魯棒穩(wěn)定性理論-棱邊定理

魯棒穩(wěn)定性理論參數(shù)空間穩(wěn)定性分析概述這一節(jié)討論參數(shù)空間存在結(jié)構(gòu)不確定型的穩(wěn)定性分析方法，也就是針對(duì)已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)的大概值，但并不清楚參數(shù)的精確值這種情況，介紹幾種主要的穩(wěn)定性分析方法。參數(shù)空間的穩(wěn)定性分析是一個(gè)古典的研究領(lǐng)域，但是研究的總體情況可以說(shuō)并不是很順利的，特別是在魯棒穩(wěn)定性分析方面存在著相當(dāng)大的困難。知道20世紀(jì)80年代中期，隨著卡里托諾夫定理在魯棒控制方面的研究進(jìn)展，提出了魯棒穩(wěn)定性分析的多項(xiàng)式代數(shù)方法，開(kāi)辟了參數(shù)空間魯棒穩(wěn)定性分析的新領(lǐng)域。下面主要敘述卡里托諾夫定理及其相關(guān)的魯棒穩(wěn)定性分析方法，并對(duì)其保守性，介紹棱邊定理和有關(guān)的結(jié)果?？ɡ锿兄Z夫定理卡里托諾夫定理是原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家v.l.卡里托諾夫1978年提出的，但是在魯棒控制方面取得優(yōu)異成果則是在那年之后。這個(gè)定理給出了區(qū)間多項(xiàng)式具有赫爾維茨穩(wěn)定性的充分與必要條件。區(qū)間多項(xiàng)式：就是實(shí)數(shù)多項(xiàng)式

（1）的集合，其中

（2）用G表示這種多項(xiàng)式的全體，用H表示所有赫爾維茨多項(xiàng)式。即所有有那些特征根均位于復(fù)數(shù)左開(kāi)半平面的多項(xiàng)式。

（3a）（3b）（3c）（3d）這些多項(xiàng)式稱為對(duì)（1）式的卡里托諾福多項(xiàng)式。

（4）

（5a）（5b）（5c）（5d）通過(guò)上述著四個(gè)多項(xiàng)式地組合，可得（3）式的卡里托諾夫多項(xiàng)式（6a）（6b）（6c）（6d）卡里托諾夫解釋了區(qū)間多項(xiàng)式的強(qiáng)弱兩個(gè)穩(wěn)定性條件。所謂卡里托諾夫定理通常是指強(qiáng)的一個(gè)穩(wěn)定性結(jié)果。

卡里托諾夫定理的復(fù)平面應(yīng)用：設(shè)（7）其中（8）

（9a）（9b）（9c）（9d）（9e）（9f）（9g）（9h）卡里托諾夫定理給出了系數(shù)不確定性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)特征多項(xiàng)式的赫爾維茨穩(wěn)定性條件。舒爾穩(wěn)定多項(xiàng)式：定義區(qū)間多項(xiàng)式為其中（10a）（10b）

把（8）式變?yōu)椋?1a）（11b）

（12）

雙線性變換：比較離散時(shí)間系統(tǒng)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的一種方法。（13）雙線性變換使（1）式f(s)的赫爾維茨穩(wěn)定性與

（14）舒爾穩(wěn)定性相對(duì)應(yīng)。因此，如果連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)f(s)的系數(shù)參數(shù)空間上的超矩形體可以映射到離散事件系統(tǒng)g(z)的系數(shù)參數(shù)空間上的超矩形體，那么定理4.11和定理4.12均成立。

區(qū)間矩陣和凸組合多項(xiàng)式的穩(wěn)定性區(qū)間矩陣：區(qū)間矩陣就是下面定義的矩陣集合：（15）

（16）

（17）同樣的在離散系統(tǒng)中

（18）

（19）這個(gè)定理揭示了凸組合多項(xiàng)式的赫爾維茨穩(wěn)定性可以根據(jù)有頂點(diǎn)多項(xiàng)式的赫爾維茨矩陣構(gòu)成的某一矩陣是否存在非正的特征根來(lái)確定。對(duì)于時(shí)間離散系統(tǒng)的舒爾穩(wěn)定性，有并行的結(jié)果成立。（20）構(gòu)成下述矩陣（21）

（22）

棱邊定理概述

棱邊定理研究的多項(xiàng)式一般具有下述形式（23）其中（24）

（25）（26）

（27）

在應(yīng)用棱邊定理時(shí)，仍存在著一些問(wèn)題。例如，還沒(méi)有尋找突出棱邊的有效手段，棱邊多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)隨著多面體頂點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加而大量增加，一般不能用于參數(shù)空間中存在非線性關(guān)系的場(chǎng)合。盡管如此棱邊定理在魯棒性分析方面仍是很好用。系數(shù)空間中的穩(wěn)定區(qū)域考慮使實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式（28）

（29a）它對(duì)應(yīng)著原點(diǎn)s=0；

（29b）

（30）（31）則（29b）式為（32）

（33）（32）式可以從（34）中得到。魯棒穩(wěn)定性的度量

（35a）（35b）

（36）

（37）

（38）特別的，當(dāng)系數(shù)本身是參數(shù)時(shí)，m=n，q=a，只要考慮（39）

（40a）

（40b）

（41）考慮到矩陣特征根的連續(xù)性，A的赫爾維茨穩(wěn)定性度量為（42a）（42b）或

（43）

（44）引理4.4：假定M是可逆方陣，E是復(fù)數(shù)方陣，則有（45）特別地，赫爾維茨半徑可由下式給出。（46）

（47）對(duì)于時(shí)間離散系統(tǒng)，設(shè)A為舒爾矩陣，則舒爾穩(wěn)定性度量定義為（48）定理4.23：假設(shè)E是復(fù)數(shù)方陣，A為舒爾矩陣，則有（49）

（50）舒爾半徑為（51）魯棒穩(wěn)定性分析的LMI方法本節(jié)主要是基于李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，利用線性矩陣不等式（LMI），對(duì)具有參數(shù)不確定性系統(tǒng)的魯棒性分析和綜合問(wèn)題進(jìn)行討論?？紤]如下具有時(shí)變結(jié)構(gòu)