志愿者為全體學(xué)生提供就餐服務(wù)工作，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何合理分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)？請說明理由.【答案】（1）分布列答案見解析，；

（2）；

（3）分配到餐廳甲和餐廳乙志愿者人數(shù)8人和12人，理由見解析.【分析】（1）依題意可得，進(jìn)而可得分布列和期望；（2）由可得結(jié)果；（3）由（2）求得，且，由此可得分配方案.【詳解】（1）某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率，某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率，位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為，則.，的分布列為0123故.（2）依題意，，即.（3）由（2）知，則當(dāng)時，可得，數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列.，即.，所以，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為，分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第（1）問的關(guān)鍵點是：探究得到；后兩問的關(guān)鍵點是得到遞推關(guān)系.26．（2021·山東·模擬預(yù)測）某商場擬在年末進(jìn)行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券“的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6），若向上點數(shù)不超2點，獲得1分，否則獲得2分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計得分為19分，則游戲結(jié)束，可得到200元禮券，若累計得分為20分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行20輪游戲．（1）當(dāng)進(jìn)行完3輪游戲時，總分為X，求X的期望；（2）若累計得分為i的概率為，（初始得分為0分，）．①證明數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是等比數(shù)列；②求活動參與者得到紀(jì)念品的概率．【答案】（1）5；（2）①證明見解析；②．【分析】（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，而每輪游戲的結(jié)果互相獨立，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時，得1分的次數(shù)為，所以，，即可求出X的期望；（2）①根據(jù)累計得分為i的概率為，分兩種情形討論得分情況，從而得到遞推式，再根據(jù)構(gòu)造法即可證出數(shù)列是等比數(shù)列；②根據(jù)①可求出，再根據(jù)累加法即可求出，然后由從而解出．【詳解】（1）由題意可知每輪游戲獲得1分的概率為，獲得2分的概率為，設(shè)進(jìn)行完3輪游戲時，得1分的次數(shù)為，所以，，而，即隨機(jī)變量X可能取值為3，4，5，6，，，，．∴X的分布列為：X3456PE（X）＝＝5．（2）①證明：n＝1，即累計得分為1分，是第1次擲骰子，向上點數(shù)不超過2點，，則，累計得分為i分的情況有兩種：（Ⅰ）i＝（i﹣2）＋2，即累計得i﹣2分，又?jǐn)S骰子點數(shù)超過2點，其概率為，（Ⅱ）累計得分為i﹣1分，又?jǐn)S骰子點數(shù)沒超過2點，得1分，其概率為，∴，∴，（i＝2，3，???，19），∴數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列．②∵數(shù)列，（i＝1，2，…，19）是首項為﹣，公比為﹣的等比數(shù)列，∴，∴，，???，，各式相加，得：，∴，（i＝1，2，???，19），∴活動參與者得到紀(jì)念品的概率為：．【點睛】本題第一問解題關(guān)鍵是明確得1分的次數(shù)為服從二項分布，從而找到所求變量與的關(guān)系，列出分布列，求得期望；第二問①主要是遞推式的建立，分析判斷如何得到分的情況，進(jìn)而得到，利用數(shù)列知識即可證出，②借由①的結(jié)論，求出，分析可知，從而解出．27．（2021·重慶一中模擬預(yù)測）某5G傳輸設(shè)備由奇數(shù)根相同的光導(dǎo)纖維并聯(lián)組成，每根光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號的概率均為，且每根光導(dǎo)纖維能否正常傳輸信號相互獨立．已知該設(shè)備中有超過一半的光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號，這個5G傳輸設(shè)備才可以正常工作．記根光導(dǎo)纖維組成的這種5G傳輸設(shè)備可以正常工作的概率為．（1）用p表示；（2）當(dāng)時，證明：；（3）為提高這個5G傳輸設(shè)備正常工作的概率，在這個傳輸設(shè)備上再并聯(lián)兩根相同規(guī)格的光導(dǎo)纖維，且新增光導(dǎo)纖維后的5G傳輸設(shè)備有超過一半的光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號才可以正常工作．確定的取值范圍，使新增兩根光導(dǎo)纖維可以提高這個5G傳輸設(shè)備正常工作的概率．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】由題設(shè)可得，（1）將代入上式即可求；（2）由題意，由易知，進(jìn)而可證明結(jié)論.（3）討論新增兩個光纖{兩根都能正常工作，一根正常工作，兩根都不能正常工作}對應(yīng)的光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號的概率，進(jìn)而求，根據(jù)即可求的范圍.【詳解】由題意知：要使5G傳輸設(shè)備可以正常工作，則至少有根光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號，∴，（1）由上知：；（2）當(dāng)時，有，而，∴，故，得證；（3）由題意，，新增兩根光導(dǎo)纖維后，兩根都能正常工作、一根正常工作、兩根都不能正常工作，對應(yīng)該設(shè)備能正常工作的概率分別為，∴，，，∴，∴使新增兩根光導(dǎo)纖維可以提高這個5G傳輸設(shè)備正常工作的概率，則，∴，故時新增兩根光導(dǎo)纖維可以提高這個5G傳輸設(shè)備正常工作的概率．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，討論新增兩個光纖{兩根都能正常工作，一根正常工作，兩根都不能正常工作}對應(yīng)的光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號的概率，根據(jù)題意得到即可求概率的范圍.28．（2021·山東·煙臺二中三模）為紀(jì)念中國共產(chǎn)黨成立100周年，加深青少年對黨的歷史、黨的知識、黨的理論和路線方針的認(rèn)識，激發(fā)愛黨愛國熱情，堅定走新時代中國特色社會主義道路的信心，某校舉辦了黨史知識競賽．競賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答3道題，若答對題目不少于5道題，則獲得一個積分．已知甲乙兩名同學(xué)一組，甲同學(xué)和乙同學(xué)對每道題答對的概率分別是和，且每道題答對與否互不影響．（1）若，，求甲乙同學(xué)這一組在一輪競賽中獲得一個積分的概率；（2）若，且每輪比賽互不影響，若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得5個積分，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪競賽？【答案】（1）；（2）15【分析】（1）根據(jù)可求得；（2）得出獲得一個積分的，由已知可得，進(jìn)而求得，根據(jù)甲乙兩同學(xué)在輪比賽中獲得的積分?jǐn)?shù)滿足，根據(jù)即可解得.【詳解】（1）假設(shè)甲和乙答對的題目個數(shù)分別為和，故所求概率，所以甲乙同學(xué)這一組在一輪競賽中獲得一個積分的概率為；（2）由（1）得，整理得，因為且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，令，則，所以，則，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，甲乙兩同學(xué)在輪比賽中獲得的積分?jǐn)?shù)滿足，所以由，即解得，因為為正整數(shù)，所以至少為15，所以若甲乙同學(xué)這一組想至少獲得5個積分，那么理論上至少要進(jìn)行15輪競賽.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是先求得獲得一個積分的，且根據(jù)求得其最大值，再由甲乙兩同學(xué)在輪比賽中獲得的積分?jǐn)?shù)服從二項分布求解.29．（2021·全國·模擬預(yù)測）某學(xué)校招聘在職教師，甲?乙兩人同時應(yīng)聘.應(yīng)聘者需進(jìn)行筆試和面試，筆試分為三個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都必須參與，甲筆試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率均為，乙筆試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率依次為，，，筆試三個環(huán)節(jié)至少通過兩個才能夠參加面試，否則直接淘汰；面試分為兩個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都必須參與，甲面試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率依次為，，乙面試部分每個環(huán)節(jié)通過的概率依次為，，若面試部分的兩個環(huán)節(jié)都通過，則可以成為該學(xué)校的在職教師.甲?乙兩人通過各個環(huán)節(jié)相互獨立.（1）求乙未能參與面試的概率；（2）記甲本次應(yīng)聘通過的環(huán)節(jié)數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望；（3）若該校僅招聘1名在職教師，試通過概率計算，判斷甲?乙兩人誰更有可能入職.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（3）甲更可能成為該校的在職教師.【分析】（1）根據(jù)事件的互斥性及每一次是否通過相互獨立求解即可；（2）首先確定隨機(jī)變量的可能取值，再分別求出相應(yīng)的概率值，列出分布列計算數(shù)學(xué)期望；（3）分別計算甲乙通過成為在職教師的概率值，比較大小，得出結(jié)論.【詳解】（1）若乙筆試部分三個環(huán)節(jié)一個都沒有通過或只通過一個，則不能參與面試，故乙未能參與面試的概率.（2）的可能取值為0，1，2，3，4，5，，，，，，.則的分布列為012345故.（3）由（2）可知，甲成為在職教師的概率，乙成為在職教師的概率.因為，所以甲更可能成為該校的在職教師.【點睛】本題考查相互獨立事件的概率?離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望.在求解過程中需清楚互斥事件的概率加法計算公式和相互獨立事件的概率乘法計算公式，分布列中需要準(zhǔn)確計算每個可能取值的概率值，最后計算數(shù)學(xué)期望.30．（2021·山東泰安·模擬預(yù)測）國際比賽賽制常見的有兩種，一種是單敗制，一種是雙敗制．單敗制即每場比賽的失敗者直接淘汰，常見的有等等．表示雙方進(jìn)行一局比賽，獲勝者晉級．表示雙方最多進(jìn)行三局比賽，若連勝兩局，則直接晉級；若前兩局兩人各勝一局，則需要進(jìn)行第三局決勝負(fù)．現(xiàn)在四人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽賽制采用單敗制，A與B一組，C與D一組，第一輪兩組分別進(jìn)行，勝者晉級，敗者淘汰；第二輪由上輪的勝者進(jìn)行，勝者為冠軍．已知A與比賽，A的勝率分別為；B與比賽，B的勝率分別；C與D比賽，C的勝率為．任意兩局比賽之間均相互獨立．（1）在C進(jìn)入第二輪的前提下，求A最終獲得冠軍的概率；（2）記A參加比賽獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【分析】（1）根據(jù)獨立重復(fù)事件的概率公式，結(jié)合條件概率的計算公式進(jìn)行求解即可；（2）參加比賽獲勝的局?jǐn)?shù)的取值有0，1，2，3，求出每種可能性的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行運算求解即可.【詳解】解：（1）進(jìn)入第二輪的概率為，與比賽，獲勝，與比賽，獲勝，且與比賽，獲勝，其概率為，故在進(jìn)入第二輪的前提下，最終獲得冠軍的概率．（2）參加比賽獲勝的局?jǐn)?shù)的取值有0，1，2，3．，，，．的分布列為：0123．【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)條件概率的運算公式、認(rèn)真閱讀題干理解題意是解題的關(guān)鍵31．（2021·山東濟(jì)南·二模）某企業(yè)對生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化升級，升級后的設(shè)備控制系統(tǒng)由個相同的元件組成，每個元件正常工作的概率均為，各元件之間相互獨立．當(dāng)控制系統(tǒng)有不少于個元件正常工作時，設(shè)備正常運行，否則設(shè)備停止運行，記設(shè)備正常運行的概率為（例如：表示控制系統(tǒng)由3個元件組成時設(shè)備正常運行的概率；表示控制系統(tǒng)由5個元件組成時設(shè)備正常運行的概率）．（1）若每個元件正常工作的概率．（i）當(dāng)時，求控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的分布列和期望；（ii）計算．（2）已知設(shè)備升級前，單位時間的產(chǎn)量為件，每件產(chǎn)品的利潤為1元，設(shè)備升級后，在正常運行狀態(tài)下，單位時間的產(chǎn)量是原來的4倍，且出現(xiàn)了髙端產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成為高端產(chǎn)品的概率為，每件髙端產(chǎn)品的利潤是2元．請用表示出設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤（單位：元），在確?？刂葡到y(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)的前提下，分析該設(shè)備能否通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤．【答案】（1）（i）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2；（ii）；（2）；分類討論，答案見解析．【分析】（1）（i）由題意可知，利用二項分布求解即可；（ii）根據(jù)互斥事件的和事件的概率公式求解；（2）求出設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤，分類討論求出與的關(guān)系，做差比較大小即可.【詳解】（1）（i）因為，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的可能取值為0，1，2，3；因為每個元件的工作相互獨立，且正常工作的概率均為，所以，所以，，，所以控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的分布列為0123控制系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為；（ii）由題意知：；（2）升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的分布列為產(chǎn)量0設(shè)備運行概率所以升級改造后單位時間內(nèi)產(chǎn)量的期望為；所以產(chǎn)品類型高端產(chǎn)品一般產(chǎn)品產(chǎn)量（單位：件）利潤（單位：元）21設(shè)備升級后單位時間內(nèi)的利潤為，即；因為控制系統(tǒng)中元件總數(shù)為奇數(shù)，若增加2個元件，則第一類：原系統(tǒng)中至少有個元件正常工作，其概率為；第二類：原系統(tǒng)中恰好有個元件正常工作，新增2個元件中至少有1個正常工作，其概率為；第三類：原系統(tǒng)中有個元件正常工作，新增2個元件全部正常工作，其概率為；所以，即，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即增加元件個數(shù)設(shè)備正常工作的概率變大，當(dāng)時，，即增加元件個數(shù)設(shè)備正常工作的概率沒有變大，又因為，所以當(dāng)時，設(shè)備可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤；當(dāng)時，設(shè)備不可以通過增加控制系統(tǒng)中元件的個數(shù)來提高利潤．【點睛】關(guān)鍵點點睛：分析增加2個元件后，分三類求解，求出是解題的難點與關(guān)鍵，屬于較難題.32．（2021·河北省唐縣第一中學(xué)高三月考）某病毒在進(jìn)入人體后有潛伏期，患者在潛伏期內(nèi)無任何癥狀，但已具傳染性.假設(shè)一位病毒攜帶者在潛伏期內(nèi)每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率為p，（1）若，，求一天內(nèi)被一位病毒攜帶者直接感染人數(shù)X的分布列和均值：（2）某定點醫(yī)院為篩查某些人員是否感染此病毒，需要檢測血液樣本是否為陽性，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，即k份血液樣本需要檢驗k次；②混合檢驗，即將k份（且）血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，則這k份血液樣本全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了：如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液樣本究競哪份為陽性，就要對k份血液樣本再逐份檢驗，此時這k份血液樣本的檢驗次數(shù)為k+1次.假設(shè)樣本的檢驗結(jié)果相互獨立，且每份樣本檢驗結(jié)果是陽性的概率為，為使混合檢驗需要的檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：，，，，.【答案】（1）答案見解析；（2）且k∈N*．【分析】（1）依題意可知X服從二項分布，即X～B(3，)，由此求得隨機(jī)變量的分布列；（2）由題意知ζ的所有可能取值為1，，求得其期望，由已知得lnk＞k．設(shè)，運用導(dǎo)函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和特殊點的函數(shù)值的符號可求得范圍.【詳解】（1）若n＝3，p＝，依題意可知X服從二項分布，即X～B(3，)，從而，i＝0，1，2，3．隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P隨機(jī)變量X的均值為．（2）由題意知ζ的所有可能取值為1，，且，，∴，又∵E(η)＝k，依題意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴＜(1－p)k，∵p＝1－，∴＜()k，∴l(xiāng)nk＞k．設(shè)，則，所以時，，時，，所以f(x)在(0，3)上單調(diào)遞增，在(3，＋∞)上單調(diào)遞減，由于f(1)＝＜0，f(2)＝ln2－＞0，f(4)＝ln4－＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－＝－0.0573＜0，故k的取值范圍為且k∈N*．【點睛】方法點睛：求解離散型隨機(jī)變量分布列的步驟是：1.首先確定隨機(jī)變量的所有可能取值；2.計算取得每一個值的概率，可通過所有概率和為來檢驗是否正確；3.進(jìn)行列表，畫出分布列的表格；4.最后扣題，根據(jù)題意求數(shù)學(xué)期望或者其它．33．（2021·湖北·漢陽一中模擬預(yù)測）2020年12月16日至18日，中央經(jīng)濟(jì)工作會議在北京召開，會議確定，2021年要抓好八個重點任務(wù)，其中第五點就是：保障糧食安全，關(guān)鍵在于落實藏糧于地?藏糧于技戰(zhàn)略.要加強(qiáng)種質(zhì)資源保護(hù)和利用，加強(qiáng)種子庫建設(shè).要尊重科學(xué)?嚴(yán)格監(jiān)管，有序推進(jìn)生物育種產(chǎn)業(yè)化應(yīng)用.某“種子銀行”對某種珍稀名貴植物種子采取“活態(tài)保存”方法進(jìn)行保存，即對種子實行定期更換和種植.通過以往的相關(guān)數(shù)據(jù)表明，該植物種子的出芽率為，每顆種子是否發(fā)芽相互獨立.現(xiàn)任取該植物種子顆進(jìn)行種植，若種子的出芽數(shù)超過半數(shù)，則可認(rèn)為種植成功().（1）當(dāng)，時，求種植成功的概率及的數(shù)學(xué)期望；（2）現(xiàn)擬加種兩顆該植物種子，試分析能否提高種植成功率？【答案】（1）概率為，；（2）答案見解析.【分析】（1）利用服從二項分布，即求出種植成功的概率和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)種植顆種子時，種植成功的概率為，擬加種兩顆該植物種子時，種植成功的概率為，為了種植成功，前顆種子中至少要有顆種子出芽，然后分三種情況分別求解種植成功的概率，利用作差法比較即可.【詳解】（1）由題意可知，服從二項分布，故，故種植成功的概率為，；（2）設(shè)種植顆種子時，種植成功的概率為，擬加種兩顆該植物種子時，種植成功的概率為，當(dāng)種植顆種子時，考慮前顆種子出芽數(shù)，為了種植成功，前顆種子中至少要有顆種子出芽，①前顆種子中恰有顆出芽，它的概率為，此時后兩顆種子必須都要出芽，所以這種情況下種植成功的概率為；②前顆種子恰有顆出芽，它的概率為，此時后兩顆種子至少有一顆出芽即可，所以這種情況下種植成功的概率為；③前顆種子至少有顆出芽，它的概率為，此時種植一定成功.所以，故，