課件高數(shù)佚名3 d6習(xí)題課

習(xí)題課一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法一、與定積分概念有關(guān)的問(wèn)題的解法1.用定積分概念與性質(zhì)求極限2.用定積分性質(zhì)估值3.與變限積分有關(guān)的問(wèn)題1.求解:

因?yàn)闀r(shí),所以利用夾逼準(zhǔn)則得因?yàn)橐蕾囉谇?)思考例1下列做法對(duì)嗎?利用積分中值定理原式不對(duì)!說(shuō)明:2)

此類問(wèn)題放大或縮小時(shí)一般應(yīng)保留含參數(shù)的項(xiàng).比如解：將數(shù)列適當(dāng)放大和縮小，以簡(jiǎn)化成積分和：已知利用夾逼準(zhǔn)則可知(考研98)2.

求3.

證明證:

令則令得故4.設(shè)在上是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，試證都有不等式證明：顯然時(shí)結(jié)論成立.(用積分中值定理)當(dāng)時(shí),故所給不等式成立.明對(duì)于任何5.求可微函數(shù)f(x)使?jié)M足解:

等式兩邊對(duì)

x

求導(dǎo),得不妨設(shè)f(x)≠0,則注意f(0)=0,得6.

求多項(xiàng)式f(x)

使它滿足方程解:

令則代入原方程得兩邊求導(dǎo):可見(jiàn)f(x)應(yīng)為二次多項(xiàng)式,設(shè)代入①

式比較同次冪系數(shù),得故①再求導(dǎo):二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法1.熟練運(yùn)用定積分計(jì)算的常用公式和方法2.注意特殊形式定積分的計(jì)算3.利用各種積分技巧計(jì)算定積分4.有關(guān)定積分命題的證明方法思考:

下列作法是否正確?7.

求解:

令則原式8.

選擇一個(gè)常數(shù)

c,使解:

令則因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù),故選擇c使即可使原式為0.9.

設(shè)解:

10.

證明恒等式證:

令則因此又故所證等式成立.11.試證使分析:要證即故作輔助函數(shù)至少存在一點(diǎn)證明:

令在上連續(xù),在至少使即因在上連續(xù)且不為0,從而不變號(hào),因此故所證等式成立.故由羅爾定理知,存在一點(diǎn)思考:

本題能否用柯西中值定理證明?如果能,怎樣設(shè)輔助函數(shù)?要證:提示:設(shè)輔助函數(shù)12.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且(1)在(a,b)內(nèi)

f(x)>0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)

,使

(3)在(a,b)內(nèi)存在與

相異的點(diǎn)

,

使(03考研)證:

(1)

由f(x)在[a,b]上連續(xù),知

f(a)=0.所以f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增,因此(2)

設(shè)滿足柯西中值定理?xiàng)l件,于是存在即(3)

因在[a,]上用拉格朗日中值定理代入(2)中結(jié)論得因此得13.設(shè)證:

設(shè)且試證:則故

F(x)單調(diào)不減,即②成立.②判斷反常積分的斂散性.解:根據(jù)比較審斂原理知故所給積分