三角函數(shù)圖像2：周期性

#［錯(cuò)因分析］錯(cuò)解中求的不是最小正周期.對于y=Asin(ex+/)(A>0,e>0)，其周期為2n2nn［正解］令z=2x—6，TxWR,???zWR.又Vy=sinz的周期是2n,z+2nz+2n=,,、n+2n=2(x+n)—g,?f(x+n)=sin^2(x+n)—g=sin=fx)=sin=fx).??T=n.［點(diǎn)評］最小正周期是指使函數(shù)重復(fù)出現(xiàn)的自變量x要加上的最小正數(shù)，是對x而言,而不是對rnx而言.〔跟蹤練習(xí)4〕對于函數(shù)y=sinx，xGR有$迅(彳+普)=砒，能否說普是它的周期?［解析］不能?周期必須對定義域內(nèi)的每一個(gè)值都有fx+T)=fx).課堂檢測1.列是定義在R上的四個(gè)函數(shù)圖象的一部分，其中不是周期函數(shù)的是(D)2°7////.3-2-1e11.列是定義在R上的四個(gè)函數(shù)圖象的一部分，其中不是周期函數(shù)的是(D)2°7////.3-2-1e1234i2.A.函數(shù)y=sin2x是(A)周期為n的奇函數(shù)B.周期為n的偶函數(shù)C.n周期為亍的偶函數(shù)D.n周期為2的奇函數(shù)3.A.C3.A.C.3n~2D.2n若函數(shù)fx)=cos(ex+3)(e>0)的最小正周期是2,則①的值為(B)n函數(shù)fx)是以2為周期的函數(shù)，且f(2)=2，則f(6)=_2__.［解析］f(6)=A4+2)=A4)=A2+2)=A2)=2.1315.設(shè)fx)是以1為一個(gè)周期的奇函數(shù)，且當(dāng)x￡(—2，0)時(shí)，f(x)=4x—1,求f(—8)的

值．［解析］Tfx)的周期為1,f(—￥)=/(—4+8)又當(dāng)x￡(—1,0)時(shí)，fx)=2x+l,113?\A—8)=4X(—8)—1=—2，又Tfx)是奇函數(shù)，???/(—8)=—A*)，"8)=3?故f(—31)=2-A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.設(shè)函數(shù)fx)(xWR)滿足f(-x)=f(x),fx+2)=fx)，則函數(shù)y=f(x)的圖象是(B)［解析］由已知，得fx)是周期為2的偶函數(shù)，故選B.2.函數(shù)y=sin(—2+4丿的最小正周期為(C)A.nB.2nnC.4nD.23.函數(shù)f(x)=7sin(2X+2^)是(A)A.周期為3n的偶函數(shù)B.周期為2n的偶函數(shù)C.周期為3n的奇函數(shù)4nD.周期為3的偶函數(shù)4.函數(shù)y=lcosxl的最小正周期是(C)nnA.4B.2C.nD.2n5.下列說法中正確的是(A)nnnA.當(dāng)x=2時(shí)，sin(x+6)工sinx，所以&不是fx)=sinx的周期

當(dāng)x=12時(shí)，sin(x+6)=sinx，所以6是f(x)=sinx的一個(gè)周期因?yàn)閟in(n—x)=sinx，所以n是y=sinx的一個(gè)周期nn因?yàn)閏os(2—x)=sinx，所以2■是y=cosx的一個(gè)周期鄰冃相鄰冃相個(gè)兩離巨距［解析］函數(shù)y=2sinex的最小值是一2,該函數(shù)的圖象與直線y+2=0的兩個(gè)相鄰公共點(diǎn)之間的距離恰好是一個(gè)周期，故由2n2n~3點(diǎn)之間的距離恰好是一個(gè)周期，故由2n2n~3得e=3.二、填空題若函數(shù)fx)=sinex(e>0)的周期為n,則rn=2.已知函數(shù)fx)是定義在R上的周期為6的奇函數(shù)，且f(1)=1,則f(5)=—1.［解析］由于函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為6的奇函數(shù)，則f(5)=f(5—6)=f(—1)=—f(1).又f(1)=1，則f(5)=—1.三、解答題已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)fx)=1,求證：f(x)是周期函數(shù).［證明］*/fx+2)=^,?:fx+4)=f［(x+2)+2］=樂+2)==fx).fx)???函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4是一個(gè)周期.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是n,且當(dāng)x丘［0，2】時(shí)，fx)=sinx.求當(dāng)x￡［—n，0］時(shí)，f(x)的解析式；畫出函數(shù)f(x)在［―n,n］上的簡圖；求當(dāng)f(x)三1時(shí)x的取值范圍.［解析］(1)Vf(x)是偶函數(shù)，./—x)=f(x).?.?當(dāng)x￡[0，2〕時(shí)，f(x)=sinx.

.?.當(dāng)x^[-nt.—2，0]時(shí)，fx)=f(—x)=sin(—x)=—sinx?又..?當(dāng)x^[—n,—2]時(shí)，x+nW[O,2〕，fx)的周期為n,.\f(x)=f(n+x)=sin(n+x)=—sinx..?.當(dāng)xW［—n,0］時(shí)，fx)=—sinx.(2)如右圖.⑶?/在［0,n］內(nèi)，當(dāng)fx)=2時(shí)，x=n或5.?.在［0,n］內(nèi),fx)三1時(shí)，x￡［6,5n］.又.fx)的周期為n,.?.當(dāng)fx)±2時(shí)，x^［kn+|,kn+5n］,k^Z.B級素養(yǎng)提升一、選擇題knB．111.函數(shù)y=cosqx+3)(k>0)的最小正周期不大于2,則正整數(shù)k的最小值應(yīng)是(B．11A．10C．12DC．12［解析］［解析］tW1kk、2'.?.k±4n又k^N*［解析］［解析］12nn3.:,k最小為13,故選D.2.函數(shù)y=7sin(3x—的周期是(C)B.nAB.nC.DC.3.函數(shù)y=lsinxl+lcosxl的最小正周期為(A)nA.2B.nC.2nD.C.2n2,15n2,3”2f(x)=4sin(§x十=4sin(§x+2兀)=一4co巧x,.?.T=3n，且滿足2,15n2,3”2f(x)=4sin(§x十=4sin(§x+2兀)=一4co巧x,.?.T=3n，且滿足f(—x)=f(x),4.函數(shù)f(x)=4sin(2x+^)是(A)A.周期為3n的偶函數(shù)B.周期為2n的偶函數(shù)4C.周期為話的奇函數(shù)D.周期為|n的偶函數(shù)［解析］故選A．二、填空題5?若函數(shù)f：x)是以n為周期的偶函數(shù)，且用)=1,則f(-^)=__i__.n［解析］?.7(工)的周期為2,且為偶函數(shù)，17nnnnnnnnn^)=A—3n+6)=A—6X2+6)=A6)=A2—2)=A—3)=A3)=1.6.設(shè)函數(shù)fx)=3sin(ex+6)，①＞0,xW(—g,+-),且以2為最小正周期.若(4+129595,4則sin?的值為」孑一，n［解析］-f(x)的最小正周期為2,①＞o,.2n..nA??e=兀=4...f(x)=3sin(4x+R.2(axnA(.n,nA9fj+12=3sin0+3+6_J=3cosa=5,cosacosa=5.?sina=±\1—cos2a=±5.三、解答題7.已知函數(shù)y=|sinx+|lsinxl.畫出函數(shù)的簡圖；這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)嗎？如果是,求出它的最小正周期［解析］(1)y=|sinx+|lsinxl'sinx,xW［2kn,2kn+n］(k^Z),、0,xW［2kn—n,2kn)(kWZ).函數(shù)圖象如圖所示．(2)由圖象知該函數(shù)是周期函數(shù)，其圖象每隔2n重復(fù)一次，則函數(shù)的周期是2n.n8.已知fx)是以n為周期的偶函數(shù)，且x￡[0,2〕時(shí)，fx)=l—sinx,求當(dāng)x￡時(shí)fx)的解析式.[解析]xwgn,3n]時(shí),n3n—xW[0,2〕，n因?yàn)閤￡[0,2〕時(shí)，fx)=1—sinx,所以f(3n—x)=1—sin(3n—x)=1—sinx.又fx)是以n為周期的偶函數(shù)，所以f(3n—x)=f(—x)=fx),所以fx