河北省鹿泉第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

河北省鹿泉第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.2．如圖，正方體的棱長為，，是線段上的兩個動點，且，則下列結(jié)論錯誤的是A.B.直線、所成的角為定值C.∥平面D.三棱錐的體積為定值3．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B.C. D.4．函數(shù)f(x)=的零點所在的一個區(qū)間是A.（-2，-1） B.（-1,0）C.（0,1） D.（1,2）5．已知全集，集合，集合，則為A. B.C. D.6．已知函數(shù)與的圖像關(guān)于對稱，則（）A.3 B.C.1 D.7．已知集合，集合為整數(shù)集，則A. B.C. D.8．直線l：與圓C：的位置關(guān)系是A.相切 B.相離C.相交 D.不確定9．如圖，四面體ABCD中，CD=4，AB=2，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，若EF⊥AB，則EF與CD所成的角的大小是（）A.30° B.45°C.60° D.90°10．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)圖像關(guān)于對稱B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.若，則D.函數(shù)的最小值為二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為：____________12．已知函數(shù)，又有定義在R上函數(shù)滿足：（1），，均恒成立；（2）當(dāng)時，，則_____，函數(shù)在區(qū)間中的所有零點之和為_______.13．對于定義在區(qū)間上的兩個函數(shù)和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的（1）若，，則與在區(qū)間上是否“友好”；（2）現(xiàn)在有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間①若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數(shù)與與在區(qū)間上是否“友好”14．我國采用的“密位制”是6000密位制，即將一個圓周分為6000等份，每一個等份是一個密位，那么120密位等于______rad15．比較大?。篲_______.16．點關(guān)于直線的對稱點的坐標為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．為保護環(huán)境，污水進入河流前都要進行凈化處理.我市工業(yè)園區(qū)某工廠的污水先排入凈化池，然后加入凈化劑進行凈化處理.根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每放入1個單位的凈化劑，在污水中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間x（單位：小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為.若多次加進凈化劑，則某一時刻凈化劑在污水中釋放的濃度為每次投放的凈化劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.由實驗知，當(dāng)凈化劑在污水中釋放的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到凈化污水的作用.（1）若投放1個單位的凈化劑4小時后，求凈化劑在污水中釋放的濃度；（2）若一次投放4個單位的凈化劑并起到凈化污水的作用，則凈化時間約達幾小時？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）（3）若第一次投放1個單位的凈化劑，3小時后再投放2個單位的凈化劑，設(shè)第二次投放t小時后污水中凈化劑濃度為（毫克/立方米），其中，求的表達式和濃度的最小值.18．已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示.（1）求函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，再將所得的函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，求函數(shù)在區(qū)間上的值域.19．已知函數(shù)是上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)a的值；（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恒有解，求實數(shù)的取值范圍.20．如圖所示，已知平面平面，平面平面，，求證:平面.21．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式；（2）將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變)，得到的圖象.又求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】由陰影部分表示的集合為，然后根據(jù)集合交集的概念即可求解.【題目詳解】因為陰影部分表示的集合為由于.故選：B.2、B【解題分析】在A中，∵正方體∴AC⊥BD，AC⊥，∵BD∩=B，∴AC⊥平面，∵BF?平面，∴AC⊥BF，故A正確；在B中，異面直線AE、BF所成的角不為定值，因為當(dāng)F與重合時，令上底面頂點為O，點E與O重合，則此時兩異面直線所成的角是;當(dāng)E與重合時，此時點F與O重合，則兩異面直線所成的角是，此二角不相等，故異面直線AE、BF所成的角不為定值.故B錯誤在C中，∵EF∥BD，BD?平面ABCD，EF?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正確；在D中，∵AC⊥平面，∴A到平面BEF的距離不變，∵B到EF的距離為1，,∴△BEF的面積不變，∴三棱錐A-BEF的體積為定值，故D正確；點睛：解決此類題型的關(guān)鍵是結(jié)合空間點線面的位置關(guān)系一一檢驗.3、C【解題分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于k的不等式組，解出即可【題目詳解】解：f（x）＝＝1+，若f（x）在（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增，則，故k≤﹣2，故選：C4、B【解題分析】因為函數(shù)f(x)=2+3x在其定義域內(nèi)是遞增的，那么根據(jù)f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)的零點的區(qū)間為（-1,0），選B考點：本試題主要考查了函數(shù)零點的問題的運用點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用零點存在性定理，根據(jù)區(qū)間端點值的乘積小于零，得到函數(shù)的零點的區(qū)間5、A【解題分析】，所以，選A.6、B【解題分析】根據(jù)同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)可解.【題目詳解】由題知是的反函數(shù)，所以，所以.故選：B.7、A【解題分析】，選A.【考點定位】集合的基本運算.8、C【解題分析】利用點到直線的距離公式求出直線和圓的距離，即可作出判斷.【題目詳解】圓C：的圓心坐標為：，則圓心到直線的距離，所以圓心在直線l上，故直線與圓相交故選C【題目點撥】本題考查的知識要點：直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用9、A【解題分析】取BC的中點G,連結(jié)FG,EG.先證明出（或其補角）即為EF與CD所成的角.在直角三角形△EFG中，利用正弦的定義即可求出的大小.【題目詳解】取BC的中點G,連結(jié)FG,EG.由三角形中位線定理可得：AB∥EG，CD∥FG.所以（或其補角）即為EF與CD所成的角.因為EF⊥AB,則EF⊥EG.因為CD=4,AB=2,所以EG=1,FG=2,則△EFG是一個斜邊FG=2,一條直角邊EG=1的直角三角形,所以,因為為銳角，所以，即EF與CD所成的角為30°.故選:A10、A【解題分析】本題首先可以去絕對值，將函數(shù)變成分段函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)解析式繪出函數(shù)圖像，最后結(jié)合函數(shù)圖像即可得出答案.【題目詳解】由題意可得：，即可繪出函數(shù)圖像，如下所示：故對稱軸為，A正確；由圖像易知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，B錯誤；要使，則，由圖象可得或、或，故或或，C錯誤；當(dāng)時，函數(shù)取最小值，最小值，D錯誤，故選：A【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三角函數(shù)的對稱軸、三角函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】先根據(jù)圖象得到振幅和周期，即求得，再根據(jù)圖象過，求得，得到解析式.【題目詳解】由圖象可知，，故，即.又由圖象過，故，解得，而，故，所以.故答案為：.12、①.1②.42【解題分析】求出的周期和對稱軸，再結(jié)合圖象即可.【題目詳解】由條件可知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，由可知，，則周期，即，函數(shù)在區(qū)間中的所有零點之和即為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點的橫坐標之和，當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，，，且區(qū)間關(guān)于對稱，又∵由已知得也是的對稱軸，∴只需用研究直線左側(cè)部分即可，由圖象可知左側(cè)有7個交點，則右側(cè)也有7個交點，將這14個交點的橫坐標從小到大排列，第個數(shù)記為，由對稱性可知，則，同理，…，，∴.故答案為：，.13、（1）是；（2）①；②見解析【解題分析】（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設(shè)存在實數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，解不等式組即可.【題目詳解】（1）由已知，，因為時，，所以恒成立，故與在區(qū)間上是“友好”的.（2）①與在區(qū)間上都有意義，則必須滿足，解得，又且，所以的取值范圍為.②假設(shè)存在實數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，則，即，因為，則，，所以在的右側(cè)，又復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上為減函數(shù)，從而，，所以，解得，所以當(dāng)時，與與在區(qū)間上是“友好”的；當(dāng)時，與與在區(qū)間上是“不友好”的.【題目點撥】本題考查函數(shù)的新定義問題，主要涉及到不等式恒成立的問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)學(xué)運算求解能力，是一道有一定難度的題.14、##【解題分析】根據(jù)已知定義，結(jié)合弧度制的定義進行求解即可.【題目詳解】設(shè)120密位等于，所以有，故答案為：15、<【解題分析】利用誘導(dǎo)公式，將角轉(zhuǎn)化至同一單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性，比較大小.【題目詳解】，，又在內(nèi)單調(diào)遞增，由所以，即<.故答案為：<.【題目點撥】本題考查了誘導(dǎo)公式，利用單調(diào)性比較正切值的大小，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，由垂直的斜率關(guān)系，和線段的中點在直線上列出方程組即可求解.【題目詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，由對稱性知，直線與線段垂直，所以，所以，又線段的中點在直線上，即，所以，由，所以點關(guān)于直線的對稱點的坐標為：.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）6毫克/立方米（2）7.1（3），；的最小值為12毫克/立方米【解題分析】（1）由函數(shù)解析式，將代入即可得解；（2）分和兩種情況討論，根據(jù)題意列出不等式，從而可得出答案；（3）根據(jù)題意寫出函數(shù)的解析式，再根據(jù)基本不等式即可求得最小值.【小問1詳解】解：由，當(dāng)時，，所以若投放1個單位的凈化劑4小時后，凈化劑在污水中釋放的濃度為6毫克/立方米；【小問2詳解】解：因為凈化劑在污水中釋放的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到凈化污水的作用，當(dāng)時，令，得恒成立，所以當(dāng)時，起到凈化污水的作用，當(dāng)時，令，得，則，所以，綜上所述當(dāng)時，起到凈化污水的作用，所以若一次投放4個單位的凈化劑并起到凈化污水的作用，則凈化時間約達7.1小時；【小問3詳解】解：因為第一次投入1個單位的凈化劑，3小時后再投入2個單位凈化劑，要計算的是第二次投放t小時后污水中凈化劑濃度為，所以，，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，，當(dāng)時，取最小值12毫克/立方米.18、（1），遞增區(qū)間為；（2）.【解題分析】（1）由三角函數(shù)的圖象，求得函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.（2）由三角函數(shù)的圖象變換，求得，根據(jù)的圖象關(guān)于直線對稱，求得的值，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】（1）由圖象可知，，所以，所以，由圖可求出最低點的坐標為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，由，可得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意知，函數(shù)，因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，即，因為，所以，所以.當(dāng)時，，可得，所以，即函數(shù)的值域為.【題目點撥】解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基本方法：1、根據(jù)已知條件化簡得出三角函數(shù)的解析式為的形式；2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性與最值等），進而加深理解函數(shù)的極值點、最值點、零點及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯解.19、（1）（2）【解題分析】（1）利用奇偶性可得，求出，進行檢驗即可；（2）關(guān)于的方程在區(qū)間上恒有解等價于，即的取值范圍是在區(qū)間上的值域.【題目詳解】（1）∵函數(shù)是上的奇函數(shù).∴，∴，當(dāng)時，顯然所以f（x）為奇函數(shù)，故；（2），即，∴，即的取值范圍是在區(qū)間上的值域，令，則，∴，，，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，即，∴實數(shù)的取值范圍.【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，考查等價轉(zhuǎn)化思想與推理能力，屬于中檔題.20、見解析【解題分析】平面內(nèi)取一點，作于點，于點，可證出平面，從而，同理可證，故平面.【題目詳解】證明：如圖所示，在平面內(nèi)取一點，作于點，于點．因為平面平面，且交線為，所以平面．因為平面，所以同理可證．又，都在平面內(nèi)，且，所以平面【題目點撥】本題主要考查了兩個平面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)，判定，屬于中檔題.21、