隨機(jī)過程第4章sjgc4

電子科技大學(xué)§4.3

平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性一、問題背景

實(shí)際問題中常需確定隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望和方差、相關(guān)函數(shù)；

如飛機(jī)在高空飛行，受湍流影響產(chǎn)生機(jī)翼震動(dòng)，需考慮機(jī)翼振幅大小的均值與方差.電子科技大學(xué)設(shè)想研究平穩(wěn)過程{X(t),t∈T}，X(t1,ω)X(t,ω1)X(t,ω2)X(t,ω3)t1tn+τX(tn+τ,ω)進(jìn)行足夠多次的試驗(yàn)，得到樣本函數(shù)族電子科技大學(xué)根據(jù)大數(shù)定律，對(duì)固定t1∈T，可令

缺點(diǎn)

1)需要很大n,實(shí)際工程中難以實(shí)現(xiàn).

統(tǒng)計(jì)平均2)過程具有不可重復(fù)性.電子科技大學(xué)

能否用一條樣本函數(shù)去估計(jì)隨機(jī)過程的數(shù)字特征？問題即能否用一條樣本函數(shù)在時(shí)間軸上的均值近似估計(jì)E{X(t)}?時(shí)間平均？過程須滿足一定條件時(shí)可行。電子科技大學(xué)二、平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性

定義4.3.1

設(shè){X(t),t∈(－∞,+∞)}是平穩(wěn)過程，若均方極限存在,稱為X(t)在(－∞,+∞)上的時(shí)間平均.二次均方極限對(duì)于固定的τ，均方極限二次均方極限存在,稱為X(t)在(－∞,+∞)上的時(shí)間相關(guān)函數(shù).

電子科技大學(xué)

注1

應(yīng)保證{X(t),t∈R}在任意有限區(qū)間上均方可積.(均方連續(xù)是充分條件).時(shí)間相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)過程.注2

時(shí)間平均是隨機(jī)變量,參數(shù)為τ

平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值函數(shù)是常數(shù)，相關(guān)函數(shù)R(τ)是普通函數(shù).電子科技大學(xué)

Ex.1

設(shè)X(t)=Y,t∈(－∞,+∞),且D(Y)≠0,D(Y)<+∞.計(jì)算X(t)

的時(shí)間平均和時(shí)間相關(guān)函數(shù)解

{X(t)

是平穩(wěn)過程.電子科技大學(xué)Ex.2設(shè)a,ω0是實(shí)常數(shù),Θ～U(0,2π),計(jì)算X(t)

的時(shí)間平均和時(shí)間相關(guān)函數(shù).{X(t),t∈(－∞,+∞)}是平穩(wěn)過程.

解電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)定義4.3.2

設(shè){X(t),t∈(－∞,+∞)}是平穩(wěn)過程稱X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性(均方遍歷性).

稱X(t)的相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性.

均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)過程稱為各態(tài)歷經(jīng)過程.注

各態(tài)歷經(jīng)過程一定是平穩(wěn)過程,逆不真.電子科技大學(xué)

一個(gè)隨機(jī)過程具備各態(tài)歷經(jīng)性,可以通過研究其一條樣本函數(shù)來獲取過程的全部信息.思想方法：用時(shí)間平均代替統(tǒng)計(jì)平均.

續(xù)Ex.1

設(shè)X(t)=Y,t∈(－∞,+∞),且D(Y)≠0,D(Y)<+∞,{X(t)}

是平穩(wěn)過程.X(t)的均值不具有各態(tài)歷經(jīng)性.若Y非單點(diǎn)分布時(shí),電子科技大學(xué)又因X(t)的自相關(guān)函數(shù)也不具有各態(tài)歷經(jīng)性.續(xù)Ex.2

設(shè)a,ω0是實(shí)常數(shù),Θ～U(0,2π),討論過程的遍歷性.

解電子科技大學(xué)X(t)的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性.

多數(shù)情況不必根據(jù)定義驗(yàn)證過程的均方遍歷性,以下給出判斷遍歷性的遍歷性定理.電子科技大學(xué)三、均值各態(tài)歷經(jīng)性定理定理4.3.1

設(shè){X(t),t∈R}是平穩(wěn)過程,則其均值各態(tài)歷經(jīng)的充要條件是電子科技大學(xué)推論1

實(shí)隨機(jī)過程{X(t),t∈R}是平穩(wěn)過程,則其均值各態(tài)歷經(jīng)的充要條件為證均值各態(tài)歷經(jīng)電子科技大學(xué)電子科技大學(xué)推論2電子科技大學(xué)推論3

若平穩(wěn)過程{X(t),t∈R}的相關(guān)函數(shù)滿足則X(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)的.

續(xù)Ex.2

設(shè)a,ω0是實(shí)常數(shù),Θ～U(0,2π),討論過程的遍歷性.

解已按定義驗(yàn)證了X(t)的均值各態(tài)歷經(jīng),

電子科技大學(xué)故X(t)的均值有各態(tài)歷經(jīng)性.

電子科技大學(xué)

Ex.3

設(shè)隨機(jī)過程X(t)=Acos(ωt+Θ),其中A,ω,Θ是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,Θ～U[－π,π],ω～U[－5,5],E(A)=0,D(A)=4,討論1)X(t)是否平穩(wěn)過程；2)X(t)的均值是否各態(tài)歷經(jīng).解

E[X(t)]=E[Acos(ωt+Θ)]=0；=E{A2cos(ωt+Θ)cos(ω(t+τ)+Θ)}電子科技大學(xué)X(t)是平穩(wěn)過程,又因X(t)關(guān)于均值各態(tài)歷經(jīng).電子科技大學(xué)四、相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性定理{X(t),t∈R}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程,且對(duì)固定的τ,{X(t)X(t+τ),t∈R}也是均方連續(xù)的平穩(wěn)過程，

則{X(t),t∈R}的相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)的充要條件是定理4.3.2電子科技大學(xué)證則RX(τ)=E[Z(t)]=mZ,

根據(jù)定理4.3.1,對(duì)固定的τ,Z(t)均值各態(tài)歷經(jīng)的充要條件為電子科技大學(xué)推論1

又若定理4.3.1中的{X(t),t∈R}是實(shí)隨機(jī)過程，則相關(guān)函數(shù)均方遍歷的充要條件為電子科技大學(xué)五、各態(tài)歷經(jīng)性的應(yīng)用

對(duì)于具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)過程,可以通過一條樣本函數(shù)來推斷過程的統(tǒng)計(jì)特征.如{X(t),t∈[0,+∞)}的均值各態(tài)歷經(jīng),則有

電子科技大學(xué)t0=0

tN=T[]t1t2tN－1電子科技大學(xué)因均方收斂必依概率收斂，

電子科技大學(xué)

對(duì)一次抽樣得到的樣本函數(shù)x(t),t∈[0,+∞]，取足夠大的T及N,

電子科技大學(xué)0Δ2ΔnΔx1x2xn類似地，可得RX(τ)的近似估計(jì)量為

工程實(shí)際中有許多隨機(jī)過程滿足各態(tài)歷經(jīng)性，數(shù)學(xué)驗(yàn)證往往很困難.電子科技大學(xué)

或先假定它的各態(tài)歷經(jīng)性,對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)