中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)精講精練（全國(guó)通用）：專題26 銳角三角函數(shù)（解析版）

專題26銳角三角函數(shù)一、銳角三角函數(shù)概念【高頻考點(diǎn)精講】在Rt△ABC中，∠C＝90°1、正弦：我們把銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝＝2、余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA＝3、正切：銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA＝4、三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)。【熱點(diǎn)題型精練】1．（2022?天津中考）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C．22 D．解：tan45°的值等于1，答案：B．2．（2022?淮南模擬）如圖，將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，則tanA的值是（）A．55 B．105 C．2 解：連接BD．則BD=2，AD＝22則tanA=BD答案：D．3．（2022?荊州中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，點(diǎn)C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過(guò)點(diǎn)O作OP∥AB交AC的延長(zhǎng)線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A．33 B．22 C．1解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，∵OP∥AB，∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP=PQ答案：C．4．（2022?深圳模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），tan∠ABO=3，則菱形ABCDA．6 B．63 C．123 D．83解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），∴AO＝3，∵tan∠ABO=3∴AOBO∴3BO∴BO=3∵△AOB是直角三角形，∴AB=AO2∵菱形的四條邊相等，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為23×4＝83答案：D．5．（2022?濱州中考）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為1213解：如圖所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB=1∴sinA=12答案：12136．（2022?揚(yáng)州中考）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若b2＝ac，則sinA的值為5?12解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式兩邊同時(shí)除以ac得：ca令ac=x，則有1∴x2+x﹣1＝0，解得：x1=5?12，x當(dāng)x=5?12∴x=5∴sinA=a答案：5?17．（2022?綏化中考）定義一種運(yùn)算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當(dāng)α＝45°，β＝30°時(shí)，sin（45°+30°）=22×32解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=2=6=6答案：6?8．（2022?湖州中考）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3．求AC的長(zhǎng)和sinA的值．解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC=AsinA=BC答：AC的長(zhǎng)為4，sinA的值為35二、解直角三角形【高頻考點(diǎn)精講】1、解直角三角形常用關(guān)系（1）銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；（2）三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；（3）邊角之間的關(guān)系sinA＝，cosA＝，tanA＝（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊）2、sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；

sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；【熱點(diǎn)題型精練】9．（2022?樂(lè)山中考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=5，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連結(jié)BD．若tan∠A=12，tan∠ABD=A．25 B．3 C．5 D．2解：過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，∵tan∠A=DEAE=1∴AE＝2DE，BE＝3DE，∴2DE+3DE＝5DE＝AB，在Rt△ABC中，tan∠A=12，BC∴BCAC解得AC=25∴AB=A∴DE＝1，∴AE＝2，∴AD=A∴CD＝AC﹣AD=5答案：C．10．（2022?通遼中考）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，則cos∠ADC的值為（）A．21313 B．31313 C．解：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，又∵點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，∴∠ADC＝∠ABC，在Rt△ABC中，cos∠ABC=BCAB=答案：B．11．（2022?宜賓中考）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（）A．817 B．715 C．1517解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，由折疊的性質(zhì)可得∠BDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，設(shè)BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，∴x=17∴cos∠ADF=3答案：C．12．（2022?濟(jì)寧中考）如圖，點(diǎn)A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD=13，則AD的長(zhǎng)是22a解：連接AB，作直徑CE．連接DE，設(shè)AD交BC于點(diǎn)T．∵∠ACB＝90°，∴AB是直徑，∵EC是直徑，∴∠CDE＝90°，∵∠CBD＝∠E，∴tanE＝tan∠CBD=1∴CDED∴DE＝3a，∴EC＝AB=CD∴AC＝BC=22AB=∵∠CAT＝∠CBD，∴tan∠CAT＝tan∠CBD=1∴CT=53a，BT=∴AT=AC∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵tan∠DBT=DT∴DT=1010BT=∴AD＝AT+DT＝22a，13．（2022?河池中考）如圖，把邊長(zhǎng)為1：2的矩形ABCD沿長(zhǎng)邊BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)對(duì)折，得到四邊形ABEF，點(diǎn)G，H分別在BE，EF上，且BG＝EH=25BE＝2，AG與BH交于點(diǎn)O，N為AF的中點(diǎn)，連接ON，作OM⊥ON交AB于點(diǎn)M，連接MN，則tan∠AMN＝5解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，∴AF=12AD，BE=∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴AF＝BE=12∴四邊形ABEF是矩形，由題意知，AD＝2AB，∴AF＝AB，∴矩形ABEF是正方形，∴AB＝BE，∠ABE＝∠BEF＝90°，∵BG＝EH，∴△ABG≌△BEH（SAS），∴∠BAG＝∠EBH，∴∠BAG+∠ABO＝∠EBH+∠ABO＝∠ABG＝90°，∴∠AOB＝90°，∵BG＝EH=25∴BE＝5，∴AF＝5，∵∠OAB＝∠BAG，∠AOB＝∠ABG，∴△AOB∽△ABG，∴OAAB∴OAOB∵OM⊥ON，∴∠MON＝90°＝∠AOB，∴∠BOM＝∠AON，∵∠BAG+∠FAG＝90°，∠ABO+∠EBH＝90°，∠BAG＝∠EBH，∴∠OBM＝∠OAN，∴△OBM∽△OAN，∴OBOA∵點(diǎn)N是AF的中點(diǎn)，∴AN=12AF∴52∴BM＝1，∴AM＝AB﹣BM＝4，在Rt△MAN中，tan∠AMN=AN答案：5814．（2022?張家界中考）我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)，用4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)圖被稱為“弦圖”，它體現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就．如圖，已知大正方形ABCD的面積是100，小正方形EFGH的面積是4，那么tan∠ADF＝34解：∵大正方形ABCD的面積是100，∴AD＝10，∵小正方形EFGH的面積是4，∴小正方形EFGH的邊長(zhǎng)為2，∴DF﹣AF＝2，設(shè)AF＝x，則DF＝x+2，由勾股定理得，x2+（x+2）2＝102，解得x＝6或﹣8（負(fù)值舍去），∴AF＝6，DF＝8，∴tan∠ADF=AF答案：34三、解直角三角形的應(yīng)用【高頻考點(diǎn)精講】1、坡度坡角問(wèn)題（1）坡度是坡面的垂直高度h和水平寬度l的比，常用i表示。（2）坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系：i＝h:l＝tanα。（3）解決坡度問(wèn)題，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角是銳角，坡度是銳角的正切值，水平寬度或垂直高度是直角邊，本質(zhì)是解直角三角形問(wèn)題。2、仰角俯角問(wèn)題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角。（2）解決此類問(wèn)題需要了解角之間的關(guān)系，找到與條件和所求相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒(méi)有直角三角形時(shí)，要通過(guò)作高構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決。3、方向角問(wèn)題（1）辨別方向角：以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)。（2）解決方向角問(wèn)題，要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，如果所給方向角不在直角三角形中，可以用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”“余角”等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角。【熱點(diǎn)題型精練】15．（2022?黑龍江中考）小明去爬山，在山腳看山頂角度為30°，小明在坡比為5：12的山坡上走1300米，此時(shí)小明看山頂?shù)慕嵌葹?0°，山高為（）米A．600﹣2505 B．6003?250 C．350+3503 D．500解：設(shè)EF＝5x米，∵斜坡BE的坡度為5：12，∴BF＝12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝（1300）2，解得：x＝100，則EF＝500米，BF＝1200米，由題意可知，四邊形DCFE為矩形，∴DC＝EF＝500米，DE＝CF，在Rt△ADE中，tan∠AED=AD則DE=ADtan60°在Rt△ACB中，tan∠ABC=AC∴500+AD1200+解得：AD＝6003?∴山高AC＝AD+DC＝6003?750+500＝（6003答案：B．16．（2022?濟(jì)南中考）數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到某廣場(chǎng)測(cè)量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們?cè)诘孛嫔螩點(diǎn)測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為22°，再向前70m至D點(diǎn)，又測(cè)得最高點(diǎn)A的仰角為58°，點(diǎn)C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m解：由題意可知：AB⊥BC，在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，∵tan∠ADB＝tan58°=AB∴BD=ABtan58°≈在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，∵CD＝70m，∴BC＝CD+BD＝（70+AB1.60）∴AB＝BC×tanC≈（70+AB1.60）×0.40（解得：AB≈37m，答：該建筑物AB的高度約為37m．答案：C．17．（2022?柳州中考）如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα=35，堤壩高BC＝30m，則迎水坡面AB的長(zhǎng)度為50解：∵sinα=35，堤壩高BC＝30∴sinα=3解得：AB＝50．答案：50．18．（2022?黃石中考）某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“無(wú)人機(jī)測(cè)旗桿”的活動(dòng)：已知無(wú)人機(jī)的飛行高度為30m，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行至A處時(shí)，觀測(cè)旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達(dá)B處，測(cè)得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為12.7m．（參考數(shù)據(jù)：3≈解：設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C，頂部為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交直線AB于點(diǎn)E．則CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，設(shè)DE＝xm，在Rt△BDE中，tan60°=DE解得BE=33則AE＝AB+BE＝（20+33x）在Rt△ADE中，tan30°=DE解得x=103經(jīng)檢驗(yàn)，x=103∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．答案：12.7．19．（2022?巴中中考）一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時(shí)與燈塔P的距離約為50海里．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos37°≈4解：如圖所示標(biāo)注字母，根據(jù)題意得，∠CAP＝∠EPA＝60°，∠CAB＝30°，PA＝30海里，∴∠PAB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，在Rt△PAB中，sin37°=AP解得PB≈50，∴此時(shí)與燈塔P的距離約為50海里．答案：50．20．（2022?長(zhǎng)沙中考）為了進(jìn)一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對(duì)小區(qū)環(huán)境進(jìn)行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長(zhǎng)為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點(diǎn)D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．（1）求該斜坡的高度BD；（2）求斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離．（假設(shè)圖中C，A，D三點(diǎn)共線）解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，∴BD=12BA＝10（答：該斜坡的高度BD為10m；（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，∴∠CBA＝15°，∴AB＝AC＝20（m），答：斜坡新起點(diǎn)C與原起點(diǎn)A之間的距離為20m．21．（2022?廣州中考）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用太陽(yáng)光線下物體的影子和標(biāo)桿測(cè)量旗桿的高度．如圖，在某一時(shí)刻，旗桿AB的影子為BC，與此同時(shí)在C處立一根標(biāo)桿CD，標(biāo)桿CD的影子為CE，CD＝1.6m，BC＝5CD．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求旗桿AB的高度．條件①：CE＝1.0m；條件②：從D處看旗桿頂部A的仰角α為54.46°．注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分．參考數(shù)據(jù)：sin54.46°≈0.81，cos54.46°≈0.58，tan54.46°≈1.40．解：（1）∵BC＝5CD，CD＝1.6m，∴BC＝5×1.6＝8（m），∴BC的長(zhǎng)為8m；（2）若選擇條件①：由題意得：ABBC∴AB8∴AB＝12.8，∴旗桿AB的高度為12.8m；若選擇條件②：過(guò)點(diǎn)