球面三角形的正弦定理

球面幾何為什么要研究球面幾何呢？因?yàn)槿祟惿钤诘厍蛏?，而地球的表面非常接近于一個(gè)球面。在科學(xué)技術(shù)不太發(fā)達(dá)的時(shí)代，人類的活動范圍非常有限，人們把大地理解成一個(gè)平面。在測量土地、計(jì)算面積時(shí)用平面幾何知識就可以了。但是，航海技術(shù)發(fā)展起來以后，人們逐漸了解到大地不是一個(gè)平面，仍然用平面幾何的知識來計(jì)算航海路線將會產(chǎn)生很大的誤差。因此需要了解球面幾何圖形的性質(zhì)，即球面幾何的知識。除了航海，在大地測量、天體觀測、航空以及衛(wèi)星定位等各方面都需要利用球面幾何的知識。所以，球面幾何是一門實(shí)用性很強(qiáng)的學(xué)科。一、平面幾何與球面幾何的類比

平面幾何與球面幾何的類比主要從兩個(gè)方面來進(jìn)行：（1）概念的類比；（2）性質(zhì)的類比。（1）概念的類比平面上兩點(diǎn)的距離：過這兩點(diǎn)之間的線段長度。球面上兩點(diǎn)的距離：通過A、B兩點(diǎn)的大圓上以A、B為端點(diǎn)的劣弧的長度。對于球面上的任意兩點(diǎn)，在數(shù)學(xué)上可以嚴(yán)格證明過這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長度是最短的。應(yīng)該把大圓上這段劣弧的長度看作是這兩點(diǎn)的距離。

（1）概念的類比平面直線：直線沒有端點(diǎn)，向兩個(gè)方向無限延伸。球面直線：過球面上兩點(diǎn)A、B的大圓叫作過A、B兩點(diǎn)的球面直線。大圓是封閉的、有限的。

（1）概念的類比平面上的線段：直線上兩點(diǎn)以及這兩點(diǎn)之間的部分。球面上的線段：過球面上兩點(diǎn)A、B的大圓的劣弧叫做連接A、B兩點(diǎn)的線段。（1）概念的類比平面角：過平面上一點(diǎn)A的兩條射線AB、AC形成的圖形叫做角。球面角：從球面S上的一點(diǎn)出發(fā)的兩條大圓半弧所構(gòu)成的圖形叫做球面角。

（1）概念的類比平面三角形：在平面上，如果三點(diǎn)不在同一條直線上，那么連結(jié)三點(diǎn)的線段組成的圖形叫做三角形.球面三角形：在球面S上，如果三點(diǎn)不在同一個(gè)大圓上，并且三點(diǎn)中沒有對徑點(diǎn)，那么由連接三點(diǎn)的大圓的劣弧組成的圖形叫做球面三角形。（2）性質(zhì)的類比相同的性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。（證明在下頁）邊角關(guān)系：大角對大邊；大邊對大角。三角形的全等的判定：SSS，SAS，ASA。

設(shè)球面三角形ABC的三條邊為a，b，c，球心為O，那么O-ABC是一個(gè)三面角，因?yàn)楦鶕?jù)三面角的性質(zhì)，可以直接得到下面的性質(zhì)：

（2）性質(zhì)的類比不同性質(zhì)：平面上的任意兩條直線相交或平行。球面上任意兩條直線都相交。平面三角形的內(nèi)角和等于180度。球面三角形的內(nèi)角和大于180度。（2）性質(zhì)的類比不同性質(zhì)：平面三角形相似的判定：AAA。球面三角形全等的判定：AAA。（2）性質(zhì)的類比不同性質(zhì)：平面三角形的余弦定理：球面三角形邊的余弦定理：球面三角形角的余弦定理：

（2）性質(zhì)的類比不同性質(zhì)平面三角形的正弦定理：

球面三角形的正弦定理：（2）性質(zhì)的類比不同性質(zhì)：平面三角形的面積：底邊長乘高線長的一半。球面三角形的面積：球面三角形的面積等于其內(nèi)角和減去，其中A、B、C為單位球面上三角形的三個(gè)內(nèi)角（弧度制）。二、應(yīng)用計(jì)算以北京、上海、重慶為頂點(diǎn)的球面三角形的邊長和的面積。解：根據(jù)地理知識，北京位于北緯39°56′、東經(jīng)116°20′，上海位于北緯31°14′、東經(jīng)121°29′，重慶位于北緯29°30′、東經(jīng)106°30′，地球半徑為R=6400km。如圖所示，設(shè)N為北極點(diǎn)，B為北京，S為上海，C為重慶。在球面三角形NBC中，弧度，，解球面三角形NBC，利用邊的余弦定理

，可以求出 ，同理可得： ，，解球面三角形BSC，仍然利用邊的余弦定理，，可以求出弧度，同理 弧度，弧度。所以球面三角形BSC的面積為。三、整個(gè)教材的安排四、教學(xué)難點(diǎn)1）幾何直觀、空間想象能力。2）兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。四、教學(xué)難點(diǎn)3）極三角形：已知球面三角形ABC，現(xiàn)在對每條邊各選擇一個(gè)極點(diǎn)，使得都小于。我們把球面三角形叫做球面三角形ABC的球極三角形，簡稱極三角形。四、教學(xué)難點(diǎn)利用極三角形證明AAA判定定理。證明：假設(shè)在同球面或等球面上，有兩個(gè)球面三角形ABC和DEF，已知它們的對應(yīng)角相等，即，再設(shè)球面三角形ABC和DEF的極三角形分別是和，那么根據(jù)球面三角形與它的極三角形之間的關(guān)系，有 所以，根據(jù)“SSS”，球面三角形球面三角形