不等式證明方法

1/1不等式證明方法

E

不等式證明方法（二）

1、單調(diào)函數(shù)法

當(dāng)x屬于某區(qū)間，有0)`(≥xf，則)(xf單調(diào)上升；若0)`(≤xf，則)(xf單調(diào)下降。推廣之，若證)(xgxf≤，只須證)(agaf=及)``(xgxf≤即可，],[bax∈。

例1、2

0π

++++nnnn

。證明：由于??

???+++?????++?????+++=+++++11131121)11(131211nnnnnnnn

nnnn1134232134232+?=+?????>+++++=所以)11(131211-+>++++nnnn。3、幾何法

借助幾何圖形，運用幾何或三角學(xué)問可使某些證明變易。

例3、已知：+∈Rmba,,，且ba++。證明：以b為斜邊，a為直角邊作ABCRt?

延長AB至D，使mBD=，延長AC至E，使ADED⊥，過C作AD的平行線交DE于F，則ABC?∽ADE?，令nCE=，所以nbmaACABba++==又CFCE>，即mn>，所以b

an

bmambma=++>++。

4、放縮法（增減法、加強(qiáng)不等式法）

在證題過程中，依據(jù)不等式的傳遞性，常采納舍去一些正項（或負(fù)項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較?。┑臄?shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福?，從而達(dá)到證明的目的。值得留意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭。常用方法為：轉(zhuǎn)變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、查找“中介量”放縮法。

例4、求證：01.010000

9999654321++aa，02≥t），所以31≤++cabcab。7、三角代換法

借助三角變換，在證題中可使某些問題變易。

例7、已知：122=+ba，122=+yx，求證：1≤+byax。

證明：設(shè)θsin=a，則θcos=b；設(shè)?sin=x，則?cos=y

所以1)cos(coscossinsin≤-=+=+?θ?θ?θbyax。

8、等式法

應(yīng)用一些等式的結(jié)論，可以奇妙地給出一些難以證明的不等式的證明。例8、cba,,為ABC?的三邊長，求證：444222222222cbacbcaba++>++。證明：由海倫公式))((cpbpappSABC=

?，其中)(2

1cbap++=。兩邊平方，移項整理得

4442222222222)(16cbacbcabaSABC++=?

而0>?ABCS，所以444222222222cbacbcaba++>++。

一、選擇題

1.設(shè)0＜x＜1，則a=x2,b=1+x,c=x

-11中最大的一個是（）A.aB.bC.cD.不能確定

2.若不等式x2－logax1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，則1x＋1y

的最大值為()

A．2B.32C．1D.12

4.不等式2log211log32

12++-xx>0的解集是()A．[2，3]B.（2，3）C.[2，4]D.（2，4）

5.設(shè)0ab>>,那么21

abab+-的最小值是A.2B.3C.4D.5

二、填空題

1.設(shè)x，y為實數(shù)，滿意

3≤xy2≤8,4≤x2y≤9，則x3y4的最大值是________．2.若對任意x>0，xx2＋3x＋1

≤a恒成立，則a的取值范圍是________．3.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－1.對任意x∈????32，＋∞，f???

?xm－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．

4.設(shè)x＞0,y＞0,A=

yxyx+++1,B=yyxx+++11,則A，B的大小關(guān)系是__________________.

三、解答題

1．若x,y均為正數(shù)，且x+y＞2.，求證:

x

y+1與yx+1中至少有一個小于2.

2.已知an=3221?+?+…+)1(+nn(n∈N*),求證：2

)1(