北京市順義區(qū)、通州區(qū)2024屆高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

北京市順義區(qū)、通州區(qū)2024屆高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為（）A. B.C. D.2．已知直線，平面滿足，則直線與直線的位置關(guān)系是A.平行 B.相交或異面C.異面 D.平行或異面3．為了節(jié)約水資源，某地區(qū)對(duì)居民用水實(shí)行“階梯水價(jià)”制度：將居民家庭全年用水量（取整數(shù)）劃分為三檔，水價(jià)分檔遞增，其標(biāo)準(zhǔn)如下：階梯居民家庭全年用水量（立方米）水價(jià)（元/立方米）其中水費(fèi)（元/立方米）水資源費(fèi)（元/立方米）污水處理費(fèi)（元/立方米）第一階梯0-180（含）52.071.571.36第二階梯181-260（含）74.07第三階梯260以上96.07如該地區(qū)某戶家庭全年用水量為300立方米，則其應(yīng)繳納的全年綜合水費(fèi)（包括水費(fèi)、水資源費(fèi)及污水處理費(fèi)）合計(jì)為元．若該地區(qū)某戶家庭繳納的全年綜合水費(fèi)合計(jì)為1180元，則此戶家庭全年用水量為（）A.170立方米 B.200立方米C.220立方米 D.236立方米4．已知函數(shù)，則函數(shù)（）A. B.C. D.5．若角與終邊相同，則一定有（）A. B.C.， D.，6．若，則（）A. B.C.或1 D.或7．已知a>b，則下列式子中一定成立的是（）A. B.|a|>|b|C. D.8．設(shè)全集，集合，集合，則集合（）A. B.C. D.9．已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的值域是____________，單調(diào)遞增區(qū)間是____________.12．設(shè)函數(shù)；若方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是__________13．已知sinα＋cosα＝，α∈(－π，0)，則tanα＝________.14．已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____.15．已知，則_________.16．已知向量，且，則_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）若，求.18．已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求的單調(diào)增區(qū)間；（3）若，求的值.19．已知函數(shù)為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸（1）若在內(nèi)有且僅有6個(gè)零點(diǎn)，求；（2）若在上單調(diào)，求的最大值20．如圖，四棱錐的底面是正方形，，點(diǎn)在棱上.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）當(dāng)且為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大小.21．已知直線（1）求證：直線過定點(diǎn)（2）求過(1)的定點(diǎn)且垂直于直線直線方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】將平方可得，再利用向量夾角公式可求出.【題目詳解】，是單位向量，，，，即，即，解得，則向量，夾角的余弦值為.故選：A.2、D【解題分析】∵a∥α，∴a與α沒有公共點(diǎn)，b?α，∴a、b沒有公共點(diǎn)，∴a、b平行或異面．故選D3、C【解題分析】根據(jù)用戶繳納的金額判定全年用水量少于260，利用第二檔的收費(fèi)方式計(jì)算即可.【題目詳解】若該用戶全年用水量為260，則應(yīng)繳納元，所以該戶家庭的全年用水量少于260，設(shè)該戶家庭全年用水量為x，則應(yīng)繳納元，解得.故選：C4、C【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域先求出，再根據(jù)，根據(jù)定義域，結(jié)合，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意可知，，所以.故選：C.5、C【解題分析】根據(jù)終邊相同角的表示方法判斷【題目詳解】角與終邊相同，則，，只有C選項(xiàng)滿足，故選：C6、A【解題分析】將已知式同分之后，兩邊平方，再根據(jù)可化簡(jiǎn)得方程，解出或1，根據(jù)，得出.【題目詳解】由，兩邊平方得，或1，，.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及二倍角的正弦函數(shù)公式，屬于中檔題，要注意對(duì)范圍的判斷.7、D【解題分析】利用特殊值法以及的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)的正誤.【題目詳解】對(duì)于A，若則，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，若則，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，若則，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，由在上單調(diào)增，即，故正確.故選：D8、D【解題分析】利用補(bǔ)集和交集的定義可求得結(jié)果.【題目詳解】由已知可得或，因此，，故選：D.9、B【解題分析】先求出，再對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【題目詳解】因?yàn)?，又，解得?故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B正確；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤.故選：B10、B【解題分析】可知分段函數(shù)在R上單調(diào)遞增，只需要每段函數(shù)單調(diào)遞增且在臨界點(diǎn)處的函數(shù)值左邊小于等于右邊，列出不等式即可【題目詳解】可知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以；對(duì)稱軸，即；臨界點(diǎn)處，即；綜上所述：故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①.②.【解題分析】先求二次函數(shù)值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域；根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性與指數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則求函數(shù)增區(qū)間.【題目詳解】因?yàn)?所以，即函數(shù)的值域是因?yàn)閱握{(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞減，因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+）.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)合函數(shù)值域與單調(diào)性，考查基本分析求解能力.12、【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象，將方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有一個(gè)交點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合即可求解.【題目詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖：結(jié)合圖象可得：，故答案為：.13、.【解題分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，求得和的值，可得的值.【題目詳解】因?yàn)閟inα＋cosα＝，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝.因?yàn)棣痢?－π，0)，所以sinα＜0，cosα＞0，所以sinα－cosα＝，與sinα＋cosα＝聯(lián)立解得sinα＝－，cosα＝，所以tanα＝.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)求值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，在解題的過程中，注意這三個(gè)式子是知一求二，屬于簡(jiǎn)單題目.14、【解題分析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，如圖所示：當(dāng)時(shí)，在處取得最大值，且，令，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴，∴，若時(shí)，恒成立，只需，當(dāng)上，均有恒成立，結(jié)合圖形知：，∴，∴，令，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，，∴，∴最大，∴，∴.考點(diǎn)：1.函數(shù)圖像；2.恒成立問題；3.數(shù)列的最值.15、【解題分析】由題意可得：點(diǎn)睛：熟記同角三角函數(shù)關(guān)系式及誘導(dǎo)公式，特別是要注意公式中的符號(hào)問題；注意公式的變形應(yīng)用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等．這是解題中常用到的變形，也是解決問題時(shí)簡(jiǎn)化解題過程的關(guān)鍵所在16、2【解題分析】由題意可得解得.【名師點(diǎn)睛】（1）向量平行：，,.（2）向量垂直：.（3）向量的運(yùn)算：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解題分析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)兩個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圓心到直線的距離即可求得的取值范圍.（2）根據(jù)垂徑定理及,結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式,即可得關(guān)于的方程,解方程即可求得的值.【題目詳解】（1）由已知可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心,半徑,則到的距離,解得,即的取值范圍為.（2）因?yàn)?解得所以由圓心到直線距離公式可得.解得或.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系判斷,直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)關(guān)系及垂徑定理應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2），；（3）.【解題分析】（1）利用二倍角公式和輔助角公式將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用正弦函數(shù)的周期公式求解；（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，令，求解；（3）由，得到，再利用二倍角的余弦公式求解.【題目詳解】（1），，，∴.（2）令，.解得：，，增區(qū)間是，.（3）∵，則，，∴，.19、（1）；（2）.【解題分析】（1）根據(jù)的零點(diǎn)和對(duì)稱中心確定出的取值情況，再根據(jù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定出，由此確定出的取值，結(jié)合求解出的取值，再根據(jù)以及的范圍確定出的取值，由此求解出的解析式；（2）先根據(jù)在上單調(diào)確定出的范圍，由此確定出的可取值，再對(duì)從大到小進(jìn)行分析，由此確定出的最大值.【題目詳解】（1）因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，為圖象的對(duì)稱軸，所以，所以，因?yàn)樵趦?nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn)，分析正弦函數(shù)函數(shù)圖象可知：個(gè)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最短區(qū)間長(zhǎng)度為，最長(zhǎng)的區(qū)間長(zhǎng)度小于，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，代入，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即，所以，又由（1）可知，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以此時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵跁r(shí)顯然不單調(diào)所以在上不單調(diào)，不符合；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以此時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵跁r(shí)顯然單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，符合；綜上可知，的最大值為.【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛：求解動(dòng)態(tài)的三角函數(shù)涉及的取值范圍問題的常見突破點(diǎn)：（1）結(jié)論突破：任意對(duì)稱軸（對(duì)稱中心）之間的距離為，任意對(duì)稱軸與對(duì)稱中心之間的距離為；（2）運(yùn)算突破：已知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則有且；已知在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則有且.20、(1)見解析(2)【解題分析】（Ⅰ）欲證平面AEC⊥平面PDB，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面AEC內(nèi)一直線與平面PDB垂直，而根據(jù)題意可得AC⊥平面PDB；（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，根據(jù)線面所成角的定義可知∠AEO為AE與平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可【題目詳解】（1）證明：∵底面ABCD是正方形∴AC⊥BD又PD⊥底面ABCDPD⊥AC所以AC⊥面PDB因此面AEC⊥面PDB（2）解：設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連接EO則易得∠AEO為AE與面PDB所成的角∵E、O為中點(diǎn)∴EO＝PD∴EO⊥AO∴在Rt△AEO中O