初中數(shù)學(xué)最值問題中的“轉(zhuǎn)化思想”論文

初中數(shù)學(xué)最值問題中的“轉(zhuǎn)化思想”瞿其芳（1127199240@）（長豐縣北城世紀(jì)城學(xué)校安徽合肥231100）摘要:近年來最值問題一直是各地中考的熱點(diǎn)，更是安徽省中考出現(xiàn)頻率較高的考點(diǎn)，如安徽省2015、2016、2017連續(xù)3年都把最值問題作為壓軸題。為什么每年中考最值問題基本上都是必考的考點(diǎn)呢？因?yàn)樽钪祮栴}中蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)在培養(yǎng)我們學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，從而提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想 最值問題 策略 勾股定理義務(wù)教育課程方案(2022年版)中有這樣一句話，要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)就讓學(xué)生明確動(dòng)于不動(dòng)之間的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為以上的2據(jù)勾股定理或三角形相似就可以求出線段的長度來解決問題.這樣就培養(yǎng)了學(xué)生策略呢？本文將進(jìn)行歸納。一、幾何變換1、對稱變換點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，在l的同側(cè)有2個(gè)定點(diǎn)A、B，求AP+BP的最小值。解決這類問題的方法是過定點(diǎn)B（或A）作這條直線l的對稱點(diǎn)B′（或稱點(diǎn)B′與另一個(gè)定點(diǎn)APB=PB′,AP+BP就轉(zhuǎn)化為AP+P就是AP+BP的最小值。BABBABAP'P l例AB的長為10cm，,直徑AB上有一點(diǎn)P，圓心角∠NOB=30°,若MN=3cm，求△PMN周長的最小值是多少?本題要求△PMN周長的最小值，即求PM+PN+MN的最小值，而MN=3是定值，問題轉(zhuǎn)化為求PM+PN的最小值，也就是2個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題了，點(diǎn)M、N在線段ABN作直徑AB的對稱點(diǎn)交圓O于N'',MN'交AB于P，則PM+PN的最小值就是MN'的長度，問題就轉(zhuǎn)化為求MN的長度，連接OM,ON'，我們易證∠MQN'=90°很顯然△MQN'是等腰直角三角形，OM的長=5，根據(jù)勾股定理可得MN'=5

2。所以△PMN周長的最小值為5

2+32、平移變換1兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩定一動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，我們利用將軍飲馬解決。類型2動(dòng)點(diǎn)，變成2定1動(dòng)，當(dāng)三點(diǎn)共線，根據(jù)兩點(diǎn)間線段最小解決類型1.求兩個(gè)定點(diǎn)分別到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離和的最小值，兩動(dòng)點(diǎn)分別在兩直動(dòng)問題例2:.如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，點(diǎn)E在CDF在AB的延長線E在邊CD的最小值是 本題是A、C是兩個(gè)定點(diǎn)，E、F是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)锽F=CE,,我們連接BE,由矩形ABCD可得BF//EC,所以四邊形BFCE是平行四邊形，所以FC=BE,,這樣求AE+FC的最小值就轉(zhuǎn)化為求AE+BE過A作直線CD的對稱點(diǎn)M,連接BM,交CD于點(diǎn)E,則BM就是所求AE+FC的最小值，利用勾股定理就可求出BM的長2.2兩個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)通過平移轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)一線例ABCD的邊長是E是BC分別在GH交AE于EH+AG的最小值？本題有兩個(gè)定點(diǎn)，我們平移定線段AE到GM,使點(diǎn)A與點(diǎn)G重合，連接EM,,則四邊形AEMG為平行四邊形，AG=EM,,這樣EH+AG=EH+EM,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)EH+EM,=HM,求出HMEH+AGHG=AE=GM,∠HGM=∠HFE=90°,可得△AEK是等腰直角三角形，在等腰直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AE的長即可求出HG,GM的長，在等腰直角三角形AEK中利用三角函數(shù)求出AK的長即可。3、組合變換對于一個(gè)求定點(diǎn)到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的線段的長+兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)形成的線段的長的和最小很好的引導(dǎo)學(xué)生有序思考，給學(xué)生一個(gè)明確的解決1定+2動(dòng)問題的思路和辦法，21動(dòng)點(diǎn)在直線+11對稱點(diǎn)和1就是所求，類型2：兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)都在直線上。先作對稱點(diǎn)，再作垂線段，則這條垂線段的長就是所求的最小值類型1：例4、如圖，正方形ABCD的邊長是6，E是AB上一點(diǎn)，連接CE，過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，動(dòng)點(diǎn)P在AB邊運(yùn)動(dòng)，求PD＋PG的最小值本題是求一個(gè)定點(diǎn)D到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)P到動(dòng)點(diǎn)G的線段長度之和的最小PG的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么？我們發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中一直保持∠BGC=90°，所以點(diǎn)G在以BC為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，過定點(diǎn)D作直線AB的對稱點(diǎn)BC的中點(diǎn)O,連接O于AB于P,則DˊG就是PD＋PG的最小值,DˊG=DˊO-OG,過Dˊ作DˊCˊ垂直BC的延長線于Cˊ,在直角三角形ODˊOPD＋PG的最小值為DˊO-OG類型2：例5、如圖，矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，AB＝6，BC＝8，BD上有一動(dòng)點(diǎn)P，求PA+PE的最小值是多少本題也是求一個(gè)定點(diǎn)A到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P和動(dòng)點(diǎn)P到動(dòng)點(diǎn)E的線段長度之和的最小值，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、E都在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、A在同一條直線AD上，我們不可能過A作ADA作關(guān)于直線BD的對稱點(diǎn)BD于M,過點(diǎn)F作動(dòng)點(diǎn)E所在直線AD的垂線交AD于點(diǎn)H,,交BD于P，此時(shí)，F(xiàn)H的值就是PA+PE的最小值。在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理求出BD=10，利用面積求出AM的長24/5，AF=2AM=48/5，然后再利用△AFE于△BDA相似就能求出FH的值二、軌跡法理或者垂線段最短公理進(jìn)行求解。1、軌跡是直線型例O矩形ABCD的對角線AC和BD為BD上任意一點(diǎn)，P為AE的中點(diǎn)，求PO+PB的最小值本題P是動(dòng)點(diǎn)O,BPO+PBP運(yùn)動(dòng)的軌跡，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P是動(dòng)線段AE的中點(diǎn)，我們易發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡是△ABO的中位線,過點(diǎn)P作AB于M,交AD于N,過點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)H,交直線MN于HO就是PO+PBMN//BD易證∠GMB=∠MBO=60°，在直角三角形GBM中，BM=1，根據(jù)三角函數(shù)可以求出BGBHBHO中利用勾股定理可以求出HOP為AE的中點(diǎn)改為△BPO的面積為1，其他條件不變，求的問題也不變，就可以激發(fā)學(xué)生利用面積公式去P運(yùn)動(dòng)的軌跡，進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的2定+1動(dòng)問題。2、軌跡是圓型例7、如圖，矩形ABCD中AB=8cm，AD=12cm，點(diǎn)F是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，將△EBF沿EF折疊得到△EFB′，連接B′D，則B′D的小值是。D是定點(diǎn)，點(diǎn)B′是動(dòng)點(diǎn)，很顯然是一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題，下面我們就要分析動(dòng)點(diǎn)B′的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線還是圓弧，很顯然B′是在半徑為4D是圓ED與點(diǎn)EE于點(diǎn)B′，此時(shí)DB′的長度最小，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出DE的長-4cm就是D角互補(bǔ)能確定一個(gè)圓。三、其他2性質(zhì)，去轉(zhuǎn)化為1定+1動(dòng)問題去解決1、變中找不變例Rt△ABCAB的長是P是線段BC上的一個(gè)為鄰邊作平行四邊形PQ的最小值？此題均為動(dòng)點(diǎn)，求PQ的最小值，我們設(shè)PQ與CA相交于O，因?yàn)樗倪呅蜛PCQ與ACPQ=2PO,O是AC是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的問題。很顯然我們過O作OP⊥BC于Pˊ∽△CBA,求出OPˊ的值乘以2就是PQ的最小值2、尋找相等線段例D是BCAB于點(diǎn)M，DN⊥AC于點(diǎn)N，連接MN，則線段MN的最小值為( )A.12/5B.5/2C.3D.4本題MN是2MN的最小值A(chǔ)DMN的最小值轉(zhuǎn)化為求ADAD⊥BCBC的值，利用面積即可求出AD的值對用幾何的方法求線段的最小值或求線段和的最小值的幾種類型的不完整歸納。學(xué)思想、方法，和解題思路，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，和應(yīng)用知識能力。參考文獻(xiàn)【1】方勇.《高考全國卷數(shù)列試題特征及備考研究》.中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東)，2017【2】成政榮.《初中幾何最值問題解法探究》.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020【3