( 線性代數(shù))矩陣的秩

矩陣的秩

給定一個(gè)m

n矩陣A

它的標(biāo)準(zhǔn)形由數(shù)r完全確定

這個(gè)數(shù)便是矩陣A的秩

定義2

12(k階子式)

設(shè)A

(aij)是m

n矩陣

從A中任取k行k列(k

min(m,n))

位于這些行和列的相交處的元素

保持它們?cè)瓉淼南鄬?duì)位置所構(gòu)成的k階行列式

稱為矩陣A的一個(gè)k階子式

舉例

定義2

13(矩陣的秩)

設(shè)A為m

n矩陣

如果A中不為零的子式最高階數(shù)為r

即存在r階子式不為零

而任何r

1階子式皆為零

則稱r為矩陣A的秩

記作r(A)

r

定義2

12(k階子式)

設(shè)A

(aij)是m

n矩陣

從A中任取k行k列(k

min(m,n))

位于這些行和列的相交處的元素

保持它們?cè)瓉淼南鄬?duì)位置所構(gòu)成的k階行列式

稱為矩陣A的一個(gè)k階子式

舉例

定義2

13(矩陣的秩)

設(shè)A為m

n矩陣

如果A中不為零的子式最高階數(shù)為r

即存在r階子式不為零

而任何r

1階子式皆為零

則稱r為矩陣A的秩

記作r(A)

r

說明

定義2

12(k階子式)

設(shè)A

(aij)是m

n矩陣

從A中任取k行k列(k

min(m,n))

位于這些行和列的相交處的元素

保持它們?cè)瓉淼南鄬?duì)位置所構(gòu)成的k階行列式

稱為矩陣A的一個(gè)k階子式

當(dāng)A

O時(shí)

規(guī)定r(A)

0

因此

0

r

min(m,n)

當(dāng)A為n階矩陣

且r(A)

n時(shí)

稱矩陣A為滿秩矩陣

定義2

13(矩陣的秩)

設(shè)A為m

n矩陣

如果A中不為零的子式最高階數(shù)為r

即存在r階子式不為零

而任何r

1階子式皆為零

則稱r為矩陣A的秩

記作r(A)

r

定義2

12(k階子式)

設(shè)A

(aij)是m

n矩陣

從A中任取k行k列(k

min(m,n))

位于這些行和列的相交處的元素

保持它們?cè)瓉淼南鄬?duì)位置所構(gòu)成的k階行列式

稱為矩陣A的一個(gè)k階子式

舉例

當(dāng)A為n階矩陣

且r(A)

n時(shí)

稱矩陣A為滿秩矩陣

定義2

13(矩陣的秩)

設(shè)A為m

n矩陣

如果A中不為零的子式最高階數(shù)為r

即存在r階子式不為零

而任何r

1階子式皆為零

則稱r為矩陣A的秩

記作r(A)

r

如果一個(gè)n階矩陣A是滿秩的

則|A|

0

因而A可逆

反之亦然

所以A可逆的充分必要條件是A滿秩

定義2

12(k階子式)

設(shè)A

(aij)是m

n矩陣

從A中任取k行k列(k

min(m,n))

位于這些行和列的相交處的元素

保持它們?cè)瓉淼南鄬?duì)位置所構(gòu)成的k階行列式

稱為矩陣A的一個(gè)k階子式

當(dāng)A為n階矩陣

且r(A)

n時(shí)

稱矩陣A為滿秩矩陣

定義2

13(矩陣的秩)

設(shè)A為m

n矩陣

如果A中不為零的子式最高階數(shù)為r

即存在r階子式不為零

而任何r

1階子式皆為零

則稱r為矩陣A的秩

記作r(A)

r

說明

定理2

5

矩陣經(jīng)初等變換后

其秩不變

對(duì)A每施以一次初等變換所得矩陣的秩與A的秩相同

因而對(duì)A施以有限次初等變換后所得矩陣的秩仍然等于A的秩

定理2

5

矩陣經(jīng)初等變換后

其秩不變

求矩陣的秩的初等變換法

對(duì)A作一系列初等行變換

將A化為階梯形矩陣

階梯形矩陣中非零行的行數(shù)r即是矩陣A的秩r(A)

階梯形矩陣中非零行的行數(shù)為2

故r(A)

2

階梯形矩陣中非零行的行數(shù)為4

故r(A)

4

若r(AB)

2

則|AB|

0

即所以

2

例4

設(shè)A為n階非奇異矩陣

B為n

m矩陣

試證

r(AB)

r(B)

因?yàn)锳非奇異

故可表示成若干個(gè)初等矩陣之積

A

P1P2

PsPi(i

1

2

s